Знайти 90 довірчий інтервал. Довірчий інтервал. Абетка медичної статистики. Розділ III. Довірчий інтервал для середнього
Довірчий інтервал для математичного очікування - це такий обчислений за даними інтервал, який з певною ймовірністю містить математичне очікування генеральної сукупності. Природною оцінкою для математичного очікування є середнє арифметичне її спостережених значень. Тому далі протягом уроку ми користуватимемося термінами "середнє", "середнє значення". У завданнях розрахунку довірчого інтервалу найчастіше потрібна відповідь типу "Довірчий інтервал середнього числа [величина у конкретній задачі] знаходиться від [менше значення] до [більше значення]". З допомогою довірчого інтервалу можна оцінювати як середні значення, а й питому вагу тієї чи іншої ознаки генеральної сукупності. Середні значення, дисперсія, стандартне відхилення та похибка, через які ми будемо приходити до нових визначень та формул, розібрані на уроці Характеристики вибірки та генеральної сукупності .
Точкова та інтервальна оцінки середнього значення
Якщо середнє значення генеральної сукупності оцінюється числом (точкою), то оцінку невідомої середньої величини генеральної сукупності приймається конкретне середнє, яке розраховано за вибіркою спостережень. У разі значення середнього вибірки - випадкової величини - не збігається із середнім значенням генеральної сукупності. Тому, вказуючи середнє значення вибірки, одночасно потрібно вказувати помилку вибірки. В якості міри помилки вибірки використовується стандартна помилка, яка виражена в тих самих одиницях виміру, що і середнє. Тому найчастіше використовується наступний запис: .
Якщо оцінку середнього потрібно пов'язати з певною ймовірністю, то параметр генеральної сукупності, що цікавить, потрібно оцінювати не одним числом, а інтервалом. Довірчим інтервалом називають інтервал, у якому з певною ймовірністю Pперебуває значення оцінюваного показника генеральної сукупності. Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю P = 1 - α знаходиться випадкова величина , розраховується так:
,
α = 1 - P, який можна знайти у додатку до практично будь-якої книги зі статистики.
Насправді середнє значення генеральної сукупності і дисперсія невідомі, тому дисперсія генеральної сукупності замінюється дисперсією вибірки , а середнє генеральної сукупності - середнім значенням вибірки . Таким чином, довірчий інтервал у більшості випадків розраховується так:
.
Формулу довірчого інтервалу можна використовувати для оцінки середньої генеральної сукупності, якщо
- відоме стандартне відхилення генеральної сукупності;
- або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, але обсяг вибірки – більше 30.
Середнє значення вибірки є незміщеною оцінкою середньої генеральної сукупності. У свою чергу, дисперсія вибірки 
не є незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Для отримання незміщеної оцінки дисперсії генеральної сукупності у формулі дисперсії вибірки обсяг вибірки nслід замінити на n-1.
приклад 1.Зібрано інформацію зі 100 випадково обраних кафе в деякому місті про те, що середня кількість працівників у них становить 10,5 зі стандартним відхиленням 4,6. Визначити довірчий інтервал 95% від числа працівників кафе.
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .
Таким чином, довірчий інтервал 95% середньої кількості працівників кафе становив від 9,6 до 11,4.
приклад 2.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності з 64 спостережень обчислено такі сумарні величини:
сума значень у спостереженнях,
сума квадратів відхилення значень від середнього 
.
Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування.
обчислимо стандартне відхилення:
,
обчислимо середнє значення:
.
Підставляємо значення вираз для довірчого інтервалу:
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .
Отримуємо:
Таким чином, довірчий інтервал 95% для математичного очікування цієї вибірки становив від 7,484 до 11,266.
приклад 3.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності зі 100 спостережень обчислено середнє значення 15,2 та стандартне відхилення 3,2. Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування, потім довірчий інтервал 99%. Якщо потужність вибірки та її варіація залишаються незмінними, а збільшується довірчий коефіцієнт, то довірчий інтервал звузиться чи розшириться?
Підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .
Отримуємо:
.
Таким чином, довірчий інтервал 95% для середньої даної вибірки становив від 14,57 до 15,82.
Знову підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,01 .
Отримуємо:
.
Таким чином, довірчий інтервал 99% для середньої даної вибірки становив від 14,37 до 16,02.
Як бачимо, при збільшенні довірчого коефіцієнта збільшується також критичне значення стандартного нормального розподілу, а отже початкова і кінцева точки інтервалу розташовані далі від середнього, і таким чином довірчий інтервал для математичного очікування збільшується.
Точкова та інтервальна оцінки частки
Питому вагу деякої ознаки вибірки можна інтерпретувати як точкову оцінку частки pцієї ж ознаки в генеральній сукупності. Якщо ж цю величину потрібно пов'язати з ймовірністю, слід розрахувати довірчий інтервал частки pознаки у генеральній сукупності з ймовірністю P = 1 - α :
.
приклад 4.У деякому місті два кандидати Aі Bпретендують на посаду мера Випадково було опитано 200 жителів міста, з яких 46% відповіли, що голосуватимуть за кандидата A, 26% - за кандидата Bта 28% не знають, за кого голосуватимуть. Визначити довірчий інтервал 95% для частки жителів міста, які підтримують кандидата A.
Довірчий інтервал прийшов до нас із галузі статистики. Це певний діапазон, який слугує для оцінки невідомого параметра з високим ступенем надійності. Найпростіше це пояснити на прикладі.
Припустимо, слід досліджувати якусь випадкову величину, наприклад, швидкість відгуку сервера на запит клієнта. Щоразу, коли користувач набирає адресу конкретного сайту, сервер реагує з різною швидкістю. Таким чином, час відгуку, що досліджується, має випадковий характер. Так ось, довірчий інтервал дозволяє визначити межі цього параметра, і потім можна буде стверджувати, що з ймовірністю 95% сервера буде знаходитися в розрахованому нами діапазоні.
Або потрібно дізнатися, якій кількості людей відомо про торгову марку фірми. Коли буде підрахований довірчий інтервал, можна буде, наприклад, сказати що з 95% часткою ймовірності частка споживачів, знають про цю перебуває у діапазоні від 27% до 34%.
З цим терміном тісно пов'язана така величина як довірча ймовірність. Вона є ймовірністю того, що шуканий параметр входить у довірчий інтервал. Від цієї величини залежить те, наскільки більшим виявиться наш пошуковий діапазон. Що більше значення вона набуває, то вже стає довірчий інтервал, і навпаки. Зазвичай її встановлюють 90%, 95% або 99%. Величина 95% найпопулярніша.
На цей показник також впливає дисперсія спостережень і Його визначення ґрунтується на тому припущенні, що досліджувана ознака підкоряється. Це твердження відоме також як Закон Гауса. Згідно з ним, нормальним називається такий розподіл усіх ймовірностей безперервної випадкової величини, який можна описати щільністю ймовірностей. Якщо припущення про нормальний розподіл виявилося помилковим, то оцінка може виявитися неправильною.
Спочатку розберемося з тим, як обчислити довірчий інтервал. Тут можливі два випадки. Дисперсія (ступінь розкиду випадкової величини) може бути відома чи ні. Якщо вона відома, то наш довірчий інтервал обчислюється за допомогою наступної формули:
хср - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - ознака,
t - параметр таблиці розподілу Лапласа,
σ – квадратний корінь дисперсії.
Якщо дисперсія невідома, її можна розрахувати, якщо нам відомі всі значення шуканої ознаки. Для цього використовується така формула:
σ2 = х2ср - (хср)2 де
х2ср - середнє значення квадратів досліджуваної ознаки,
(ХСР)2 - квадрат даної ознаки.
Формула, за якою в цьому випадку розраховується довірчий інтервал, трохи змінюється:
хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
хср - вибіркове середнє,
α - ознака,
t - параметр, який знаходять за допомогою таблиці розподілу Стьюдента t = t(?;n-1),
sqrt(n) - квадратний корінь загального обсягу вибірки,
s – квадратний корінь дисперсії.
Розглянь такий приклад. Припустимо, що за результатами 7 вимірів було визначено досліджуваного ознаки, що дорівнює 30 і дисперсія вибірки, що дорівнює 36. Потрібно знайти з ймовірністю 99% довірчий інтервал, який містить справжнє значення параметра, що вимірюється.
Спочатку визначимо чому t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Використовуємо наведену вище формулу, отримуємо:
хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Довірчий інтервал дисперсії розраховується як у випадку з відомим середнім, так і тоді, коли немає жодних даних про математичне очікування, а відомо лише значення точкової незміщеної оцінки дисперсії. Ми не наводитимемо тут формули його розрахунку, оскільки вони досить складні і за бажання їх завжди можна знайти в мережі.
Відзначимо лише, що довірчий інтервал зручно визначати за допомогою програми Excel або мережевого сервісу, що так і називається.
Довірчий інтервал– граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде у цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірність γ з досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:
- довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
- довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення; довірчий інтервал для генеральної частки;
Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу вовни однією вівцю і межі, у яких укладена величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції посаді Московської Північної митниці було взято як випадкової повторної вибірки 20 проб продукту «А». В результаті перевірки встановлено середню вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте з ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту в усій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, дорівнювала 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний закон розподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0 ,99 інтервальну оцінку для математичного очікування цієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування абсолютної величини не більше, ніж на 2.
Класифікація довірчих інтервалів
По виду оцінюваного параметра:
За типом вибірки:
- Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
- Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;
Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому відборі
Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупності називається помилкою репрезентативності.Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.
| Формули середньої помилки вибірки | |||
| повторний відбір | безповторний відбір | ||
| для середньої | для частки | для середньої | для частки |
 |
|||
Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору
| Спосіб відбору | Формули визначення чисельності вибірки | ||
| для середньої | для частки | ||
| Повторний | |||
| Неповторний |  |  |
|
Метод довірчих інтервалів
Алгоритм знаходження довірчого інтервалу включає такі кроки:- задається довірча ймовірність γ (надійність).
- за вибіркою визначається оцінка параметра a.
- із співвідношення P(α 1 розраховується довірчий інтервал (a - ε ; a + ε).
Приклад №1. Під час перевірки придатності партії таблеток (250 прим.) виявилося, що середня вага таблетки 0,3 р, а СКО ваги 0,01 р. Знайти довірчий інтервал, куди з ймовірністю 90% потрапляє норма ваги таблетки.
Рішення.
Приклад. За результатами вибіркового спостереження (вибірка Додаток) обчисліть незміщені оцінки середнього значення, дисперсії та середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності.
Завантажити рішення
Приклад. Знайдіть довірчі інтервали для оцінки середнього значення та середнього квадратичного відхилення генеральних сукупностей за довірчої ймовірності y, якщо з генеральних сукупностей зроблена вибірка В та y.
Завантажити рішення
Приклад.
1. Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні № 2 та вважаючи, що ці дані отримані за допомогою власно-випадкового 10-ти процентного безповторного відбору, визначити:
а) межі, за які з довірчою ймовірністю 0,954 не вийде середнє значення ознаки, розраховане за генеральною сукупністю;
б) як слід змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку середньої величини на 50%.
2. Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні № 2 та вважаючи, що ці дані отримані за допомогою повторного відбору, визначити:
а) межі, за які в генеральній сукупності не вийде значення частки підприємств, у яких індивідуальні значення ознаки перевищують моду з вірогідністю 0,954;
б) як змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку частки на 20%.
Методичні вказівки
Завдання. Поточна лінія з виробництва однотипних деталей піддавалася реконструкції Задані дві вибірки деталі, що відображають відсоток шлюбу в партіях, що випускаються на даній лінії до і після реконструкції Чи можна достовірно стверджувати, що після реконструкції відсоток шлюбу в партіях деталей знизився?
Приклад. Нижче наведено дані щодо витрат на буріння (у.о.) для 49 свердловин Західно-Сибірської нафтової бази Росії:
| 129 | 142 | 132 | 61 | 96 | 96 | 142 | 17 | 135 | 32 |
| 77 | 58 | 37 | 132 | 79 | 15 | 145 | 64 | 83 | 120 |
| 11 | 54 | 48 | 100 | 43 | 25 | 67 | 25 | 140 | 130 |
| 48 | 124 | 29 | 107 | 135 | 101 | 93 | 147 | 112 | 121 |
| 89 | 97 | 60 | 84 | 46 | 139 | 43 | 145 | 29 |
- провести вибірку власне випадковим способом обсягом n = 5;
- визначити інтервальні значення середньої генеральної сукупності (X) за розрахованими вибірковими показниками (X, s 2) за допомогою функції t-розподілу Стьюдента при рівні значимості α=0.05;
- визначити точкове значення середньої генеральної сукупності (X) за вихідними даними;
- оцінити правильність інтервальних розрахунків, порівнюючи точкове значення (X) з інтервальним значенням, розрахованим на вибірку;
1. Вибираємо 5 значень із таблиці. Нехай це буде 3 стовпець: 132, 37, 48, 29, 60.
В розділі «Вигляд статистичного ряду»обираємо Дискретний ряд. У полі Кількість рядків вказуємо 5. 
2. Вводимо вихідні дані. 
У полі Кількість груп вибираємо пункт « не робити угруповання».
Поле «Довірчий інтервал генерального середнього, дисперсія та середньоквадратичне відхилення» вказуємо значення γ = 0.95 (що відповідає α=0.05).
У полі «Вибірка» вказуємо значення 10 (оскільки із 49 значень вибрали 5, що відповідає 10,2% (5/49x100%)).
В розділі «Виводить у звіт»відзначаємо перший пункт «Довірчий інтервал для генерального середнього».
3. Отримане рішення зберігається у форматі Word (завантажити).
Перед розрахунками створюється попередня таблиця, де підраховується кількість повторень значень Х.
| x | (x - x ср) 2 |
| 29 | 1036.84 |
| 37 | 585.64 |
| 48 | 174.24 |
| 60 | 1.44 |
| 132 | 5012.64 |
| 306 | 6810.8 |
Примітка: у разі у розрахунках використовується Оцінка середньоквадратичного відхилення.
Завдання №2: З метою вивчення витрат часу на виготовлення однієї деталі робітниками заводу проведено 10%-ву випадкову безповторну вибірку, в результаті якої отримано розподіл деталей за витратами часу, представлене в дод. Б.
На підставі цих даних обчисліть:
а) середні витрати часу виготовлення однієї деталі;
б) середній квадрат відхилень (дисперсію) та середнє квадратичне відхилення;
в) коефіцієнт варіації;
г) з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової середньої та можливі межі, в яких очікуються середні витрати часу на виготовлення однієї деталі на заводі;
д) з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибіркової частки та межі частки числа деталей з мінімальними витратами часу на їх виготовлення. Перед тим, як проводити розрахунки, необхідно записати умови завдання та заповнити табл. 2.1
Рішення.
Для отримання рішення вказуємо наступні параметри:
- Вид статистичного ряду: Задано дискретний ряд;
- Кількість груп: не робити угруповання;
- Для побудови довірчого інтервалу генерального середнього, дисперсії та середньоквадратичного відхилення: y = 0.954;
- Для побудови довірчого інтервалу генеральної частки: y = 0.954;
- Вибірка: 10;
- Виводити до звіту: Довірчий інтервал для генерального середнього, Довірчий інтервал для генеральної частки;
Завдання №3: Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні №2 і вважаючи, що ці дані отримані за допомогою повторного відбору, визначити:
б) як змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку частки на 20%.
Рішення.
Використовуючи результати розрахунків, виконаних у завданні № 2 та вважаючи, що ці дані отримані за допомогою повторного відбору, визначити:
а) межі, за які у генеральній сукупності не вийде значення частки підприємств, у яких індивідуальні значення ознаки перевищують моду з довірчою ймовірністю 0.954;
б) як змінити обсяг вибірки, щоб знизити граничну помилку частки на 20%.
Завдання №4: З партії електроламп взята 20% випадкова безповторна вибірка для визначення середньої ваги спіралі. Результати вибірки такі. Вага, мг: 38-40; 40-42; 42-44; 44-46. Число спіралей:15;30;45;10. Визначити з ймовірністю 0.95 довірчі межі, в яких лежить середня вага спіралі, для всієї партії електроламп.
Рішення.
Вводимо такі параметри:
- Вигляд статистичного ряду: Задано інтервальний ряд;
- Для побудови довірчого інтервалу генерального середнього, дисперсії та середньоквадратичного відхилення: y = 0.95;
- Вибірка: 20;
- Виводити у звіт: Довірчий інтервал для середнього генерального.
Завдання №5: На заводі електроламп із партії продукції в кількості 16000 шт. ламп взято на вибірку 1600 шт. (Випадковий, безповторний відбір), з яких 40 шт. виявилися бракованими. Визначити з ймовірністю 0.997 межі, у яких перебуватиме відсоток шлюбу всієї партії продукції.
Рішення.
Тут N = 16000, n = 1600, w = d / n = 40/1600 = 0.025.
Методика оцінки випадкової похибки ґрунтується на положеннях теорії ймовірностей та математичної статистики. Оцінити випадкову помилку можна лише тому випадку, коли проведено неодноразове вимір однієї й тієї величини.
Нехай у результаті виконаних вимірів отримано пзначень величини х: х 1 , х 2 , …, х п. Позначимо через середньоарифметичне значення
Теоретично ймовірностей доведено, що зі збільшенням числа вимірів псередньоарифметичне значення вимірюваної величини наближається до істинного:
При невеликій кількості вимірювань ( п£ 10) середнє значення може суттєво відрізнятись від істинного. Для того, щоб знати, наскільки точно значення характеризує величину, що вимірюється, необхідно визначити так званий довірчий інтервал отриманого результату.
Оскільки абсолютно точне вимір неможливе, то вірогідність правильності затвердження. величина х має значення, точно рівне» дорівнює нулю. Імовірність твердження « величина х має якесь значення» дорівнює одиниці (100%). Таким чином, вірогідність правильності будь-якого проміжного твердження лежить у межах від 0 до 1. Мета вимірювання – знайти такий інтервал, у якому з наперед заданою ймовірністю a(0 < a < 1) находится истинное значение измеряемой величины. Этот интервал называется довірчим інтервалом а нерозривно пов'язана з ним величина a – довірчою ймовірністю (або коефіцієнтом надійності). За середину інтервалу приймається середнє значення, розраховане за формулою (3). Половина ширини довірчого інтервалу є випадковою похибкою D s x(Рис. 1).
 |
Очевидно, що ширина довірчого інтервалу (а отже, і помилка D s x) залежить від того, наскільки сильно відрізняються окремі вимірювання величини х iвід середнього значення. «Розкид» результатів вимірів щодо середнього характеризується середньоквадратичною помилкою s, яку знаходять за формулою
, (4)
Ширина шуканого довірчого інтервалу прямо пропорційна середньоквадратичній помилці:
. (5)
Коефіцієнт пропорційності t n, aназивається коефіцієнтом Стьюдента; він залежить від кількості дослідів пта довірчої ймовірності a.
На рис. 1, а, бнаочно показано, що за інших рівних умов збільшення ймовірності попадання істинного значення довірчий інтервал необхідно збільшити ширину останнього (імовірність «накриття» значення Хширшим інтервалом вище). Отже, величина t n, aмає бути тим більше, чим вища довірча ймовірність a.
Зі збільшенням кількості дослідів середнє значення наближається до істинного; тому за тієї ж ймовірності aдовірчий інтервал можна взяти вужчим (див. рис. 1, а,в). Таким чином, зі зростанням пкоефіцієнт Сьюдента має зменшуватись. Таблиця значень коефіцієнта Стьюдента в залежності від пі aдана у додатках до цього посібника.
Слід зазначити, що довірча ймовірність не пов'язана з точністю результату вимірювань. Величиною aзадаються заздалегідь, виходячи з вимог щодо їх надійності. У більшості технічних експериментів та в лабораторному практикумі значення aприймається рівним 0,95.
Розрахунок випадкової похибки вимірювання величини хпроводиться у такому порядку:
1) обчислюється сума виміряних значень, а згодом – середнє значення величини за формулою (3);
2) для кожного i-го досвіду розраховуються різниця між виміряним і середнім значеннями, а також квадрат цієї різниці (відхилення) (D х i) 2 ;
3) знаходиться сума квадратів відхилень, а потім – середньоквадратична помилка sза формулою (4);
4) за заданою довірчою ймовірністю aта кількості проведених дослідів піз таблиці на с. 149 додатків вибирається відповідне значення коефіцієнта Стьюдента t n, aта визначається випадкова похибка D s xза формулою (5).
Для зручності розрахунків та перевірки проміжних результатів дані заносяться до таблиці, три останні стовпці якої заповнюються за зразком табл.1.
Таблиця 1
| Номер досвіду | … | х | D х | (D х) 2 |
| … | ||||
| … | ||||
| … | … | |||
| п | … | |||
| S = | S = |
У кожному даному випадку величина хмає певний фізичний зміст та відповідні одиниці виміру. Це може бути, наприклад, прискорення вільного падіння g (м/с 2), коефіцієнт в'язкості рідини h (Па×с) і т.д. Пропущені стовпці табл. 1 можуть містити проміжні вимірювані величини, необхідні для розрахунку відповідних значень х.
приклад 1. Для визначення прискорення аруху тіла вимірювався час tпроходження ним шляху Sбез початкової швидкості. Використовуючи відоме співвідношення, отримаємо розрахункову формулу
Результати вимірів шляху Sта часу tнаведено у другому та третьому стовпцях табл. 2. Провівши обчислення за формулою (6), заповнимо
четвертий стовпець значеннями прискорення a iі знайдемо їх суму, яку запишемо під цим стовпцем у комірку «S=». Потім розрахуємо середнє значення за формулою (3)
.
Таблиця 2
| Номер досвіду | S, м | t, c | а, м/с 2 | D а, м/с 2 | (D а) 2 , (м/с 2) 2 |
| 2,20 | 2,07 | 0,04 | 0,0016 | ||
| 2,68 | 1,95 | -0,08 | 0,0064 | ||
| 2,91 | 2,13 | 0,10 | 0,0100 | ||
| 3,35 | 1,96 | -0,07 | 0,0049 | ||
| S = | 8,11 | S = | 0,0229 |
Віднімаючи з кожного значення a iсереднє, знайдемо різниці D a iі занесемо їх у п'ятий стовпець таблиці. Зводячи ці різниці у квадрат, заповнимо останній стовпець. Потім розрахуємо суму квадратів відхилень і запишемо її до другого осередку «S = ». За формулою (4) визначимо середньоквадратичну похибку:
.
Задавшись величиною довірчої ймовірності a= 0,95, для числа дослідів п= 4 з таблиці у додатках (с. 149) вибираємо значення коефіцієнта Стьюдента t n, a= 3,18; за допомогою формули (5) оцінимо випадкову похибку вимірювання прискорення
D s а= 3,18×0,0437» 0,139 ( м/с 2) .
Запишіть завдання.Наприклад: середня вага студента чоловічої статі в університеті АВС становить 90 кг.. Ви тестуватимете точність передбачення ваги студентів чоловічої статі в університеті АВС в межах даного довірчого інтервалу.
Складіть відповідну вибірку.Ви будете використовувати її для збирання даних для тестування гіпотези. Допустимо, ви вже випадково обрали 1000 студентів чоловічої статі.
Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення цієї вибірки.Виберіть статистичні величини (наприклад, середнє значення та стандартне відхилення), які потрібно використовувати для аналізу вашої вибірки. Ось як обчислити середнє значення та стандартне відхилення:
- Для розрахунку середнього значення вибірки складіть значення ваги 1000 вибраних чоловіків і розділіть результат на 1000 (кількість чоловіків). Припустимо, отримали середню вагу, що дорівнює 93 кг.
- Для розрахунку стандартного відхилення вибірки необхідно визначити середнє значення. Потім потрібно обчислити дисперсію даних чи середнє значення квадратів різниці від середнього. Знайшовши це число, просто візьміть квадратний корінь із нього. Допустимо, у нашому прикладі стандартне відхилення дорівнює 15 кг (зауважимо, що іноді ця інформація може бути дана разом з умовою статистичного завдання).
Виберіть потрібний рівень довіри.Найчастіше використовувані довірчі рівні: 90%, 95% та 99%. Він також може бути дано разом із умовою завдання. Припустимо, ви обрали 95%.
Розрахуйте межу похибки.Ви можете знайти межу похибки за допомогою наступної формули: Z a/2 * σ/√(n). Z a/2 = коефіцієнт довіри (де а = довірчий рівень), = стандартне відхилення, а n = розмір вибірки. Ця формула показує, що ви повинні помножити критичне значення стандартної помилки. Ось як ви можете вирішити цю формулу, розбивши її на частини:
- Обчисліть критичне значення або Z a/2. Довірчий рівень дорівнює 95%. Перетворіть відсотки на десятковий дріб: 0,95 і розділіть його на 2, щоб отримати 0,475. Потім подивіться в таблицю Z-оцінок, щоб знайти відповідне значення для 0,475. Ви знайдете значення 1,96 (на перетині рядка 1,9 та стовпця 0,06).
- Візьміть стандартну помилку (стандартне відхилення): 15 і розділіть її на квадратний корінь із розміру вибірки: 1000. Ви отримаєте: 15/31,6 чи 0,47 кг.
- Помножте 1,96 на 0,47 (критичне значення стандартної помилки), щоб отримати 0,92 - межа похибки.
Запишіть довірчий інтервал.Щоб сформулювати інтервал довіри, просто запишіть середнє значення (93) ± похибка. Відповідь: 93±0,92. Ви можете знайти верхню та нижню межі довірчого інтервалу, додаючи та віднімаючи похибку до/від середньої величини. Отже, нижня межа становить 93 - 0,92 чи 92,08, а верхня межа становить 93 + 0,92 чи 93,92.
- Ви можете використовувати таку формулу для обчислення довірчого інтервалу: x ± Z a/2 * σ/√(n), де x - середнього значення.