Katlanabilir süperpozisyon fonksiyonu. Fonksiyonların süperpozisyonu. Monotonik Boole fonksiyonları
Bağımsız değişkenlerin değiştirilmesi ve yeniden adlandırılmasının ek işlemiyle birlikte f 1 , f 2 ... f n işlevi tarafından desteklenen f işlevine denir süperpozisyon işlevler.
Bir fonksiyonu diğer fonksiyonların üst üste binmesi olarak ifade eden herhangi bir formül, onu hesaplamak için bir yöntem belirtir, böylece formül, alt formüllerinin değerleri hesaplanarak hesaplanabilir. Formülün değerleri belirli bir çift değer kümesi kullanılarak hesaplanabilir.
Görünüm formülüne göre mantıksal işlevler tablosunu güncelleyebilirsiniz, ancak yanlışlıkla çünkü Cildin mantıksal işlevleri, farklı temellerdeki bir dizi formülde tespit edilebilir.
Bir ve aynı mantıksal f i fonksiyonunu temsil eden F i ve F j formüllerine denir eş değer . Yani eşdeğer formüllerle:
1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);
2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= u(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);
3. f 8 (x 1 ; x 2) = (x 1 × x 2) = u (x 1 Úx 2) = (x 1 x 2);
4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;
5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×` x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 “x 2);
6. f 13 (x 1 ;x 2)= (`x 1 Üx 2)=(x 1 ®x 2).
Bir F formülü bir F i alt formülü ise, o zaman F i'nin eşdeğer bir Fj ile değiştirilmesi herhangi bir Boole vektör kümesi için F formülünün değerini değiştirmez, bunun yerine açıklamasının biçimini değiştirir. F' formülünün yine F formülüne eşdeğer olduğu belirlenir.
Boole fonksiyonunun cebirinin karmaşık ifadelerini basitleştirmek için, birleştirin eşdeğer dönüşümler Boole cebirinin Vikorist yasaları oyuncu değişikliği kuralları і ikame ,
Boole cebiri formüllerini yazarken şunları unutmayın:
· Sol kol sayısı sağ kol sayısına eşittir,
· Üzerinde durulacak iki mantıksal bağlantı yoktur, dolayısıyla aralarındaki formül suçlanır,
· İki sipariş yok çeşitli formüller o zaman aralarında mantıksal bir bağlantı vardır,
· “×” mantıksal bağlantısı “Ú” mantıksal bağlantısından daha güçlüdür,
· (F 1 ×F 2) veya (F 1 Ú F 2) formülüne “ù” eklenirse, o zaman öncelikle de Morgan yasasının kısaltması: ù(F 1 ×F 2) = `F 1 Ú ` F 2 veya ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;
· Operasyon " × ”, kolları indirmenize izin veren “Ú” harfinden daha güçlüdür.
popo: F = x 1 x x 2 x x 3 x x 4 Ú x 1 x x 3 Ú x 2 x x 3 Ú x 3 x 4 formülünün viconati eşdeğeri yeniden düzenlenmesi.
· Değişme yasasının arkasında:
F = x 3 × x 1 × x 2 × 4 × 3 × 1 × × 3 × 2 × × 3 × 4;
· Dağılım yasasının arkasında:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Üx 3 ×`x 1 Üx 3 ×(`x 2 Üx 4);
· Dağılım yasasının arkasında:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Üx 3 ×(`x 1 Ü`x 2 Üx 4);
· Dağılım yasasının arkasında:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×` x 4)Ú(`x 1 Ü`x 2 Üx 4));
· De Morgan yasasının arkasında:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));
· Protirichchya yasasının arkasında:
Böylece x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 1 x x 3 Ú x 2 x x 3 Úx 3 x x 4 = x 3 .
popo: Formülün Viconati yeniden formüle edilmesi
F=(x 1 ×`x 2 Ü`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ü`x 1 ×x 2 );
· De Morgan yasasının arkasında
F=(x 1 ×`x 2 Ü`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ü`x 2)Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Üx 2)×(x 1 Ü`x 2);
· Dağılım yasasının arkasında:
F=x 1 ×`x 2 Ü`x 1 ×x 2 Üx 1 ×x 2;
· Değişebilirlik ve dağılım yasalarının arkasında:
F= 'x 1 ×x 2 Üx 1 ×('x 2 Üx 2);
· Protirichchya yasasının arkasında:
F = x 1 × x 2 Üx 1;
· Poretsky yasasının arkasında
Bu sırayla (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 )= (x 2 Üx 1).
popo: F=ù('x 1 Úx 2)Ú(('x 1 Úx 3)×x 2) formülünün Viconati yeniden formülasyonu.
· De Morgan yasasının arkasında:
F= ù(`x 1 Üx 2)×ù((`x 1 Üx 3)×x 2);
· De Morgan yasasının arkasında:
F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 × 3)Ú`x 2);
· De Morgan yasasının arkasında:
F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ü`x 2);
· Dağılım yasasının arkasında:
F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Üx 1 ×`x 2;
· Kanuna uy:
Bu şekilde mi?
popo: Viconati formülü yeniden oluşturdu:
F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 U`x 4)Ú(x 1 x 2)×ù(x 3 x 4).
1) formülü Boole cebirinin tabanına dönüştürün:
F=ù(`x 1 Üx 2)×(`x 3 Ü`x 4)Úù(x 1 Üx 2)× ù(x 3 ×x 4);
2) “`” işaretini çiftlere indirin:
F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ü`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ü`x 4);
3) dağılım yasasını kullanarak formülü dönüştürün:
F = x 1 × x 2 × x 3 Üx 1 × x 2 × x 4 Ü x 1 × x 2 × x 3 Ü x 1 × x 2 × x 4;
4) dağıtım yasası için x2 yayını suçlayın:
F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 × 1 ×`x 4 ×`x 1 ×`x 3 ×`x 1 x`x 4);
5) dağıtım yasasına göre dönüştürün:
F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ü`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ü`x 1));
6) vikoristovyvat protirіchchya yasası:
F=`x 2 ×(`x 3 Ü`x 4)
Boolean fonksiyonlarının gücü
Beslenme sıklıkla gündeme gelir: Bir Boole fonksiyonu f 0, f 1, .. f 15 formüllerinin süperpozisyonuyla temsil edilebilir mi? Bu formüllerin başka bir süperpozisyonunun arkasında herhangi bir Boolean fonksiyonu oluşturma olasılığını değerlendirmek için, bunların gücünü ve zihinsel yaşayabilirliğini işlevsel olarak değerlendirmek gerekir. yeni sistemler.
Kendinden tahrikli Boole işlevleri
kendinden tahrikli , eğer f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…` x n).
Örneğin, f 3 (x 1 ;x 2)=x 1 , f 5 (x 1 ;x 2)=x 2 , f 10 (x 1 ;x 2)=`x 2 ve f 12 (x 1 ; x 2)=`x 1 bağımsız değişkenlerdir, çünkü bağımsız değişkenin değerini değiştirdiğinizde değerleri de değişir.
Kendi kendine çift Boole fonksiyonlarıyla ek süperpozisyon işlemiyle ayrılan herhangi bir fonksiyonun kendisi de kendinin iki katıdır. Bu nedenle, kendi kendine yeten Boolean fonksiyonların yokluğu, kendi kendine yetmeyen fonksiyonların oluşmasına izin vermez.
Monotonik Boole fonksiyonları
f(x 1; x 2; … x n) fonksiyonu çağrılır monoton , çünkü deri için s 1i £s 2i Boolean vektörleri (s 11 ; s 12 ;……; s 1n) i (s 21 ;s 22 ;……; ;s 1i ;…;s 1n)£f(s 21) ; s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).
Örneğin, f(x 1 ; x 2) fonksiyonu için monoton fonksiyonlar e:
eğer (0; 0) £ (0; 1), o zaman f(0; 0) £ f (0; 1),
eğer (0; 0) £ (1; 0), o zaman f(0; 0) £ f(1; 0),
eğer (0; 1) £ (1; 1), o zaman f(0; 1) £ f(1; 1),
eğer (1; 0) £ (1; 1), o zaman f(1; 0) £ f(1; 1) ise.
Bu tür zihinler aşağıdaki işlevlerden memnundur:
f 0 (x 1; x 2) = 0; f 1 (x 1 ; x 2) = (x 1 × x 2); f 3 (x 1; x 2) = x 1; f 5 (x 1; x 2) = x 2; f 7 (x 1; x 2) = (x 1 Üx 2); f 15 (x 1; x 2) = 1.
Bir fonksiyon, monotonik Boolean fonksiyonlarının ek bir üst üste bindirme işlemiyle ayrılmış olsun, kendisi monotondur. Dolayısıyla monoton fonksiyonların olmaması, monoton olmayan fonksiyonların oluşmasına izin vermez.
Doğrusal Boole fonksiyonları
F 4 = (×; Å; 1) temelinde genişleyen Zhegalkin cebiri, herhangi bir mantıksal fonksiyonun, üyesi 0£i arasındaki bir Boole vektörünün I Boole değişkenlerinin birleşimi olan bir polinom tarafından temsil edilmesine izin verir. £n:
P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 j j k £ n b j ×x j ×x k Å…… 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... ×x n.
Örneğin mantıksal işlevler için f 8 (x 1 ; x 2)
Zhegalkin polinomu şuna benzer: P(x 1 ; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2 .
Zhegalkin cebirinin avantajları mantıksal formüllerin "aritmetikleştirilmesinde", eksiklikleri ise özellikle çok sayıda çift değişimin karmaşıklığında yatmaktadır.
O halde iki boyutlu değişkenlerin birleşiminin yerini alan Zhegalkin polinomları. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n ad doğrusal .
Örneğin, f9 (x 1; x 2) = 1Åx 1 Åx 2 veya f 12 (x 1; x 2) = 1Åx 1.
Modül 2'ye eklenen operasyonun ana gücü tablo 1.18'de gösterilmektedir.
Mantıksal işlev, cilt bazında tablo ve formül tarafından verildiğinden, o zaman. Farklı Boolean değişken kümeleri için bir Boolean fonksiyonunun değeri verildiğinde, tümünü hesaplayabilirsiniz.
Zhegalkin polinomunun katsayıları b i, bilinen tüm çift değişken kümeleri için sıra sistemini birleştirir.
popo: Bir Boole fonksiyonu verildiğinde f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2 . Bu fonksiyonun değerleri tüm Boolean değişken kümelerinde görülebilir.
F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;
İşaretler biliniyor b 0 = 0; b1 = 1; b2 = 1; b3 =1.
Ayrıca (x 1 Úx 2) = x 1 x 2 x 1 x 2, bu durumda ayrılma doğrusal olmayan bir Boole fonksiyonudur.
popo: verilen bir Boole fonksiyonu f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). Bu fonksiyonların anlamları da tüm ikili değiştirici takımları için aynıdır.
F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;
f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;
Yıldızlar b 0 = 1 olarak bilinir; b1 = 1; b2 = 0; b3 =1.
Otzhe, (x 1®x 2) = 1Å x 2 Å x 1 ×x 2.
Tablo 1.19, Tablo 1.15'teki Boole fonksiyonlarının ana temsilcileri için Zhegalkin polinomlarını göstermektedir.
Mantıksal bir fonksiyonun analitik ifadesi ve onun bilinmeyen değeri, farklı çift değişken kümeleri için verildikten sonra, konjonktif cebir tabanına doğru spiral çizen bir Boolean tabanı F 2 =(` ; ×) olan bir Zhegalkin polinomu oluşturmak mümkündür:
f(x 1 ; x 2)=(x 1 Üx 2) olsun.
Todi (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=
(x1x2x1x2).
f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2) olsun.
Todi (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1 = =(1Åx 1 Åx 1 ×x 2).
f(x 1; x 2) = (x 1 “x 2) olsun.
Todi (x 1 "x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=((( ( x 1 Å1)×(x 2 Å1))Å1)× ×(x 1 ×x 2 Å)Å1=(x 1 ×x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1)×(x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 Å
x 1 ×x 2 Åx 2 Å1=(1Åx 1 Åx 2).
Doğrusal mantıksal işlevlerden ek bir süperpozisyon işlemiyle ayrılan herhangi bir işlevin kendisi doğrusaldır. Dolayısıyla doğrusal fonksiyonların yokluğu doğrusal olmayan fonksiyonların oluşmasına izin vermez.
1.5.6.4. “0” kaydedilen fonksiyonlar
f(x 1 ; x 2 ;...x n) fonksiyonuna save “0” denir, çift değişimin değeri (0; 0;...0) ayarlandığında fonksiyon f(0) değerini alır. ; 0;…0)=0.
Örneğin, f 0 (0; 0) = 0, f 3 (0; 0) = 0, f 7 (0; 0) = 0 ve içinde.
“0”ı saklayan bir fonksiyonla ek bir süperpozisyon işlemiyle kaldırılan herhangi bir fonksiyonun kendisi de “0”ı saklayan bir fonksiyondur. Bu nedenle, “0”ı saklayan hiçbir fonksiyonun, “0”ı saklamayan fonksiyonların biçimlendirilmesine izin verilmez. ".
1.5.6.5. “1” kaydedilen fonksiyonlar
f(x 1 ; x 2 ;…x n) fonksiyonuna save “1” adı verilir, çünkü çift değişimin (1; 1;…1) değerleri yazıldığında fonksiyon f(1;1;…) değerini alır. 1)=1.
Örneğin, f 1 (1; 1) = 1, f3 (1; 1) = 1, f 5 (1; 1) = 1 ve içinde.
"1"i saklayan bir fonksiyonla süperpozisyon işlemiyle ayrılan herhangi bir fonksiyon, kendisi de "1"i saklar. "1"i saklayan hiçbir fonksiyonun, "1"i saklamayan fonksiyonları formüle etmesine izin verilmez.
Tek uçlu (bellek elemanlarının yerini almayan) ayrık mantık cihazları, çıkışta belirli bir mantık cebir fonksiyonları kümesini uygular 'F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), herhangi bir zamanda yalnızca binanın girişinin dışında yer alması gereken x n =(X 1 ,X 2 ,…, xn): `Fm = `Fm(x n). Uygulamada bu tür cihazlar, tek bir arama (sistem) gerçekleştirmek amacıyla birden fazla bölünemez elemandan tasarlanıp üretilmektedir ( F) bazı elemanların çıktılarını diğerlerinin girdilerine bağlayarak cebirin temel fonksiyonları.
Banyo tasarlarken mantıksal cihazlarÖnemli olan beslenmedir.
1. Temel işlevlerden oluşan bir sistem belirtilmiştir ( F). Çıkış fonksiyonları nelerdir? F ben vikory işlevlerini ('den kaldırabilirsiniz) F}?
2. Hiçbir çıkış Boolean işlevi belirtilmedi ( F) (zokrem, cebir mantığının tüm kişisel olmayan fonksiyonlarına eşittir R 2). Temel fonksiyonların çıktı sistemi nedir ( F), bu da çarpma işlevinden çıktının çıkarılması olasılığını sağlar ( F}?
Bu güç kaynağına bağlanan devre için fonksiyon sistemlerinin süperpozisyon, kapalılık ve yineleme kavramları kullanılmaktadır.
Viznachennya. Anlamsız mantıksal bağlantılara bir göz atalım ( F), şarkı söyleme sistemi işlevini gösterir ( F} . Süperpozisyon bitti{F), ('nin üzerinde bir formülle uygulanabilen bir j fonksiyonu olarak adlandırılır. F}.
Bir fonksiyonun () ile değiştirilmesi sonucunda başka bir süperpozisyon mümkündür. F) işlevin argümanları tamamen kişisel olmadığından.
popo 1. Fonksiyonlar sistemine bir göz atalım ( F} = {F 1 (X) =x, f 2 (x,y)= X&y, f 3 (x,y)=XÚ e). Bir işlevi değiştirme F 3 (x,y) ilk argüman yerine X işlev F 1 (X), başka birinin yerine - F 2 (x,y), süperpozisyonu iptal ediyoruz H(x,y)=F 3 (F 1 (X),F 2 (x,y))='xÚ X& en. Değişimin fiziksel uygulaması Şekil 1.18'de verilmiştir.
Viznachennya. Hadi gidelim M-Mantık cebirinin kişisel olmayan fonksiyonlarının on yılı ( P 2). Tüm süperpozisyonların kişiliksizliği M isminde mırıldandı kişiliksizlik M ve [ ile gösterilir M] Otrimannya M]çıkış faktörünün arkasında M isminde kapatma işlemi. Bezliç M isminde işlevsel olarak kapalı sınıf, yakscho [ M] = M. Alt kat MÍ M isminde M'de işlevsel olarak yeni sistem, yakscho [ M] = M.
Zamikannya [ M] ortadan kaldırılabilecek tüm kişisel olmayan işlevlerdir. M o zaman süperpozisyon işlemi yoluyla. tüm olası ikameler.
Saygı. 1. Açıkçası, bir işlevler sistemi olsun ( F) işlevsel olarak kendi içinde tamamlanmıştır.
2 . Güçten ödün vermeden aynı işlevin ne olduğunu anlamak önemlidir. F(X)=x Değişikliklerin doğruluğunun değerini değiştirmeyen, başlangıçta herhangi bir işlev sisteminin deposuna girer.
popo 2. Aşağıda tartışılan fonksiyon sistemleri için ( F) Vikonati'nin bu tür eylemleri:
1) sesi biliyorum [ F],
2) z'yasuvati, chi sistem olacak ( F) kapalı sınıf,
3) ('deki) tüm sistemlerin işlevlerini bilir F}.
Karar.
BEN. ( F}={0} . Fonksiyonun kurulduğu saatte ( f° 0) O zaman onu kendimden alacağım. Yeni işlevler oluşturulmuyor. Yıldız bağırıyor: [ F] = {F). Sistem işlevsel olarak kapalı bir sınıf olarak görülmektedir. İçindeki sistem işlevsel olarak yeni ve moderndir ( F}.
ІІ. ( F} = {0,Ø } . Değiştirme Ø (Ø X) aynı işlevi verir ancak çıktı sistemini resmi olarak genişletmez. Ancak Ø (0) yerine koyarken aynı birimi çıkarırız - yeni işlev, Çıkış sisteminin sahip olmadığı: Ø (0)=1 . Diğer ayarların askıya alınması yeni işlevlerin ortaya çıkmasına neden olmamalıdır, örneğin: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.
Bu şekilde süperpozisyon işleminin kurulması, harici kişisel olmayan işlevden daha eşit parçaların çıkarılmasını mümkün kılmıştır. F]=(0,Ø ,1). Girişi beğenin: ( F} Ì [ F] Vikhіdna sistemi ( F) işlevsel olarak kapalı bir sınıf değildir. Sistemin kreması ( F) İşlevsel olarak gelişmiş başka bir sistemi yoktur, yalnızca birkaçı tek bir işlevi yerine getirir. f= 0, yerine koyma yoluyla çıkarılamaz ve aynı sıfır, aynı fonksiyondan çıkarılamaz.
ІІІ. ( F) = (& ,Ú ,Ø ).Bu sistemin kapanışlarının tamamı cebirsel mantığın fonksiyonlarıdır. P 2, çünkü bunlardan herhangi birinin formülü, temel işlevlere sahip olan DNF veya CNF biçiminde temsil edilebilir ( F) = (& ,Ú ,Ø). Bu gerçek, dikkate alınan işlevler sisteminin bütünlüğünün yapıcı bir kanıtıdır. P 2: [F]=P 2 .
Oskolki'de P 2 ('ye bağlı) diğer işlevler olmadan gerçekleşir F) = (& ,Ú ,Ø ) ise sonuç aşağıdaki gibidir: ( F}Ì[ F] Sistem artık işlevsel olarak kapalı bir sınıf değildir.
Sistemin kendisine ek olarak işlevsel olarak alt sistemlere de sahip olacaktır ( F) 1 = (& ,Ø ) ki ( F) 2 = (Ú, Ø). Bu, De Morgan'ın ek kurallarını kullanarak, mantıksal toplama fonksiyonunun (& ,Ø) ve mantıksal çarpma fonksiyonunun & - (Ú, Ø) aracılığıyla ifade edilebileceği gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
(X & en) = Ø (` XÚ` en), (X Ú en) = Ø ( X &`en).
Diğer işlevsel olarak gelişmiş alt sistemler ( F) HAYIR.
Fonksiyon alt sisteminin eksiksizliğinin kontrol edilmesi ( F) 1 М ( F) tüm sistem için ( F) görüntüleme yoluyla seçilebilir ( F) 1 diğerinden önce, açıkçası yine ( F) sistemi.
Alt sistemin tutarsızlığı ( F) 1 inç ( F) girişi tamamlayarak doğrulanabilir [ F 1 ] М [ F].
Viznachennya. Alt kat MÍ M Arama işlevsel temel(temel)M sistemi, yakscho [ M] = M ve herhangi bir işlevi kapattıktan sonra tekrar çözmek imkansızdır M .
Saygı. Bir işlevler sisteminin temelleri (F) hepsi işlevsel olarak gelişmiş alt sistemlerdir (F) 1, para israf etmeden değiştirilmesi imkansız (F).
popo 3. Ek 2'de incelenen tüm sistemlerin temellerini öğrenebilirsiniz.
Karar.Tip 1 ve 2'de sistemlerin kendisi dışında fonksiyonelliği farklıdır ve sesleri imkansızdır. Baz gibi kokuyor.
Durum 3'te işlevsel olarak iki yenisi vardır ( F) alt sistemler ( F) 1 = (&,Ø) ve ( F) 2 =(Ú,Ø), zaman kaybetmeden hızlanmak imkansızdır. Koku sistemin temeli olacaktır ( F} = {&,Ú,Ø}.
Viznachennya. Sistemin gitmesine izin verin ( F) kapalı bir sınıftır. Bu alt bölüm ( F) 1 М ( F)isim birinci sınıf{F), yakşço ( F) 1 tam olarak içinde değil ( F} ([F 1 ] М [ F]) ve sistemin herhangi bir işlevi için ( F), ('e kadar girmeyin) F) 1 (jО( F} \ {F) 1) doğru: [ JÈ { F} 1 ] = [F], Daha sonra. ek jk ( F) 1 tekrar çalışmak üzere ( F} .
Zavdannya
1. Çarpanların kapalılığını aşağıdaki işlevlerle kontrol edin:
a) (Ø); b)(1,Ø); c) ((0111); (10)); d) ((11101110); (0110)); d) ((0001); (00000001);
2. Sistem fonksiyonlarının eksiksizliğini kontrol edin P 2:
a) (0,Ø); b)((0101),(1010)); V)(?); d) ((0001), (1010)).
3. Fonksiyonlar sisteminin kapanışını ve temelini öğrenin:
a) (0, 1, Ø); b)((1000), (1010), (0101)); c)((0001), (1110), (10)); d) ((1010), (0001), (0111)).
1.10.2 Sabitleri kaydeden işlevler. Klasi T 0 ve T 1
Viznachennya.İşlev F(`xn) kaydeder 0, yakscho F(0,..., 0) = 0. İşlev F(x n) kaydeder 1, yakscho F(1, ... , 1) = 1.
Kişisel olmayan işlev N 0 ve 1'i koruyan değişkenler açıkçası şu anlama gelir: T 0 Nі T 1 N. 0 ve 1'i saklayan tüm mantıksal cebir fonksiyonları çokluğu , anlam T 0 і T 1. Kozhna z mnozhin T 0 şu T 1 є kapalı ön sınıf R 2 .
Temel işlevlerle T 0 şu T 1 aynı anda girin, örneğin і Ú. Herhangi bir fonksiyonun sınıflara ait olması T 0 , TŞekil 1'de, doğruluk tablosundaki vektör değerinin ilk ve kalan değerlerini veya formüldeki sıfırları ve birleri analitik olarak belirtilen bir fonksiyonla değiştirerek kontrol edebilirsiniz.
Viznachennya.Çift Bir fonksiyonda birçok bağımsız değişken yerine aynı değişkeni kullanırsanız buna ikame denir. Daha önce birbirinden bağımsız olarak değer kazanan kümelerdeki değişimin büyüklüğü göz önüne alındığında artık aynı olacaktır.
ZAVDANNYA
1.Sınıfların sahipliğini kontrol edin T 0 і T1 işlevler:
a) düzenli toplama, b) normal çarpma, c) sabitler, d) xyÚ yz D) X® en® xy, e) XÅ en, Ve) ( X 1 A … Å X n) ® ( sen 1 A … Å sen m) en n,mÎ N.
2. Derslerden ten yakınlığını getirin T 0 і T 1 .
3. İstediğinizi getirin F(x n) Ï T 0'ı kullanarak, yinelenen bir ikame yolunu kullanarak, sabit 1'i veya değişimi çıkarabilirsiniz.
4. Ne demek istediğinizi getirin F(x n) Ï T 1 daha sonra bununla yinelenen bir ikame yolunu kullanarak sabit 0'ı veya numaralandırmayı çıkarabilirsiniz.
5. Cilt tonunu iyileştirin T 0 і T 1 (örneğin, yükseltilmiş sistemi ( F} = {& ,Ú ,Ø }).
6. Sınıfların gücünü bilin T 0 Nі T 1 N.
Konu: “İşlev: kavramlar, uygulama yöntemleri, temel özellikler. Kapı işlevi. Fonksiyonların süperpozisyonu.
Ders epigrafı:
“Şimdi kanatlan ve endişelenme
vivchenim – kesinlikle gölgeli.
Her şeyi mahvetmeden chimo'ların üzerinden uysalca geç
önceden düşünce konusu -
Konfüçyüs.
Ders için meta ve psikolojik ve pedagojik talimatlar:
1) Kamera arkası aydınlatma (normatif) meta: Öğrencilere fonksiyonların önemini ve gücünü tekrarlayın.Fonksiyonların süperpozisyonu kavramını tanıtın.
2) Öğrenciler için Matematiksel Gelişim Bölümü: standart olmayan temel matematik materyali üzerinde, öğrencilerin zihinsel bilgilerinin gelişimini sürdürmek, mantıksal-tümdengelimli ve tümevarımlı, analitik ve sentetik etik ters düşünme aralığı dahil olmak üzere matematiksel zekalarının yerine geçen bilişsel yapısını cebirsel spesifikasyona kadar geliştirmek, öğrencilerin üstbilişsel yetenekleri olarak yansıtma ve bağımsızlığa; temel matematik zekasının psikolojik mekanizmaları olarak yazılı ve sözlü iletişim kültürünün geliştirilmesine devam etmek.
3) Vikhovny Zavodnya: öğrencilere özellikle matematiğe bilişsel ilgi, yeterlilik, bağlılık duygusu, akademik bağımsızlık, iletişim becerileri, bir grupla, bir öğrenciyle ve akranlarıyla çalışma konusunda aşılamaya devam etmek; zmagalny'ye otogojik köken temel matematik etkinlikleri, Yüksek ve mükemmel sonuçlar için dua etmek (acmeic saik)
Ders türü: yeni malzemenin tanıtılması; sağlam bir matematik kursunun kriteri için - pratik bir ders; eğitim ve çıktı arasındaki bilgi etkileşimi türü kriterine göre - eğitimde bir ders.
Ders talimatı:
1. Temel literatür:
1) Kudryavtsev'in matematiksel analizi: Baş. üniversite ve üniversite öğrencileri için. U 3 t.T. 3. - 2. versiyon, Revize edildi. Eklemek istiyorum. - M.: Vishch. okul, 1989. - 352 s. : hasta.
2) Demidovich matematiksel analizden sorumludur. - 9. tip. - M .: Vidavnitstvo "Bilim", 1977.
2. Çizimler.
Ders ilerlemesi.
1. Bunlar ve dersin ana aydınlatması karşısında hayrete düştüm; öğrencilerin bağlılık, özgünlük ve ilgi duygusunun uyarılması seans öncesi hazırlık.
2.Materyalin yiyecekle tekrarı.
a) Fonksiyonun atanma tarihleri.
Temel matematiksel anlayışlardan biri fonksiyon kavramıdır. Fonksiyon kavramı, iki çarpanın elemanları arasında belirlenen konumla ilgilidir.
İki boş faktör verelim ve . Dış yüzey elemanı tek ve tek bir elemandan oluştuğu için f tipine denir işlev y = f(x) şeklinde yazılır. Başka bir deyişle f fonksiyonu betimliyor kişisel olmayan üzerine kişisel olmayan.
https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" genişlik = "63" yükseklik = "27">.gif" genişlik = "59" yükseklik = "26"> çağrıldı anlamsız f fonksiyonu E(f) ile gösterilir.
b) Sayısal fonksiyonlar. Fonksiyon grafiği. İşlevleri ayarlama yöntemleri.
Fonksiyon verilsin.
Çokluğun elemanları ondalık sayılar ise f fonksiyonu çağrılır sayısal fonksiyon . Zminna x buna denir argüman veya bağımsız olarak değiştirilebilir ve y – işlev ya da başka bayat et(X'i görüntüle). Görünüşe göre x ve y değerlerinin kendileri işlevsel konum.
Fonksiyon grafiği y = f(x), Oksi düzleminin tüm noktaları olmadan çağrılır; bunların her biri x, argümanın değeridir ve y, fonksiyonun karşılık gelen değeridir.
Y = f(x) fonksiyonunu ayarlamak için, x'i bilerek y için benzer değerleri bulmayı sağlayan bir kural belirtmeniz gerekir.
Çoğu zaman bir işlevi gerçekleştirmenin üç yolu vardır: analitik, tablosal, grafik.
Analitik metod: fonksiyon bir veya daha fazla formül veya denklem biçiminde belirtilir.
Örneğin:
y = f(x) fonksiyonunun anlam alanı atanmadığı için karşılık gelen formülün anlam taşıdığı argümana herhangi bir anlam yüklemeden kaçınılacak şekilde aktarılır.
Bir fonksiyonu tanımlamanın analitik yöntemi en kapsamlı olanıdır çünkü daha önce uygulanan matematiksel analiz yöntemleri, y = f(x) fonksiyonunu tamamen izlememize olanak tanır.
Grafik yöntemi: İşlev programı ayarlanır.
Grafik tasarımın avantajı kesin olmaması değil, kesin olmasıdır.
Tablo yöntemi: fonksiyon, bir dizi argüman değeri ve alt fonksiyon değerleri içeren bir tablo ile gösterilir. Örneğin tablolar trigonometrik fonksiyonların değerlerini ve logaritmik tabloları içerir.
c) Fonksiyonun ana göstergeleri.
1. D çarpanı üzerinden hesaplanan y = f(x) fonksiyonuna denir buhar odaları bunun hakkında nasıl düşünülmeli f(-x) = f(x); eşleştirilmemiş Bunu nasıl düşünmeliyiz? f(-x) = -f(x).
Eşleştirilmiş bir fonksiyonun grafiği Oy ekseni boyunca simetriktir ve eşlenmemiş bir fonksiyonun grafiği koordinatlar boyunca simetriktir. Örneğin – erkek işlevleri; ve y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" - işlevler bunu dört gözle bekliyorum, o zaman onlar erkek değiller ve onlar erkek değiller.
2. y = f(x) fonksiyonunun D çarpanı tarafından hesaplanmasına izin verin ve bırakın. Eşitsizlikle ilgili argümanların anlamı ne olursa olsun, eşitsizlik ortaya çıkar: 
sonra fonksiyon çağrılır büyüyor
kişiliksizlik üzerine; yakscho 
sonra fonksiyon çağrılır düşmeyen
https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" ses işlevinde. azalıyor
üzerinde; 
- olgunlaşmamış
.
D çarpanı üzerinde büyüyen, sürdürülmeyen, azalan ve değişmez fonksiyonlar (x+T)D değerleri olup f(x+T) = f(x) eşitliği hesaplanır.
Periyodik bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, T periyodunun onu T'ye kadar herhangi bir bölüm için uyandırması ve periyodik olarak belirlenen alanın tamamına genişletmesi yeterlidir.
Periyodik fonksiyonun temel gücü önemlidir.
1) Aynı T periyodunu kapsayan periyodik fonksiyonların cebirsel toplamı, T periyodlu bir periyodik fonksiyondur.
2) f(x) fonksiyonu T periyodu olduğuna göre f(ax) fonksiyonu T/a periyodudur.
d) Fonksiyon sarılmıştır.
D değerli bir bölge ve değişmez bir E değeri ile bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon z(y) olarak adlandırılır. geçit
f(x) fonksiyonuna yazılır ve aşağıdaki biçimde yazılır: 
. y = f(x) ve x = z(y) fonksiyonları hakkında bunların karşılıklı olarak ters olduğunu söyleyebiliriz. Y = f(x) fonksiyonuna sarılmış x = z(y) fonksiyonunu bilmek için f(x) = y'den x'e denklemini hesaplamak yeterlidir.
Uygula:
1. y = 2x fonksiyonu için ters fonksiyon x = y fonksiyonudur;
2. İşlev için 
Dönüş işlevi bir işlevdir.
Vibivanın fonksiyonlarının kısır gücü, y = f (x) fonksiyonları görülebilir, eğer zihinsel olarak net bir adamsa, çokluktaki çoğuluk I e. Zvidsey, çiçek aç kesinlikle monotonik bir fonksiyonun tersine dönüşü vardır . Bu durumda fonksiyon büyüdükçe (değiştikçe), dönüş fonksiyonu da büyür (değişir).
3. Yeni materyalin tanıtılması.
Katlama işlevi.
D çarpanına y = f(u) fonksiyonu ve çarpana u = z(x) fonksiyonu atansın ve aynı zamanda 
. Daha sonra çarpan, u = f(z(x)) fonksiyonu ile tanımlanır. katlama fonksiyonu
x'i görüntüle (veya süperpozisyon
fonksiyon atamaları veya işlev olarak işlev
).
u = z(x) değerine denir ara argüman katlama fonksiyonları.
Örneğin, y = sin2x fonksiyonu, y = sinu ve u = 2x olmak üzere iki fonksiyonun süperpozisyonudur. Bir katlama işlevi bir dizi ara argüman alabilir.
4. Tahta için birkaç dipçiğin versiyonu.
5. Dersin özeti.
1) teorik ve uygulamalı pratik istihdam çantaları; farklılaşmışöğrencilerin zihinsel değerlendirme düzeyinin değerlendirilmesi; edindikleri yeterlilik düzeyi, sözlü ve yazılı matematik dilinin kalitesi; ortaya çıkan yaratıcılığın düzeyi; bağımsızlık ve yansıma düzeyi; inisiyatif düzeyi, diğer matematiksel düşünme yöntemlerine bilgili ilgi; yüksek düzeyde akademik mükemmellik, entelektüel yetenek, yüksek düzeyde temel matematiksel aktiviteye yönelik gelişme vb.;
2) tartışma notlarının, ders topunun şaşkına dönmesi.
f(x 1 , x 2 , ... , x n) fonksiyonu fonksiyon olsun
Bu fonksiyona aynı zamanda denir fonksiyonun süperpozisyonu f(x 1 , x 2 , ... , x n) ve işlev .
Başka bir deyişle: F = ( f j ) olsun - mantık cebirinin bir dizi işlevi zorunlu değildir. F fonksiyonuna, bir fonksiyonun F çarpanıyla veya F üzerinde bir fonksiyonla süperpozisyonu denir, çünkü bir veya daha fazla ikame fonksiyonunun F çarpanıyla değiştirilmesiyle fonksiyondan çıkarılır.
popo.
Kişisel olmayan işlev tarafından verilsin
F = (f 1 (x 1), f 2 (x 1, x 2, x 3), f 3 (x 1, x 2)).
O zaman fonksiyonların F ile süperpozisyonları örneğin şu fonksiyonlar olacaktır:
j 1 (x 2 x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));
j 2 (x 1, x 2) = f 2 (x 1, f 1 (x 1), f 3 (x 1, x 2)).
Tamamlanmış DNF - çokluklu fonksiyonların süperpozisyonu
. ð
Viznachennya.
Fonksiyonlar sisteminin adı Tekrar Sistemin fonksiyonundaki değişikliklerin üst üste bindirilmesi ve ikame edilmesi şeklindeki ek işlem nedeniyle, mantık cebirinin herhangi bir fonksiyonu kaldırılabilir. ð
Zaten yeni bir dizi yeni sistemimiz var:
;
yani yak 
;
yani yak 
;
(x + y, xy, 1). ð
Sizce nasıl, sistem ne işe yarıyor? Kapalı sınıf kavramları bu kavramlarla yakından ilişkilidir.
Kapalı sınıflar.
Cebir mantığının kişisel olmayan (sınıf) bir K fonksiyonuna denir kapalı sınıf K süperpozisyon ve değiştirilebilir olanların değiştirilmesi işlemlerinden gelen tüm fonksiyonları yerleştirmek ve diğer fonksiyonları karıştırmamak için.
K, P2'li fonksiyonun bir alt kümesi olsun. K'nin kapanması, ek süperpozisyon işlemi ve alternatif fonksiyonların K çarpanı ile değiştirilmesiyle temsil edilen tüm Boolean fonksiyonlarının yokluğuna verilen addır. K çarpanının kapanması [K] ile gösterilir.
Kapanış koşulları başka kapanış ve yeniden açılış tarihlerine sahip olabilir (hafta sonlarına eşdeğer):
K-kapama sınıfı, burada K = [K];
[K] = P 2 olduğundan K tam bir sistemdir.
Uygula.
* (0), (1) – kapalı sınıflar.
* Değiştirilebilen tek bir işlev vardır; kapalı sınıf.
* - kapalı sınıf.
* Sınıf (1, x+y) kapalı bir sınıf değildir.
En önemli kapalı sınıfların eylemlerine bir göz atalım.
1. T 0- Kaydedilen fonksiyonların sınıfı 0.
f(x 1 , x 2 , ... , x n) mantık cebirinin tüm fonksiyonlarının sınıfı, f(0, ... , 0) fonksiyonları gibi, 0 sabitini koruyan T 0 aracılığıyla önemlidir. = 0.
Hangi fonksiyonların T 0'a ait olduğunu ve hangi fonksiyonların hangi sınıfa ait olmadığını bulmak kolaydır:
0, x, xy, xUy, x+y О T 0 ;
Çünkü T 0 örneğin ayrılık ve bağlaçla ifade edilemeyeceği anlamına gelir.
T 0 sınıfına sahip f fonksiyonunun tablosu ilk satırda 0 olarak ayarlanmışsa, T 0 olan fonksiyon için 2 n - 1 değişiklik seti için ek değerler ayarlayabilirsiniz, ardından
,
de - 0'ı kaydeden ve değiştirilebilir n'nin arasında yer alan işlevsel olmayan işlevler.
T0'ın kapalı bir sınıf olduğunu gösterelim. Eğer xÎT 0 ise, kapatmayı belirlemek için, alternatif elemanları değiştirme işlemi olduğundan, kapatmayı süperpozisyon işlemi yoluyla göstermek yeterlidir. okremy vipadok x fonksiyonuyla süperpozisyon.
Bırak gitsin. Ne olduğunu göstermek yeterli. Gerisi kıskançlığın yayından akar
2. T 1- Kaydedilen işlevlerin sınıfı 1.
Sabit 1'i koruyan f(x 1, x 2, ... , x n) mantık cebirinin tüm fonksiyonlarının ve ayrıca f(1, ...) fonksiyonlarının 1. sınıfı T aracılığıyla önemlidir. , 1) = 1.
Hangi fonksiyonların T 1'e ait olduğunu ve hangilerinin bu sınıfa ait olmadığını bulmak kolaydır:
1, x, xy, xÚy, x°y О T 1 ;
0, , x+yÏ T 1 .
Çünkü x + y Ï T 0, örneğin x + y'nin ayrım ve bağlaçla ifade edilemeyeceği anlamına gelir.
T0 sınıfına ilişkin sonuçlar önemsiz bir şekilde T1 sınıfına aktarılmaktadır. Bu şekilde lütfen:
T 1 – kapalı sınıf;
.
3.L- Doğrusal fonksiyonların sınıfı.
Önemli ölçüde L aracılığıyla mantık cebirinin doğrusal olan tüm f(x 1 , x 2 , ... , x n) fonksiyonlarının sınıfı:
Hangi fonksiyonların L'ye ait olduğunu ve hangi sınıfa ait olmadığını bulmak kolaydır:
0, 1, x, x+y, x 1° x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;
Örneğin xÚy Ï L olduğunu kanıtlayalım.
Kabul etmeyelim. xÚy için basit bir ifade, önemsiz katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyona benzer:
x = y = 0'da a = 0 olabilir,
x = 1, y = 0'da b = 1 olabilir,
x = 0, y = 1'de g = 1 olabilir,
Ayrıca x = 1, y = 1 için 1Ú 1 ¹ 1 + 1'i kullanabiliriz, bu da xÚy fonksiyonunu doğrusal olmayan hale getirir.
Doğrusal fonksiyonlar sınıfının kapalılığının kanıtı tamamen açıktır.
Geriye kalan doğrusal fonksiyon, a 0 , ... katsayısının verilen n+1 değerlerine benzersiz bir şekilde atanır, bir n, n değişken 2 n+1 içinde yer alan L (n) sınıfı fonksiyonlardaki doğrusal fonksiyonların sayısıdır. .
.
4.S- Kendi kendine işleyen işlevler sınıfı.
Kendi kendine ikili işlevler sınıfı, sözde ikililik ve ikili işlevler ilkesine dayanmaktadır.
Kıskançlığın gösterdiği işleve ne ad verilir? işlev için çift .
Açıkça, çift işlev tablosu (değer kümelerinin standart sıralaması değiştirilerek) cob işlevi tablosundan gelir ve işlevin değerini eşleştirmek için ters çevirir (0'ı 1 ile ve 1'i 0 ile değiştirerek) baş aşağı ta yogo.
Kolay baciti, okul
(x 1 Ü x 2)* = x 1 ? x2,
(x 1 ? x 2)* = x 1 Ü x 2 .
Değer (f*)* = f anlamına gelir, yani f fonksiyonu f*'ın iki katıdır.
Fonksiyonun diğer fonksiyonlar aracılığıyla ek süperpozisyonla ifade edilmesine izin verin. Yemek oruçtur, formülü nasıl elde edeceksiniz, ne uyguluyor? Önemli ölçüde = (x 1, ..., x n) yoluyla hepsi farklı semboller setler gibi değiştirilebilir.
Teorem 2.6. j fonksiyonu f, f 1, f 2, ..., f m fonksiyonlarının süperpozisyonu olarak tanımlandığı için, o zaman
Süperpozisyona genişletilebilen bir fonksiyon, iki fonksiyonun süperpozisyonudur.
Bitti.
j*(x 1 ,...,x n) = 'f('x 1 ,...,` x n) =
Teorem kanıtlandı. ð
Teorem dualite ilkesine dayanmaktadır: eğer A formülü f(x 1 , ... , x n) fonksiyonunu uyguluyorsa, o zaman kendisinden önce gelen fonksiyonun yerine geçerek A'dan çıkarılan formül çiftlerde ikili fonksiyonu uygular f*(x 1 , ... , xn).
Önemli ölçüde S aracılığıyla, P 2'ye sahip tüm öz-çift fonksiyonların sınıfı:
S = (f | f * = f)
Hangi fonksiyonların S'ye ait olduğunu ve hangi fonksiyonların sınıfa ait olmadığını anlamak kolaydır:
0, 1, xy, xy Ï S .
Kendi kendini ikiye katlayan bir fonksiyonun ve bir fonksiyonun daha az önemsiz bir kısmı
h(x, y, z) = xy U xz U yz;
Vikorist'in bir süperpozisyona genişletilmiş bir fonksiyon hakkındaki teoremi belki de
h * (x, y, z) = (x U y) = (x U z) = (y = z) = x y U x z Ú y z; h = h *; h О S.
Kendi kendine çift işlev için aynı durum geçerlidir
peki ya setler 
Ve, uzayan dediğimiz gibi, kendinin iki katı işlevi, uzayan anlamlar kazanır. Bağımsız işlevin tamamen standart tablonun satırlarının ilk yarısındaki değerleri tarafından belirlendiği ortaya çıktı. Bu nedenle, n adet değiştirilebilir fonksiyon arasında yer alan S(n) sınıfı fonksiyonlardaki kendi kendine çift fonksiyonların sayısı eskidir:
.
Şimdi S sınıfı kapanışların olduğunu kanıtlayalım. Kapanışın başlatılması için xÎS parçaları, süperpozisyonun alternatif ve bitişik kısımlarının x fonksiyonu ile değiştirilmesi işleminden bu yana, süperpozisyon işleminden önceki kapanışı gösterir. Bırak gitsin. Ne olduğunu göstermek yeterli. Geri kalanı doğrudan yüklenir:
5. M- Monotonik fonksiyonların sınıfı.
Cebirsel mantığın monotonik fonksiyonu kavramını anlamak için öncelikle kümelerin ve değişken olanların kişiliksizliğine ilişkin sıralama ilişkilerini tanıtmak gerekir.
Görünüşe göre çevirme, çevirmeden önce yapılıyor 
(“daha fazla yok” veya “daha az veya daha fazla”) ve değerleri ayarlayın, çünkü tüm i = 1, ... , n için a i £ b i. Eğer öyleyse, o zaman suvoro kümesinin kümeden önce geldiğini (kümeye göre "suvoro daha az" veya "daha az") ve vikoristovuvat'ın atama olduğunu söyleyeceğiz. Kümelere eşit denir veya tutarlı değillerse hizalanmamış kümeler denir. Örneğin (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), ancak (0, 1, 1, 0) ve (1, 0, 1, 0) kümeleri eşit değildir. Zamanlamanın kendisi, n çokluğu üzerinde kısmi bir sıra ile (genellikle ileri konum olarak adlandırılan) bir £ ilişkisidir. Aşağıdaki diyagramlar sıklıkla sıralanan 2, 3 ve 4 faktörlerini göstermektedir.
 |
 |
Özel bir düzen getirildi - kursumuzun sınırlarının çok ötesine geçmenin önemli olduğunu anlamak önemlidir.
Artık monoton fonksiyon kavramını anlayabiliriz.
Cebir mantık fonksiyonu denir monoton eşitsizlik olabilecek herhangi iki küme için 
. Mantık cebirinin tüm monotonik fonksiyonlarının listesi M ile gösterilir ve n değişiklikleri arasında yer alan tüm monotonik fonksiyonların listesi M (n) ile gösterilir.
Hangi fonksiyonların M'ye ait olduğunu ve hangi fonksiyonların sınıfa ait olmadığını anlamak kolaydır:
0, 1, x, xy, xÚy О M;
x+y, x®y, x°y Ï M .
Monotonik fonksiyonlar M sınıfının kapalı bir sınıf olduğunu gösterelim. Dolayısıyla xÎM olarak kapanışı belirlemek için süperpozisyon işleminden önce kapanışı göstermek yeterlidir, çünkü değişkenleri değiştirme işlemi x fonksiyonuna süperpozisyon eklenmesiyle eklenir.
Bırak gitsin. Ne olduğunu göstermek yeterli.
Devam edin - değiştirilebilir fonksiyon kümeleri, tabii ki j, f 1 , ... , f m ve değiştirilebilir fonksiyonlar olmadan j bunlardan ve daha az değiştirilebilir olanlardan oluşur ve bunlar f 1 , ... , f m fonksiyonları tarafından daraltılır. Bu konuda bir veya iki değiştirilebilir değer kümesine sahip olayım. qi setleri ortalama setler 
değişikliklerin anlamı 
, şöyle böyle 
. f 1 , ... , f m fonksiyonlarının monotonluğu sayesinde
ve f fonksiyonunun monotonluğu sayesinde
Yıldızlar kaldırılabilir
N değişken arasında yer alan monotonik fonksiyonların sayısı tamamen bilinmemektedir. Derecelendirmeyi aşağıdan kolayca kaldırabilirsiniz:
burada n/2'nin tam bir kısmı var.
Yani dışarı çıkıp canavarı tahmin etmek kolaydır:
Bu tahminlerin netleştirilmesi güncel araştırmaların yürütülmesi açısından daha önemli ve önemlidir.
İkmal kriteri
Artık tekrarlama kriterini (Post teoremi) formüle edebilir ve geliştirebiliriz; bu, bir işlevler sisteminin bütünlüğü için yeterli zekanın gerekli olduğu anlamına gelir. Önceden, yinelenme kriterini bağımsız olarak ilgilenebilecek bir dizi gerekli lemma ile formüle etmek ve doğrulamak.
Lemma 2.7. Kendine değer vermeyen bir fonksiyon hakkında Lemma.
Eğer f(x 1 , ... , x n) S ise, o zaman sabit, x ve 'x fonksiyonlarını değiştirerek ondan türetilebilir.
Bitti. FÏS'ten ayrılırsanız bir dizi değer bulacaksınız
=(a 1 ,...,a n) öyle ki
f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)
f fonksiyonunun argümanlarını değiştirin:
x i ile değiştirilir 
,
O zaman onu bir kenara bırakalım ve fonksiyona bakalım
Kendimiz bir sabit bulduk (bu doğru, ne tür bir sabit olduğu belli değil: 0 ve 1). ð
Lemma 2.8. Monotonik olmayan bir fonksiyonla ilgili Lemma.
f(x 1 ,...,x n) fonksiyonu monotonik olmadığından, f(x 1 ,...,x n) M olduğundan, değişiklikleri değiştirerek ve 0 ve 1 sabitlerini değiştirerek diziyi ortadan kaldırmak mümkündür.
Bitti. f(x 1 ,...,x n) Ï M parçaları, o zaman değişen bir değerler kümesi bulacağız, 
, 
, yani ve bir değer için bir i yerleştirmek istiyorum< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:
x ile değiştirilebilirim 
Böyle bir ikameden sonra, bir j(x) değişkeninin fonksiyonu kaldırılır, bunun için:
Bu, j(x)=`x anlamına gelir. Lemma tamamlandı. ð
Lemma 2.9. Doğrusal olmayan bir fonksiyonla ilgili Lemma.
Eğer f(x 1 ,...,x n) L ise, bununla birlikte 0, 1 sabitlerini ve dolaylı fonksiyon 'x'i yerine koyma yöntemi x 1 & x 2 fonksiyonunu elde etmek için kullanılabilir.
Bitti. f'nin bir DNF (örneğin kapsamlı bir DNF) ve hızlı bir ilişki biçiminde olduğunu hayal edin:
popo. Masaya iki izmarit getirelim ve onları yeniden işleyelim.
Bu şekilde fonksiyon ayrık normal formda yazılır, ilişkilerin anlamları sabitlendikten, kollar açıldıktan ve cebirin garip dönüşümlerinden sonra mod 2 polinomuna (Zhegalkin polinomu) geçer:
burada A 0 bir sabittir ve A i, x 1, ..., x n, i = 1, 2, ..., r değişken sayılarının birleşimidir.
Ai kutanöz birleşimi yalnızca bir değişkenden oluştuğu için f, akılda tutulması mükemmel olan doğrusal bir fonksiyondur.
Ayrıca f fonksiyonu için Zhegalkin polinomunda en az iki türdeş içeren bir terim vardır. Karmaşıklığı sınırlamadan, bu faktörlerden x 1 ve x 2 değişikliklerinin olduğunu hatırlamak önemlidir. Bu polinom şu şekilde yeniden düzenlenebilir:
f = x 1 x 2 f 1 (x 3, ..., x n) + x 1 f 2 (x 3, ..., x n) + x 2 f 3 (x 3, ..., x n) + f 4 (x 3, ..., x n),
de f 1 (x 3, ..., x n) ¹ 0 (aksi takdirde polinom x 1 x 2 birleşimini karşılayacak bağlacı içermez).
(a 3 ,...,a n) olsun, böylece f 1 (a 3 ,...,a n) = 1 olsun.
j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,
burada a, b, g 0 veya 1'e eşit sabitlerdir.
Bizim gibi hızlı bir işlem kullanarak j(x 1 ,x 2)'den gelen y(x 1 ,x 2) fonksiyonuna şu şekilde bakalım:
y(x1, x2) = j(x1+b, x2+a)+ab+g.
Açıkça
y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.
Otje,
y(x1, x2) = x1x2.
Lemma tamamen kanıtlanmıştır. ð
Lemma 2.10. Ana prensip tekrar kriterine dayanmaktadır.
Mantık cebirinin F = ( f ) sınıfı fonksiyonlarında, birini kaydetmeyen, 0'ı kaydetmeyen, kendi kendine yeterli olmayan ve monoton olmayan fonksiyonlar vardır:
Daha sonra sistemin fonksiyonundan 0, 1 sabitleri ve fonksiyon süperpozisyon ve ikame işlemleri kullanılarak çıkarılabilir.
Bitti. Fonksiyona bir göz atalım. Todi
.
Mevcut görüşlerin iki olası türü vardır; aşağıdaki tartışmada bunlar 1) ve 2) olarak adlandırılmıştır.
1). Tek bir kümedeki fonksiyon 0 değerini kazanır:
.
Her şey değiştirilebilir Değiştirilebilir işlevler değiştirilebilir x Bu işlev
Evet daha fazla
і 
.
Kendi kendine yeterli olmayan bir fonksiyonu ele alalım. İşlevi zaten kaldırdığımıza göre, öz olmayan işlevle ilgili lemaya göre (lema 2.7. ) sabitinden çıkarılabilir. Başka bir sabit ilk vikorist fonksiyondan türetilebilir. İlk bakılanda çarpı işareti olan sabit vardı. . Başka bir konu ve aynı zamanda tamlık, tamlık kriteri ile ilgili temel sorun. ð
Teorem 2.11. Cebir mantığındaki fonksiyon sistemlerinin tamlığı kriteri (Post teoremi).
F = (f i ) fonksiyonlar sisteminin tam olması için, T 0 , T 1 , L , S , M beş kapalı sınıfın her birine tam olarak uymaması gerekli ve yeterlidir; böylece her biri için T 0 , T 1 , L , S, M sınıfında F'de bu sınıfa ait olmayan en az bir fonksiyon bulunmaktadır.
gereklilik. Sistem F olsun. O halde F'nin K aracılığıyla anlamlı olan anlam sınıflarından birinde yer alması kabul edilebilir. F Í K. Geriye kalanlar imkansızdır, K'nın parçaları kapalı bir sınıftır ve bu tam bir sistem değildir.
Kullanılabilirlik. F = (f i ) fonksiyon sisteminin T 0 , T 1 , L , S , M beş kapalı sınıfa tamamen uymadığını varsayalım. F fonksiyonundan alınmıştır:
Todi ana lemaya (lema) dayanmaktadır. 2.10 ) 0'ı saklamayan bir işlevle, 1'i saklamayan bir işlevle, kendi kendini kontrol etmeyen ve monoton olmayan bir işlev, 0, 1 sabitlerini ve numaralandırma işlevini kaldırmak için kullanılabilir:
.
Standın üzerinde doğrusal olmayan bir fonksiyonla ilgili bir lema vardır (lema 2.9 ) doğrusal olmayan fonksiyonun içindeki sabitlerden bağlacı çıkarabiliriz:
.
Fonksiyon sistemi 
- cebir mantığının herhangi bir fonksiyonunu tamamen ayrık normal bir formda temsil etme olasılığı hakkındaki teoremin arkasında eksiksiz bir sistem (elbette, ayrılık, formdaki bağlaç ve ifade yoluyla ifade edilebilir) 
).
Teorem ayrıntılı olarak gösterilmiştir. ð
Uygula.
1. f(x,y) = x|y fonksiyonunun sistemi yeniden yarattığını gösterelim. x½y fonksiyonunun değerlerinin bir tablosunu oluşturalım:
| X | sen | x|y |
f(0,0) = 1 ise x | 0 .
f(1,1) = 0 ise x | 1 .
f(0,0) = 1, f(1,1) = 0 ise, x | yÏM.
f(0,1) = f(1,0) = 1 - en düşük kümelerde x | y değerini artırırsa x | Evet.
Bir fonksiyonun doğrusal olmama durumunun ne anlama geldiğini öğrenin
x | y.
Tekrarlama kriterini kullanarak f(x,y) = x | Sistemi yeniden kuruyorum. ð
2.
Fonksiyonlar sisteminin olduğunu gösterelim. 
Sistemi yeniden kuruyorum.
Doğru, .
Sistemimizin fonksiyonlarının ortasında şunu bulduk: 0'ı kaydetmeyen bir fonksiyon, 1'i kaydetmeyen bir fonksiyon, kendi kendini kontrol etmeyen, monoton olmayan ve doğrusal olmayan fonksiyonlar. Tekrarlama kriterine dayanarak işlevler sisteminin Sistemi yeniden kuruyorum. ð
Öyle bir şekilde tekrarlama kriterinin yapıcı ve yapıcı olduğu konusunda uzlaştık. etkili yöntem Cebirsel mantık fonksiyonları sistemlerinin tamlığını açıklamak.
Şimdi tekrar kriterinden üç sonucu formüle edelim.
Nasledok 1. Cebir mantığının tüm kişisel olmayan fonksiyonlarıyla (K¹P 2) kaçınılamayan cebir mantığının herhangi bir kapalı fonksiyon sınıfı, gerekli kapalı sınıflardan birinde yer alacaktır.
Viznachennya. Kapatma sınıfı K denir ileri, K yeni olduğundan ve herhangi bir f K sınıfı için K È (f) - yeni.
Sınıfın kapalı olmasının anlamı açıktır.
Naslıdok 2. Mantık cebirinde yalnızca beş temel sınıf ve kendisi vardır: T0, T1, L, M, S.
Sonucu kanıtlamak için, bu sınıflardan birinin diğerine uymadığını doğrulamak gerekir; bu, örneğin aşağıdaki işlevlerin farklı sınıflara ait olduğu tabloyla doğrulanır:
| T0 | T1 | L | S | M | |
| + | - | + | - | + | |
| - | + | + | - | + | |
| - | - | + | + | - |
Naslıdok 3. Herhangi bir tam sistem işlevi için, buna dörtten fazla üç işlev içeren yeni bir alt sistem diyebilirsiniz.
Tekrarlama kriterinin ispatı, beşten fazla üç fonksiyonun görülebildiğini göstermektedir. Ana argümanın kanıtından (lema 2.10
) bunu önemsiyor 
ya kendine hakim değildir, ya insanı kurtarmaz, monoton değildir. Bu, birkaç işlevden biraz daha fazlasını gerektirir.