Yeni bir bilinmeyen getirerek üstel eşitsizliklerin çözümü. Üstel eşitsizlikleri çözme: temel yöntemler. Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"
Bu derste, çeşitli üstel eşitsizliklere bakacağız ve en basit üstel eşitsizlikleri çözme metodolojisine dayanarak bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.
1. Üstel fonksiyonun tanımı ve özellikleri
Üstel fonksiyonun tanımını ve temel özelliklerini hatırlayalım. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünün dayandığı özelliklerdir.
Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada derecenin tabanı ve Burada x bağımsız bir değişken, bir argüman; y - bağımlı değişken, fonksiyon.
Şekil: 1. Üstel fonksiyon grafiği
Grafik, taban sırasıyla birden büyük ve birden küçük, ancak sıfırdan büyük olduğunda üstel işlevi gösteren artan ve azalan üsleri gösterir.
Her iki eğri de (0; 1) noktasından geçer
Üstel fonksiyon özellikleri:
Alan adı: ;
Değer aralığı:;
İşlev, azaldıkça arttıkça monotondur.
Monoton bir işlev, tek bir bağımsız değişken değeri için her bir değerini alır.
Argüman eksiden artı sonsuza arttığında, fonksiyon sıfırdan artı sonsuza yükselir, yani argümanın belirli değerleri için, monoton olarak artan bir fonksiyonumuz () olur. Bunun tersine, argüman eksi artı sonsuza arttığında, fonksiyon sonsuzdan sıfıra düşer, yani argümanın belirli değerleri için, tekdüze olarak azalan bir fonksiyonumuz vardır ().
2. En basit üstel eşitsizlikler, çözüm tekniği, örnek
Yukarıdakilere dayanarak, en basit üstel eşitsizlikleri çözmek için bir teknik sunuyoruz:
Eşitsizlikleri çözmek için metodoloji:
Derecelerin temellerini eşitleyin;
Göstergeleri karşılaştırın, eşitsizliğin zıt işaretini koruyun veya değiştirin.
Karmaşık üstel eşitsizliklerin çözümü, kural olarak, en basit üstel eşitsizliklere indirgenmelerinden oluşur.
Derecenin tabanı birden büyüktür, bu da eşitsizlik işaretinin kaldığı anlamına gelir:
Sağ tarafı derecenin özelliklerine göre dönüştürüyoruz:
Derecenin tabanı birden az, eşitsizlik işareti tersine değiştirilmelidir:
İkinci dereceden eşitsizliği çözmek için, karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözeceğiz:
Vieta teoremine göre kökleri buluyoruz:
Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.
Böylece eşitsizliğe bir çözümümüz var:
Sağ tarafın sıfır üslü bir kuvvet olarak temsil edilebileceğini tahmin etmek kolaydır:
Derecenin tabanı birden büyük, eşitsizlik işareti değişmiyor, şunu anlıyoruz:
Bu tür eşitsizlikleri çözme tekniğini hatırlayalım.
Kesirli bir rasyonel işlevi düşünün:
Tanımın alanını bulun:
Fonksiyonun köklerini bulun:
Fonksiyonun tek bir kökü vardır, 
Sabit işaret aralıklarını seçer ve her aralıkta işlevin işaretlerini belirleriz:
Şekil: 2. Sabitlik aralıkları
Yani cevabı aldık.
Cevap: 
3. Tipik üstel eşitsizliklerin çözümü
Eşitsizlikleri aynı göstergelere, ancak farklı temellere sahip düşünün.
Üstel bir fonksiyonun özelliklerinden biri, argümanın herhangi bir değeri için kesin olarak pozitif değerler almasıdır, bu da onun üstel bir fonksiyona bölünebileceği anlamına gelir. Verilen eşitsizliği sağ tarafına bölelim:
Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti kalır.
Çözümü gösterelim:
Şekil 6.3, ve işlevlerinin grafiklerini gösterir. Açıktır ki, argüman sıfırdan büyük olduğunda, fonksiyonun grafiği daha yüksektir, bu fonksiyon daha büyüktür. Argüman değerleri negatif olduğunda, fonksiyon azalır, daha azdır. Argümanın değeri olduğunda, fonksiyonlar eşittir, bu da bu noktanın aynı zamanda verilen eşitsizliğe bir çözüm olduğu anlamına gelir.
Şekil: 3. Örnek 4
Verilen eşitsizliği derecenin özelliklerine göre dönüştürüyoruz:
İşte benzer terimler:
Her iki bölümü de şunlara ayıralım:
Şimdi 4. örneğe benzer şekilde çözmeye devam ediyoruz, her iki parçayı da şu şekilde ayırıyoruz:
Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti kalır:
4. Üstel eşitsizliklerin grafik çözümü
Örnek 6 - Eşitsizliği grafiksel olarak çözün:
Sol ve sağ taraftaki fonksiyonları ele alalım ve her birinin grafiğini çizelim.
Fonksiyon bir üsteldir, tüm tanım alanı üzerinde, yani argümanın tüm gerçek değerleri için artar.
Fonksiyon doğrusaldır, tüm tanım alanı üzerinde, yani argümanın tüm gerçek değerleri için azalır.
Bu işlevler örtüşüyorsa, yani sistemin bir çözümü varsa, böyle bir çözüm benzersizdir ve kolayca tahmin edilebilir. Bunu yapmak için tamsayılar üzerinde yineliyoruz ()
Bu sistemin kökünün şöyle olduğunu görmek kolaydır:
Böylece, fonksiyonların grafikleri, bire eşit bir bağımsız değişken ile bir noktada kesişir.
Şimdi bir cevap almamız gerekiyor. Verilen eşitsizliğin anlamı, üssün doğrusal fonksiyondan büyük veya ona eşit olması, yani daha yüksek olması veya onunla çakışması gerektiğidir. Açık cevap: (Şekil 6.4)
Şekil: 4. Örnek 6
Bu nedenle, çeşitli tipik üstel eşitsizliklerin çözümünü düşündük. Daha sonra, daha karmaşık üstel eşitsizlikleri düşünmeye geçeceğiz.
Kaynakça
Mordkovich A.G. Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri. - M: Mnemosyne. Muravin G.K., Muravina O.V. Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri. - M: Bustard. Kolmogorov A.N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri. - M .: Eğitim.
Matematik. md. Matematik tekrarları. com.tr. Diffur. kemsu. ru.
Ödev
1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10-11. Sınıflar (A.N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Eşitsizliği çözün:
3. Eşitsizliği çözün.
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"
Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilmiştir.
Integral çevrimiçi mağazasında 11. sınıf için eğitim yardımcıları ve simülatörler
9. ve 11. sınıflar için etkileşimli eğitim "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli eğitici "Logaritmalar"
Üstel denklemlerin belirlenmesi
Çocuklar, üstel fonksiyonları inceledik, özelliklerini öğrendik ve grafikler oluşturduk, üstel fonksiyonların karşılaştığı denklem örneklerini analiz ettik. Bugün üstel denklemleri ve eşitsizlikleri inceleyeceğiz.Tanım. Formdaki denklemler: $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, burada $ a\u003e 0 $, $ a ≠ 1 $ üstel denklemler olarak adlandırılır.
"Üstel fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak, yeni bir teoremi tanıtabiliriz:
Teorem. $ A ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ üstel denklemi, burada $ a\u003e 0 $, $ a ≠ 1 $, $ f (x) \u003d g (x) $ denklemine eşdeğerdir.
Üstel denklem örnekleri
Misal.Denklemleri çözün:
a) 3 $ ^ (3x-3) \u003d 27 $.
b) $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) \u003d \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) $.
c) 5 ^ (x ^ 2-6x) \u003d 5 ^ (- 3x + 18) $.
Karar.
a) 27 $ \u003d 3 ^ 3 $ olduğunu iyi biliyoruz.
Denklemimizi yeniden yazalım: $ 3 ^ (3x-3) \u003d 3 ^ 3 $.
Yukarıdaki teoremi kullanarak, denklemimizin $ 3x-3 \u003d 3 $ denklemine indirgendiğini anlıyoruz, bu denklemi çözerek $ x \u003d 2 $ elde ederiz.
Cevap: $ x \u003d 2 $.
B) $ \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5)) $.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5) ) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
2 TL x + 0,2 \u003d 0,2 TL.
$ x \u003d 0 $.
Cevap: $ x \u003d 0 $.
C) Orijinal denklem şu denkleme denktir: $ x ^ 2-6x \u003d -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 \u003d 0 $.
$ (x-6) (x + 3) \u003d 0 $.
$ x_1 \u003d 6 $ ve $ x_2 \u003d -3 $.
Cevap: $ x_1 \u003d 6 $ ve $ x_2 \u003d -3 $.
Misal.
Denklemi çözün: $ \\ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\\ sqrt (4)) \u003d 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) $.
Karar:
Sırayla bir dizi eylem gerçekleştireceğiz ve denklemimizin her iki tarafını da aynı temellere getireceğiz.
Sol tarafta bir dizi işlem yapalım:
1) $ ((0.25)) ^ (x-0.5) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0.5) $.
2) $ \\ sqrt (4) \u003d 4 ^ (\\ frac (1) (2)) $.
3) $ \\ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\\ sqrt (4)) \u003d \\ frac (((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (x-0.5 + 0.5)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ x) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ x $.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 $ * ((0,0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) \u003d 4 ^ (2-2x-2) \u003d 4 ^ (- 2x ) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x)) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Orijinal denklem, denkleme eşdeğerdir:
$ ((\\ frac (1) (4))) ^ x \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x \u003d 2x $.
$ x \u003d 0 $.
Cevap: $ x \u003d 0 $.
Misal.
Denklemi çözün: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 \u003d 0 $.
Karar:
Denklemimizi yeniden yazalım: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $.
Değişkenleri değiştirelim, $ a \u003d 3 ^ x $ olsun.
Yeni değişkenlerde denklem şu biçimi alacaktır: $ a ^ 2 + 9a-36 \u003d 0 $.
$ (a + 12) (a-3) \u003d 0 $.
$ a_1 \u003d -12 $ ve $ a_2 \u003d 3 $.
Değişkenlerin tersini değiştirelim: $ 3 ^ x \u003d -12 $ ve $ 3 ^ x \u003d 3 $.
Son derste üstel ifadelerin sadece pozitif değerler alabileceğini öğrendik, grafiği hatırlayın. Dolayısıyla, ilk denklemin çözümü yoktur, ikinci denklemin bir çözümü vardır: $ x \u003d 1 $.
Cevap: $ x \u003d 1 $.
Üstel denklemleri çözmek için bir kontrol listesi oluşturalım:
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki tarafını da fonksiyonlar şeklinde temsil ediyoruz ve grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişme noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi son derste kullandık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi. İlke, aynı temellere sahip iki ifadenin, ancak ve ancak bu tabanların dereceleri (göstergeleri) eşitse eşit olduğu gerçeğine dayanmaktadır. $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ $ f (x) \u003d g (x) $.
3. Değişken değiştirme yöntemi. Değişkenleri değiştirirken denklem, şeklini basitleştiriyorsa ve çözmesi çok daha kolaysa, bu yöntem kullanılmalıdır.
Misal.
Denklem sistemini çözün: $ \\ begin (case) (27) ^ y * 3 ^ x \u003d 1, \\\\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12. \\ end (durumlarda) $.
Karar.
Sistemin her iki denklemini de ayrı ayrı düşünün:
27 $ ^ y * 3 ^ x \u003d 1 $.
3 ^ (3 yıl) * 3 ^ x \u003d 3 ^ 0 $.
3 ^ (3y + x) \u003d 3 ^ 0 $.
$ x + 3y \u003d 0 $.
İkinci denklemi düşünün:
4 $ ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12 $.
2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) \u003d 12 $.
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım, $ y \u003d 2 ^ (x + y) $ olsun.
Ardından denklem şu şekilde olacaktır:
$ y ^ 2-y-12 \u003d 0 $.
$ (y-4) (y + 3) \u003d 0 $.
$ y_1 \u003d 4 $ ve $ y_2 \u003d -3 $.
İlk değişkenlere geçersek, ilk denklemden $ x + y \u003d 2 $ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. O halde başlangıçtaki denklem sistemimiz sisteme eşdeğerdir: $ \\ begin (case) x + 3y \u003d 0, \\\\ x + y \u003d 2. \\ end (durumlarda) $.
İkinciyi birinci denklemden çıkararak şunu elde ederiz: $ \\ begin (case) 2y \u003d -2, \\\\ x + y \u003d 2. \\ end (durumlarda) $.
$ \\ begin (durum) y \u003d -1, \\\\ x \u003d 3. \\ end (durumlarda) $.
Cevap: $ (3; -1) $.
Üstel eşitsizlikler
Eşitsizliklere geçelim. Eşitsizlikleri çözerken derecenin tabanına dikkat etmek gerekir. Eşitsizlikleri çözmek için iki olası senaryo vardır.Teorem. $ A\u003e 1 $ ise, üstel eşitsizlik $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (g (x)) $ $ f (x)\u003e g (x) $ eşitsizliğine eşdeğerdir.
0 $ ise
Misal.
Eşitsizlikleri çözün:
a) 3 $ ^ (2x + 3)\u003e 81 $.
b) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0.3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0.3) ^ (4x + 15) $ ...
Karar.
a) 3 $ ^ (2x + 3)\u003e 81 $.
3 ^ (2x + 3)\u003e 3 ^ 4 $.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$ 2x + 3\u003e 4 $.
2x\u003e 1 $.
x $\u003e 0,5 $.
B) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Denklemimizde, 1'den küçük derecedeki taban bir eşitsizliği eşdeğer bir eşitsizlikle değiştirirken, işaretin değiştirilmesi gerekir.
$ 2x-4\u003e 2 $.
$ x\u003e 3 $.
C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Aralık çözüm yöntemini kullanalım:
Cevap: $ (- ∞; -5] U)