Matrislerin cebirsel tamamlayıcısını nasıl bilirsiniz? Matrisin hesaplanması (determinant) nasıl hesaplanır? Küçük ve cebirsel toplama. $a_(ij)$ öğesinin $A_(ij)$ cebirinin eki

Görev 1.

Bu imza için

α 12 , α 32 elementlerinin küçük sayılarını ve cebirsel toplamalarını bilir. kazananı hesapla : a) birinci sıranın ve diğer sıranın elemanlarının arkasında yoga okumak; b) İlk sıranın önündeki sıfırları almak.

Biliyoruz:

M 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M32 =
= –12+12–12–8 = –20.

a 12 ve 32'nin cebirsel tamamlayıcı öğeleri eşit olarak eşittir:

A 12 \u003d (-1) 1 +2 M 12 \u003d - (-18) \u003d 18,

A 32 \u003d (-1) 3 +2 M 32 \u003d - (-20) \u003d 20.

a) İlk sıranın unsurlarının arkasında yoga okuyarak vyznachnik'i hesaplayın:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = -3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Birinci sütunu başka bir sütunun öğelerinin arkasına yerleştirelim:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) İlk satırın önündeki sıfırları alarak hesaplayınız. Vikoristovuєmo vіdpovіdnu pravіvіst vyznánіvіv. Sunağın üçüncü basamağını 3 ile çarpın ve birinciye ekleyin, ardından -2 ile çarpın ve bir sonrakine ekleyin. Ardından, ilk satırda biri hariç tüm öğeler sıfır olacaktır. İlk sıranın unsurları ve sayılabilecek şekilde yogo için vyznachnik'ten böyle bir sıralama çıkarmak mümkündür:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(Üçüncü dereceden cetvel, şeflerin gücü için daha fazla olan, kendisi için ilk sütundaki sıfırları sıyırdı.) ◄

Görev 2.

Cebirin doğrusal homojen olmayan eşitleme sistemi verildiğinde

Doğrulayın, chi spіlna tsya sistemi ve razі splnostі virishity її: a) Cramer'in formüllerine göre; b) ek bir serum matrisi için (matris yöntemi); c) Gauss yöntemi.

Tüm sistemin bölünmesi, Kronecker-Capelli teoremi ile doğrulanabilir. Temel dönüşümlerin yardımı için, matrisin sırasını biliyoruz.

A =

verilen sistem ve genişletilmiş matrisin sıralaması

-de =

.

Bunun için matrisin ilk satırını -2 ile çarpıyoruz ve diğerinden saklıyoruz, sonra birinci satırı -3 ile çarpıyoruz ve üçüncüden saklıyoruz, diğer satır ve üçüncü sütunu hatırlayalım. Götürmek

-de =

~

~
.

Baba, çaldı A= rütbe -de= 3 (sayı yoktur). Otzhe, vyhіdna sistem çözümüne yardımcı olan spilna.

a) Cramer'in formüllerinin arkasında

x= X / y = sen/ z = Z/ ,

=
= – 16;

X =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

biliyoruz: X = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) Ek pivot matrisinin arkasındaki sistemin çözüm değeri için, matris formu için denklem sistemini yazarız. Ah = . Matris formları için sistem çözümleri görülebilir x = bir –1 . Formülün arkasında inversiyon matrisini biliyoruz A –1 (Vona іsnuє, yani yak = det A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Sistem çözümleri:

X = =
=
=

.

otzhe, X = –4, y = 1, z = –2;

c) Sistemi Gauss yöntemiyle doğrulayın. kapamak X diğerinden üçüncü eşittir. İlk eşit için 2 ile çarpıyoruz ve diğerini görüyoruz, sonra ilk eşiti 3 ile çarpıyoruz ve üçüncüyü görüyoruz:

Z otrimanoї sistemi biliniyor X = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Görev 5.

Piramidin tepeleri noktalar halindedir A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2)і D(-2; 0; -1). Hesaplayın: a) yüzün alanı ABC; b) nervürlerin ortasından geçecek kesim alanı AB, AC, AD; c) obsyag piramitleri ABCD.

A) Görünüşe göre S ABC =
. Biliyoruz:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 Ben + 5 J + 2 k.

Kalan maєmo:

ABC =
=
;

b) Kaburgaların ortası AB, NDі AD noktalarda olmak En fazla (3; 5; 3.5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Dali maєmo:

S sich =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i - 1,5j - 2,25k,

S sich =
=
;

c) Oscilki v banket =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, O v = 11/6 . ◄

merkez ofis 6

Güç F = (2; 3;– 5) noktaya eklendi A(1; - 2; 2). Hesaplayın: a) kuvvetin işi F zaman zaman, eğer nokta її zastosuvannya ise, doğrusal olarak çöküyor, pozisyondan hareket ediyor A kampta B(1; 4; 0); b) kuvvet momenti modülü F Shodo noktaları -de.

A) yani evet bir =F · S , S =
= (0; 6; – 2) ,

O F = 2 0 + 3 6 + (-5) (-2) = 28; bir = 28;

b) Kuvvet momenti M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 Ben + 4 J + 12 k .

otzhe, =
= 4
. ◄

yönetici 8.

Vіdomi zirveleri O(0; 0),A(– 2; 0) paralelkenar HDSDі yogo köşegenlerinin kesişme noktası B(2;–2). Paralelkenarın kenarlarının hizalamasını yazınız.

Rivnyanya tarafı OA bir cümle yazabilirsiniz: y = 0 . Dali, oskelki nokta -deє köşegenin ortası AD(Şekil 1), daha sonra üst kısımdaki formülleri takip ederek tepe noktasının koordinatlarını hesaplayabilirsiniz. D(X; y) :

2 =
, –2 =
,

yıldızlar X = 6 , y = –4 .

Artık tarafların eşit kararını öğrenebilirsiniz. Tarafların Vahovuyuchi paralelliği OA і CD, yanları katlıyoruz CD: y = –4 . Rivnyanya tarafı OD iki vіdomimi noktasına katlanmış:

=
,

yıldızlar y = – X, 2 X + 3 y = 0 .

Zreshtoy, eşit tarafı biliyoruz AC görünür bir noktadan geçmenin bir yolu olmadığı gerçeğine dönüp bakmak Bir (-2; 0) düz çizgiye paralel OD:

y – 0 = – (X + 2) veya 2 X + 3 y + 4 = 0 . ◄

yönetici 9.

Trikutnik'in Dano zirveleri ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . Bilmek:

a) eşit taraflar AB;

b) eşit yükseklik CH;

c) medyanın eşitlenmesi AM;

d) nokta N peretin medyanı AM o visoti CH;

e) üstten geçmek için düz çizgi C tarafa paralel AB;

f) noktadan sıyrılmak C düz çizgiye AB.

A) Kıskançlığı hızlandırmak iki noktadan geçen doğru, otrimaemo eşit taraflar AB:

=
,

yıldızlar 6(X – 4) = 7(y – 3) veya 6 X – 7 y – 3 = 0 ;

b) Vіdpovіdno'dan vvnyannya'ya

y = kx + B (k = tg α ) ,

doğrudan kesme katsayısı AB k 1 =6/7 . Z urahuvannyam çizgilerin dikliğini anlamak ABі CH kutovy yükseklik katsayısı CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). noktaya göre C(2; 7) ve kesme katsayısı k 2 = –7/6 yükseklik ekliyoruz CH: (y – y 0 = k(X – X 0 ) )

y – 7 = – (X – 2) veya 7 X + 6 y – 56 = 0 ;

c) Koordinatlar verilen formüllerin arkasında bilinir. X, y orta M vіdrіzka M.Ö:

X = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Şimdi iki vіdomih puanı için Aі M eşit ortanca ekliyoruz AM:

=
veya 2 X – 9 y + 19 = 0 ;

d) Bir noktanın koordinatlarının değeri için N peretin medyanı AM o visoti CH dengeleme sistemini katlayın

Virishyuchi її, otrimuєmo N (26/5; 49/15) ;

e) Düz olduğu için üstten geçebilirsin C, kenara paralel AB, o zaman kesme katsayıları eşittir k 1 =6/7 . Todі, vvnyannya'ya vіdpovіdno:

y – y 0 = k(X – X 0 ) , noktanın arkasında C ve kesme katsayısı k 1 düz çizgileri katla CD:

y – 7 = (X – 2) veya 6 X – 7 y + 37 = 0 ;

f) Noktaya doğru yürü C düz çizgiye AB verilen formüle göre hesaplayın:

D = | CH| =

Razvyazannya tsієї görevlerі, Şek. 2◄

yönetici 10.

Dano chotiri puanları A 1 (4; 7; 8), Bir 2 (– 1; 13; 0), bir 3 (2; 4; 9), bir 4 (1; 8; 9) . Çizgiyi katlayın:

düz A 1 A 2 A 3 ; b) düz A 1 A 2 ;

c) düz A 4 M, düzleme dik A 1 A 2 A 3 ;

d) düz A 4 N, düz çizgiye paralel A 1 A 2 .

Hesaplamak:

e) sinüs kuta mizh düz A 1 A 4 o daire A 1 A 2 A 3 ;

f) kosinüs kuta mizh koordinat düzlemi profesyonelxy o daire A 1 A 2 A 3 .

A) vikoristovuyuchi formülü düzlemin üç noktanın arkasında hizalanması, eşit alan ekliyoruz A 1 A 2 A 3 :

yıldızlar 6x - 7y - 9z + 97 = 0;

b) Vrakhovuychi iki noktadan geçen doğrunun hizalanması, düz çizgilerin hizalanması A 1 A 2 bakışta kaydedilebilir

=
=
;

c)Z düz çizginin dikliğini anlamak A 4 M o daire A 1 A 2 A 3 kızak, scho yak doğrudan vektör doğrudan S normal bir vektör alabilir misin N = (6; – 7; – 9) daireler A 1 A 2 A 3 . Todi düz çizgi A 4 M urakhuvannyam kanonik görüşte doğrudan kayıt

=
=
;

d) Çok düz A 4 N düz paralel A 1 A 2 , sonra doğrudan vektörleri S 1 і S 2, kaçınacakları şekilde girilebilir: S 1 =S 2 = (5; – 6; 8) . Baba, düz çizgi A 4 N görünebilir

=
=
;

e) Formülün arkasında düz çizgi ile düz arasındaki kuta'nın büyüklüğü

günah φ =

f) Önem formülü için geçerlidir Daireler arası Kuta değerleri

cos fi =
=
◄

yönetici 11.

Noktalardan geçmek için düz düzlemleri katlayın M(4; 3; 1) і

N(– 2; 0; – 1) noktalardan geçen paralel çizgi A(1; 1; – 1) і

B(– 3; 1; 0).

Formül ile Zgidno uzayda düz çizgilerin hizalanması, iki noktadan, düz çizgiden geçmek için AB görünebilir

=
=
.

Bir noktadan geçen bir uçak gibi M(4; 3; 1) , ardından її eşittir bir bakışta kaydedilebilir A(X – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 . Peki bir uçak bir noktadan nasıl geçebilir? N(– 2; 0; – 1) , sonra aklı kazanmak

A(-2-4) + B(0-3) + C(-1-1) = 0 veya 6A + 3B + 2C = 0.

Oskіlki'nin bilinen düz çizgiye paralel bir uçağa ihtiyacı var AB, ardından formüllerle Düz çizgilerin ve düzlemlerin paralelliğini anlamak Belki:

–4A + 0B + 1C = 0 veya 4A-C=0.

Virishyuchi sistemi

Biz biliyoruz ki C = 4 A, B = – A. değerini alalım Wі B Shukano bölgesi seviyesinde, belki

A(x - 4) - A(y - 3) + 4A(z - 1) = 0.

çok yak A ≠ 0 , o zaman otrimane eşittir eşittir eşittir

3(x - 4) - 14(y - 3) + 12(z - 1) = 0. ◄

yönetici 12.

Koordinatları bilin X 2 , y 2 , z 2 benekler M 2 , simetrik nokta M 1 (6; – 4; – 2) ayakkabı düz X + y + z – 3 = 0 .

Düz çizginin parametrik hizalamasını yazalım M 1 M 2 , verilen düzleme dik: X = 6 + T, y = – 4 + T, z = – 2 + T. Biliyoruz T = 1 ben, otzhe, nokta M tül düz M 1 M 2 düz bir alan ile: M (7; – 3; – 1) . Bo noktası Mє orta vіrіzka M 1 M 2 , sonra vіrnі rіvnostі.; c) b'yi doğrultman yapan paraboller

Doğrusal cebirin öğeleri, "Doğrusal cebir" konularında görüldüğü gibi, ana görev türlerinin inci bölümüne dahil edilmiştir: değişkenlerin hesaplanması, di n

belge

Kare matris Bilmek A) küçük eleman; B) cebirsel ek olarak eleman; ... Bilmek A) küçük eleman; B) cebirsel ek olarak eleman; c) її vyznachnik, ilk sıradaki otrimavshi ön sıfırları. Çözüm a) Küçük eleman ...

BEN. lineer cebir ve analitik geometrinin elemanları

belge

... eleman matrisler". Randevu. Cebirsel Tamamlayıcı eleman aik matrisi A denir küçükМік цієї matrisleri, (-1)і+k ile çarpmalar: Cebirsel ek olarak eleman... yöntem. Örnek 1. Verilen bir matris Bilmek det A. Çözüm. Yeniden yapalım...

Çözüm: İlk matrisin kaplama elemanına iki matris eklerken, başka bir matris elemanı eklemek gerekir.

Çözüm

Durum; isim küçük eleman. Randevu için Todi önemlidir (1) - cebirsel ek olarak eleman sonra (2) ... Matrisler üzerinde doğrusal işlemler Bilmek matrislerin ve tvir'in toplamı ... spilna, o zaman gerekli Bilmekїї zagalne çözümü. ...

Uzmanlık için "Matematik" dersi için öğrencinin bağımsız çalışmasının incelenmesi için metodolojik öneriler

Metodik öneriler

Böyle bir günah keçisi denir küçük eleman aij. Görevlendirilmiş küçük- Mij. Popo: Bilmek küçük eleman a12 vyznachnika For ... bundan bir daha düşük küçük dorivnyuє: Cebirsel Tamamlayıcı eleman primat yoga denir küçük uzyat zі svoїm ...

Minör M ij eleman aij vyznachnik N -inci sıra, sıranın göstereni olarak adlandırılır ( n-1 ), verilen primattan, tüm elementin bulunduğu stovptsya sırasının dirilişine kadar ( Ben fırlatmak J inci aşama).

cebirsel eklemeler eleman aij viraz'a sorar:

İmzacılar sıraya girdi N>3 apost satırının elemanları için değişkenin dağılımı hakkındaki teorem yardımıyla hesaplanır:

teorem. Yaratıcı unsurların en zengin toplamına imza atan, cebirsel toplamaların karşılık gelen unsurları üzerinde bir saflık çizgisi olup olmadığı, tobto.

popo

Bir dizi temizlik unsuru için yoga ilan ederek vyznachnik'i hesaplayın:

Çözüm

1. Bir satırda veya bir sütunda sıfır gibi görünen tek bir öğe olmasına rağmen, göstereni değiştirmeye gerek yoktur. Farklı bir şekilde, ilk adım, vyznachnik'in düzeni hakkında bir teorem oluşturmaktır, onu böyle bir güçle yeniden yapabiliriz: sonraki satırın öğelerini (stowptsya), tam çarpanla çarparak, içindeki değeri kaynak değişmez.

3. satırın elemanlarından 2. satırın ikinci elemanlarını görebiliriz.

4. sütunun öğelerinden, 3. sütunun temel öğelerinin 2 ile çarpıldığını görebiliriz.

Vyznachnik'i üçüncü sıranın elemanlarının arkasına yerleştiriyoruz

2. 3. dereceden sapkın, trikutnik kuralına veya Sarrus kuralına (ilahi) atanabilir. Bununla birlikte, vyznachnik'in unsurları, yogo'yu öne çevirerek vyznachnik'i yerleştirdiğimiz büyük sayılarla bitirilmelidir:

Başka bir satırın öğelerinden, ilk satırın aynı öğelerinin 3 ile çarpıldığını görebiliriz.

Birinci sıranın elemanlarından üçüncü sıranın ikinci elemanlarını görebiliriz.

1. satırın öğelerinden önce, 2. satırın ek öğelerini ekliyoruz

Sıfır satırından hakem 0'dır.

Otzhe, düzenin öncüleri N>3 hesaplanır:

· Vyznachnik yetkililerinin yardımıyla vyznachnik'in trikoya dönüştürülmesi;

· Razkladannyam vyznachnika, stovptsya'da termіnі elementler üzerinde, kendilerini nizhuyuchi yogo düzeninde tim.

Matris sıralaması.

Matris sıralaması önemli bir sayısal özelliktir. Matrisin sıralamasının önemine bağlı olan en karakteristik görev, lineer cebir denklemleri sisteminin toplanabilirliğinin yeniden doğrulanmasıdır.

Bir matris alalım A emir P X N . Hadi k - Dejake, en küçük sayıyı geçmeyen doğal bir sayıdır. P і N , tost,

Küçük k'inci sıra matrisler A kare matris düzeninin işareti denir k X k , matris elemanlarından oluşan A , yakі hattın arkasında biliyorum k sıralar ki k stovptsyakh, ayrıca matristeki elemanların genişlemesi A kurtulmak.

Matrise bakalım:

Matrisin birinci mertebesinden minör sayısını yazalım. Örneğin üçüncü satırı ve diğer matris satırını seçtiğimizde A , Daha sonra seçimimiz birinci dereceden det(-4)=-4 minöre verilir. Diğer bir deyişle, bu minörün kaldırılması için, matrisin birinci, üçüncü ve dördüncü sütunlarının yanı sıra birinci ve ikinci satırlar eklenmiştir. A ve kalan elementten vyznachnik'i katladılar.

Bu sırada, matrisin birinci mertebesinin minörleri matrisin elemanlarıdır.

Çaçayı farklı bir sırayla gösterelim. İki satır ve iki sütun seçiyoruz. Örneğin, birinci ve diğer sıraları ve üçüncü ve dördüncü sıraları alın. Böyle bir seçim için farklı bir sıralamada minör vardır.
.

Matrisin başka bir sırasının alt minöründe Aє minör

Benzer şekilde, matrisin üçüncü mertebesinin minörlerini de bulabilirsiniz. A . Yani matris gibi A toplamda üç satır var, sonra hepsini seçiyoruz. Bu sıralardan önce ilk üç sırayı seçerseniz, üçüncü sıranın minörünü alın:

Üçüncü dereceden küçük Іnshim є:

Bu matris için A üçüncü sırada, üçüncüden fazla olmamak üzere, kırıklar

Skіlki w іsnuє minorіv k -Vay matris sırası A emir P X N ? Chimalo!

Sıradaki reşit olmayanların sayısı k aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Matris sıralaması matrisin minörünün en büyük mertebesine en önemlisi sıfır olan denir.

Matris sıralaması A yakı belirtmek çaldı(A). Matrisin sırasını ve matrisin minörünü atayarak, vysnovok oluşturmak mümkündür, böylece sıfır matrisin sırası sıfıra eşit olur ve sıfır olmayan matrisin sırası daha az olmaz birden fazla

Ayrıca, є matrisinin sırasını belirlemenin ilk yöntemi kaba kuvvet yöntemi . Bu yol, matrisin atanan sırasını temel alır.

Matrisin rankını bize bildirin A emir P X N .

Matrisin sıfır gibi görünen bir elemanını istiyorsanız, matrisin sıralaması en az birden fazladır (parçalar birinci dereceden küçüktür, sıfıra eşit değildir).

Küçüklere farklı bir sırayla geçelim. Farklı bir sıradaki tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. Farklı bir mertebeden sıfır olmayan bir minör istiyorsak, üçüncü mertebeden minörlerin numaralandırılmasına geçiyoruz ve matrisin rankı en az iki.

Benzer şekilde, üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin sıralaması ikiye eşittir. Üçüncü mertebeden bir minör istiyorsak, sıfıra bakarsak, o zaman matrisin rankı en az üçtür ve dördüncü mertebeden minörlerin numaralandırılmasına geçiyoruz.

Önemli bir şekilde, bir matrisin sıralaması en küçük sayıyı geçemez P і N .

popo

Bir matrisin rankını bulun
.

Çözüm.

1. Matris sıfır olmadığı için її sıralaması birden az değildir.

2. Reşit olmayanlardan biri başka sırada
vіdminny vіd sıfır, otzhe, matrix rank A ikiden az değil.

3. Üçüncü dereceden minör

Usі üçüncü dereceden reşit olmayanlar sıfıra eşittir. Bu nedenle, matrisin sıralaması çifttir.

sıra(A) = 2.

Matrisin sırasını belirlemek için daha az hesaplama çalışmasıyla sonuç almanızı sağlayacak başka yöntemler oluşturun.

Bu yöntemlerden biri de oblyamіvnyh minorіv yöntemi . Bu yöntemi kullanırken, hesaplama çok hızlıdır ve yine de koku hantaldır.

Temel dönüşümlerin yardımıyla (Gauss yöntemi) matrisin sırasını belirlemenin bir yolu daha vardır.

Matrisin bir sonraki dönüşümü denir temel :

· Matrisin satırlarının (veya stovptsiv) permütasyonu;

matrisin herhangi bir satırının (stowptsya) tüm öğelerinin belirli bir sayı ile çarpılması k, vіdmіnne vіd sıfır;

Matrisin bir sonraki satırının (stovptsya) aynı öğelerinin herhangi bir satırının (stovptsya) öğelerine ek, belirli bir sayı ile çarpılır k.

Matris, eşdeğer matris A olarak adlandırılır., yakşo -de otriman lar A son sayıdaki temel dönüşümlerin yardımı için. Matrislerin denkliği sembolü ile gösterilir. « ~ » kaydolmak A~B.

Matrisin temel dönüşümlerinin yardımı için matrisin sırasını bilmek, sertleştirilmiş temele dayanır: bir matris gibi -de matristen alınan A son sayıda temel dönüşüme yardım edin, ardından R ang(A) = sıra(B) , Daha sonra. eşdeğer matrislerin sıraları eşittir .

Temel dönüşümler yönteminin özü, temel dönüşümlerin yardımı için sırasını bilmemiz gereken, yamuk benzeri (üst trikoya açık bir eğimde) verilen matrise dayanır.

Bu tür matrislerin sırasını bilmek kolaydır. Vіn dorivnyuє kіlkostі rowkіv, scho intikam b sıfır olmayan bir element. Temel dönüşümlerin saati için matrisin sırası değişmediğinden, değer çıkış matrisinin sırası olacaktır.

popo

Temel dönüşümler yöntemini kullanarak bir matrisin sırasını bulun

.

Çözüm.

1. Matrisin ilk ve diğer satırlarını hatırlayın A , yani bir eleman olarak 11 = 0 ve öğe 21 vіdminny vіd sıfır:

~

Karşı matriste, eleman en yaygın olanıdır. Bir sonraki adımda, ilk satırın elemanlarını ile çarpmak gerekiyordu. İlk sütunun tüm elemanlarını Zrobimo, önce krimp, sıfır. Diğer satırda, sıfır zaten є, üçüncü satıra kadar dodamo ilk, 2 ile çarpılır:

Kaldırılan matrisin elemanı sıfır olarak kabul edilir. Başka bir satırın elemanları ile çarpın

Başka bir otrimanoї matrisi gerekli olabilir, elemanın parçaları zaten sıfıra eşittir.

çok yak , A , sonra üçüncü ve dördüncü sütunları aylara göre hatırlarız ve alınan matrisin üçüncü satırını şu şekilde çarparız:

Dış matris, sıfır olmayan bir öğeyi ortadan kaldırmak isteyen yamuk benzeri, її sıra daha eşit satır sayısına getirilir. Bu tür üç satır vardır ve dış matrisin sıralaması üçtür. R açı(A)=3.

ters matris.

matrisi almama izin ver A .

Matris, eksen matrisi A , matris denir A-1 ne olmuş Bir -1 Bir = Bir Bir -1 = E .

Ters matris yalnızca bir kare matris için kullanılabilir. Dahası, kendisi, özgür bir matris gibi çok geniştir.

Kare matrisin küçük olması için, bakire olmamakla suçlanır (tobto. Δ ≠0 ). Tsya umova є іsnuvannya için yeterliyim A-1 matrise A . Otzhe, virojen olmayan bir matrisin tersine çevrilip birleştirilemeyeceği.

Matrisin uygulanmasında kapı matrisinin önemi için algoritma A :

1. Matrisin işaretini biliyoruz. Yakşo Δ ≠0 , ardından matris A-1 Ісnuє.

2. Çıktı matrisindeki elemanların tamamlayıcı cebirine matrisi ekliyoruz A . Toto. matriste -de eleman Ben - inci sıra J - stovptsia cebirsel eklemeler olacak bir ij eleman aij çıktı matrisi.

3. Matrisi transpoze edin -de ve alınmış B T .

4. Otriman matrisini çarparak inversiyon matrisini biliyoruz. B T sayı başına .

popo

Bu matris için tersini ve tersini bilin:

Çözüm

Geçit matrisinin öneminin algoritmasını hızlı bir şekilde açıklıyoruz.

1. Pivot matrisinin tabanını hesaplamak için bu matrisin orijinini hesaplamak gerekir. Hile kuralı ile hızlanma:

Matrix є nevirodzhenoyu, otzhe, kurt adamı kazandı.

Matrisin tüm elemanlarının cebir eklemelerini biliyoruz:

Cebirsel eklemeler bilgisinden bir matris oluşturulur:

devrik

Kaldırılan matrisin dış görünüm öğesini vyznachnik'e böldükten sonra, matrisi çıkışa geri götürüyoruz:

Yeniden doğrulama, elde edilen matrisin çıkışta katlarından kaynaklanmaktadır. Ters matris doğru bulunursa çarpma işleminin sonucu tek bir matris olacaktır.

Bunun için ters matrisin önemi için, bağımsız çalışma için kullandığım Gauss yöntemini kullanarak hızlandırabilirsiniz (aslında, matris ters çevrildiği için ilerlemek gerekir).

küçük matrisler

Hadi, bu kare matris A, n'inci sıra. Küçük deyago elemanı bir ij, matris n'inci sıra denir vyznachnik(n - 1) - inci sıra, ön tarafında ij öğesinin bulunduğu sütunu hafta sonu satırının ardından silerek. M ij olarak adlandırılır.

popoya bakalım matris 3 - sırayla yoga:

Todi zgidno atandı küçük, küçük M 12 vyznachnik:

Kiminle, yardım için reşit olmayanlar faturalandırmayı kolaylaştırabilirsiniz matris. Yaymak gerekli matrisüst üste ve sonra vyznachnik satırın tüm öğelerinin toplamını küçüklerine ekleyin. Açılıyor matris 3 - aşağıdaki şekilde sıralamaya bakın:

Yaratılışın önündeki işaret eski (-1) n de n \u003d i + j'dir.

Cebirsel eklemeler:

cebirsel eklemeler a ij elementine yoga denir küçük, "+" işaretiyle зі alarak, yani (i + j) toplamı eşleştirilmiş bir sayıdır, i зі "-" işaretiyle, yani toplam eşleştirilmemiş bir sayıdır. A ij olarak adlandırılır. A ij \u003d (-1) ben + j × M ij.

Todi'yi daha büyük bir güce dönüştürmek mümkündür. önemli matris belirli bir satıra (satırlar veya satırlar) daha fazla öğe ekleyin matrisler günlük şekilde cebirsel eklemeler. Popo:

4. Ters matris ve її hesaplaması.

A kare olsun matris n. sıra.

Kare matris Ve bakire olmayanlar denir, matris(Δ = det A) sıfıra eşit değildir (Δ = det A ≠ 0). Diğer düşüşte (Δ = 0) matris Ve buna virojen denir.

Matris, müttefik matrisler Ah, buna denir matris

De A ij - cebirsel uzantı eleman a ij verildi matrisler(aynen böyle görünür, benim gibi cebirsel uzantı eleman matris).

matris A -1 denir serum matrisi A, böylece zihin galip gelsin: A A - 1 \u003d A -1 A \u003d E, de E - tek matris ile aynı sırada matris A. matris A -1 maє sami razmіri, yak ben matris A.

ters matris

kare nasıl kullanılır matrisler X i A, zihni memnun eden: X A \u003d A X X \u003d E, de E - bekar matris sonra aynı sırayla matris X denir kapı matrisi A i matrisine A-1 atanır. Be-yaka virojen olmayan matris mayıs ters matris ve ondan önce sadece bir, yani bunun için, schob karedir matris bir küçük ters matris, gerekli ve yeterli, schob її vyznachnik mektup vіdminny vіd sıfır.

Otrimanna için serum matrisi vikoristovuyut formülü:

De m ji dodatkovy küçük eleman bir ji matrisler A.

5. Matris sıralaması. Temel dönüşümler yardımıyla sıralamanın hesaplanması.

Doğrusal bir mxn matrisine bakalım. Matriste k satır ve k sütun olduğunu görebiliriz, 1 £ k £ min (m, n) . Görülen satırların ve stovptsiv'in peretinasında duran elemanlardan, k'inci sırayı katlıyoruz. Bıyıklar matrisin küçükleri olarak adlandırılır. Örneğin, bir matris için küçükleri farklı bir sırada katlayabilirsiniz. birinci dereceden ta minör 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Randevu. Bir matrisin rankına, matrisin minör sıfırının üstten görünümünün en yüksek mertebesi denir. r(A) matrisinin sırasını belirleyin.

Sivri uçta, matrisin sırası ikiye eşittir, örneğin küçük parçalar

Matrisin sırası, temel dönüşümler yöntemiyle manuel olarak hesaplanır. Temel dönüşümlerden önce, aşağıdakiler eklenmelidir:

1) satır permütasyonları (stovptsiv);

2) bir satırı (stovptsya) sıfır saymadan bir sayı ile çarpmak;

3) bir satırın (stovptsya) öğelerine bir sonraki satırın (stovptsya) karşılık gelen öğelerini ekleyerek, sayıyı gün ile ileriye doğru çarparak.

Qi dönüşümleri matrisin sırasını değiştirmez, yani 1) sıraları yeniden düzenlerken, alternatör i'nin işaretini değiştirir, eğer şarap sıfıra eşit değilse, o zaman ben olmayacağım; 2) Hakemin sırasını sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarparken, hakem tam sayı ile çarpılır; 3) başlangıçtaki üçüncü temel dönüşüm göstereni değiştirir. Bu şekilde, temel dönüşüm matrisi üzerinde viroblyayuchee, sıralamasını hesaplamanın kolay olduğu matrisi alabilirsiniz. i, dolayısıyla çıkış matrisi.

Randevu. Ek temel dönüşümler için matristen alınan matrise eşdeğer denir ve belirlenir A -de.

teorem. Matrisin sıralaması, matrisin temel dönüşümleri ile değişmez.

Sıralamanın hesaplanması önemli değilse, temel dönüşümlerin yardımı için matrisi kademeli görünüme getirebilirsiniz.

matris göründüğü gibi bir adım olarak adlandırılır:

Rütbe olduğu aşikar adım matrisi sıfır olmayan satır sayısına eşittir , Çünkü є küçük sıra, sıfıra eşit değil:

.

popo Temel dönüşümlerin yardımı için matrisin sırasını belirleyin.

Matrisin rankı sıfır olmayan satır sayısına eşittir, tobto. .

cebirsel eklemeler- Matris cebirini anlamak; A kare matrisinin aij öğesinin yüzüncü öğesi, aij öğesinin minörünün (1)i+j ile çarpılması olur; Aij atanır: Aij=(1)i+jMij, de Mij A= matrisinin küçük elemanı aij, o zaman. öncü...... Ekonomik ve Matematiksel Sözlük

cebirsel uzantı- matris cebirini anlamak; A kare matrisinin aij öğesinin yüzüncü öğesi, aij öğesinin minörünün (1)i+j ile çarpılması olur; Aij atanır: Aij=(1)i+jMij, de Mij A= matrisinin küçük elemanı aij, o zaman. matris hakemi, ... ... Dovіdnik teknik çeviri

St. Vyznachnik… Büyük Radianska Ansiklopedisi

Minör M için, M minöre k mertebesine eşit olan sayı, n mertebesinden A kare matrisinin numaralı satırları ve numaralı sütunları; Avikresluvannyam matrisinden alınan n k mertebesinin matrisi, minör M'nin satırları ve sütunları; Matematiksel Ansiklopedi

Vikisözlükte "ek" makalesi vardır Ek şu anlama gelebilir ... Wikipedia

İşlem, cennete kadar, Mdan'ın X çarpanının çokluğunun değerini belirler, eğer değilse, Mі N'yi zaten biliyorsak, o zaman başka bir şekilde kişisel olmayan X'i yenileyebiliriz. Kişisel olmayan X'in bir yapıya sahip olması önemlidir. , ... Matematiksel Ansiklopedi

Abo bir determinanttır, matematikte sayıların kaydı kare bir tablo gibidir; Daha da sık olarak, vyznachnik'in anlayışı altında, vyznachnik, vyznachnik'in anlamı, dolayısıyla kaydının biçimi olarak uvazi'de olabilir. Collier Ansiklopedisi

Divlerin taşınmazlığı teorisinden teorem hakkında. makale Moivre Laplace'ın yerel teoremi. Laplace teoremi teoremlerden biridir lineer Cebir. Adını Fransız matematikçi P'er Simon Laplace'den (1749–1827) almıştır ve ... ... Wikipedia formülüyle tanınır.

- (Laplacian matrisi) yardım matrisinin arkasındaki grafiklerden biri. Kirchhoff matrisi, belirli bir grafiğin iskeleti (bir ağaç hakkındaki matris teoremi) için galip gelir ve ayrıca grafiklerin spektral teorisinde de galip gelir. Zmist 1 ... ... Vikipedi

Eşitliklere cebirde iki paralelin eşitliğini gösteren matematiksel paralellik denir. Eşdeğerlik, yeniden önce gelen bilinmeyenin kabul edilebilir herhangi bir anlamı için adil ise, o zaman buna aynılık denir; mesela farkındalık... Collier Ansiklopedisi

Kitabın

• Ayrık Matematik, A. V. Chashkin. 352 sayfa El kitabı, ayrık matematiğin ana bölümlerinden 17 bölümden oluşur: kombinatoryal analiz, grafik teorisi, boole işlevleri, katlama hesaplama ve teori kodlama Revenge...

sıranın elemanlarının arkasında vyznnik

Daha fazla güç, küçük ve cebirsel eklemelerin anlaşılmasıyla bağlantılıdır.

Randevu. Küçük bir elemente viznnik denir, Pazar gününden sonra kaybolan elementlerin depolarıBenoh drene taJperetina yakikh є tsey öğesinde stovptsya.İlkel öğenin minörü N-inci sıra sipariş verebilir ( N- 1). Yoga üzerinden tanımlayalım.

örnek 1. Hadi Ayrıca .

Cey minör, diğer sıranın Pazar A yolundan ve üçüncü stovptsya'dan çıkmak için.

Randevu. cebirsel eklemeler eleman vіdpovіdny minör, çarpma nat olarak adlandırılır. , deBen-sıra numarası iJ-Stovptsya, peretina üzerinde belirli bir unsur var.

vІІІ. (Üçüncü sıranın elemanları için vyznachnik'in düzenlenmesi). Belirli bir cebirsel toplama dizisinin öğelerinin yaratımlarının en zengin toplamının imzacısı.

.

popo 2. Gitmeme izin ver

.

örnek 3.İlk sıranın öğelerinin arkasında yoga okuyan matrix primatını biliyoruz.

Resmi olarak, vyznachnikіv zastosovnі'nun іnshi otoritesinin teoremi hala sadece üçüncü dereceden daha yüksek olmayan vyznachnіv matrisleri içindir, іnshі vyznachniki'nin parçaları bizim tarafımızdan dikkate alınmamıştır. Randevunun gelişi, hangi sırayla olursa olsun, yöneticilerin gücünü genişletmenize izin verecektir.

Randevu. Vyznachnik matrisler A N'inci mertebe, cetvellerin diğer güçlerinin dağılımı hakkındaki teoremin ardışık ek hesaplaması için hesaplanan sayı olarak adlandırılır..

Bazı satırlar ve stovptsiv için böyle bir dizide daha yüksek rütbeli yetkililer olacağından, hesaplama sonucunun eski olamayacağına inanmak mümkündür. Vyznachnik, randevusunun yardımı için açık.

Daha yüksek mertebenin değeri için açık formülün intikamını almak istemiyorsanız, daha düşük mertebeli matrislere giden yolu izlemenize izin vermezsiniz. Böyle bir atama denir tekrarlayan

popo 4. Vyznachnik'i hesaplayın: .

Düzen ile ilgili teoremin herhangi bir satıra veya belirli bir matrise zastosovuvat olabilmesini istiyorsanız, mümkün olduğunca çok sıfırın intikamını almak için sütuna göre düzenlerken boşluk miktarını hesaplamak daha azdır.

Matrisin sıfır elemanı yoksa, onları ek güç için alırız 7). İlk satırı sırasıyla (–5), (–3) і (–2) і dodamo yogo sayılarıyla çarpın, 2., 3. ve 4. satırlara çıkarın:

İlk adıma göre vznachnik, scho viyshov'u düzenliyoruz ve alıyoruz:

(1. sıradan (-4), 2. sıradan - (-2), 3. sıradan - (-1) yetkililere 4)

(Oskіlki vyznachnik iki orantılı stovptsі intikamını alır).

§ 1.3. Deyakі matrisi görün ve їх vyzniki

Randevu. m kare baş köşegeninin arkasında daha düşük veya daha yüksek olan bir matrisin sıfır elemanı vardır(=0 ne zaman Ben J, veya =0 de Ben J) ismindeörme .

Їх şematik budova vіdpovіdno görünebilir: veya .

Burada 0, sıfır öğe ve daha fazla öğe anlamına gelir.

teorem. Kare bir triko matrisinin göstergesi, її öğelerine zengin bir ektir, böylece baş köşegeni tobto üzerinde durur.

.

Örneğin:

.

Randevu. Baş köşegenin sıfır elemana sahip olduğu bir kare matrise matris denir.diyagonal .

Şematik görünüm:

Baş köşegeninde daha az sayıda tekil eleman bulunan köşegen matrise köşegen matris denir. yalnız matris. Vaughn şu şekilde belirtilir:

Tek matrisin göstereni 1 tobto'dan fazladır. E=1.