Matris sütunlarının sıralarının doğrusal bağımsızlığı ile bağlantı. Matris sıralaması. Oblyamіvnyh minorіv yöntemi. Matrisin satırlarının (stovptsіv) doğrusal bağımsızlığı. Matrisin sırasını bulmak için çerçeveleme yöntemini kullanın
Bir bakalım, neobov'yazkovo karesi, matris dünya mxn ile ilgili.
Matris sıralaması.
Matrisin sırasını anlamak, matrisin satırlarının (stovptsiv) doğrusal bayatlığının (bağımsızlığının) anlaşılmasıyla ilgilidir. Satırlara bakalım. Stovptsіv için - benzer şekilde.
A matrisinin önemli ölçüde batması:
e 1 = (bir 11, bir 12, ..., bir 1n); e 2 \u003d (bir 21, bir 22, ..., bir 2n); ..., e m \u003d (bir m1, bir m2, ..., bir mn)
e k =e s yani a kj =a sj , j=1,2,…,n
Aritmetik işlemler matrisin satırları üzerinde (toplama, bir sayı ile çarpma), eleman eleman gerçekleştirilen bir işlem olarak tanıtılır: k = ( k k , k k , ..., k k );
e k + e s = [(k1 + bir s1), (bir k2 + bir s2), ..., (bir kn + bir sn)].
sıra denir lineer kombinasyon satırlar e 1 , e 2 ,...,e k
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
e 1 , e 2 ,…,e m satırları çağrılır doğrusal nadasλ 1 ,λ 2 ,…,λ m sayılarının geçerliliğini açıklığa kavuşturmak için, hepsi sıfıra eşit değildir, dolayısıyla bu satırların lineer kombinasyonu sıfır satırına götürür: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 de 0 =(0,0,…,0) (1)
λ i katsayılarının tümü sıfıra eşitse (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), o zaman e 1 , e 2 ,…,e m sıraları çağrılır Doğrusal bağımsız.
teorem 1. e 1, e 2,..., e m satırlarının lineer olarak nadas olması için gerekli ve yeterlidir, yani bu sıralardan biri diğer sıraların lineer birleşimiydi.
getirmek. gereklilik. e 1, e 2, ..., e m satırlarının doğrusal olarak nadasa bırakılmasına izin verin. Hadi randevu için (1) λ m ≠0, o zaman
O. Sıra e m є diğer sıraların doğrusal kombinasyonu. Ch.t.d.
Refah. Satırlardan birini getirin, örneğin e m, diğer satırların doğrusal bir kombinasyonu. Sonra denkliği eşitleyen öyle sayılar var ki, bir bakışta yeniden yazabilirsiniz,
de isteyen b 1 z katsayıları, (-1), sıfıra eşit değil. Toto. satırlar doğrusal olarak nadaslıdır. Ch.t.d.
Randevu. Küçük k'inci sıra mxn boyutunun matrisi, A matrisinin k satırı veya k sütunu olup olmadığına bakılmaksızın peretina üzerinde yer alan elemanlara sahip k'ıncı sıra değişkeni olarak adlandırılır (k≤min(m,n)). .
popo, Minori 1. derece: =, =;
küçük 2. sıra: , 3. sıra
3. mertebeden matris 1. mertebeden 9 minör, 2. mertebeden 9 minör ve 3. mertebeden 1 minör içerir (matrisin asal sayısı).
Randevu. Matris sıralaması A matrisin minörlerinde verilen sıfırların en büyük mertebesine denir. Atama rg A veya r(A) şeklindedir.
Matrisin rütbesine güç.
1) A nxm matrisinin rankı en küçük boyuttan yani seçilir.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0, eğer matrisin tüm elemanları 0'a eşitse, o zaman. Bir = 0.
3) n'inci dereceden A kare matrisi için, A virojen değilse r(A)=n.
(Köşegen matrisin sırası, sıfır olmayan köşegen elemanların sayısına eşittir).
4) Matrisin sırası r'ye eşitse, matris, sıfıra eşit olmayan, ancak büyük mertebelerin tüm küçükleri sıfıra eşit olan r mertebesinden bir minör isteyebilir.
Matrisin rankları için aşağıdaki ifadeler geçerlidir:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);
5) r(AB)=r(A), ki bu virojen olmayan bir kare matristir.
6) r(AB) r(A)+r(B)-n, burada n, A matrisindeki sütunların ve B matrisindeki satırların sayısıdır.
Randevu. Sıfır olmayan küçük mertebe r(A) denir temel minör. (Matrix A'da birkaç temel minör olabilir). Peretina üzerinde temel minör olan stovptsі'ların sıraları aynı şekilde adlandırılır. temel satırlarі temel sütunlar.
Teorem 2 (temel minör hakkında). Temel satırlar (stovpt'ler) doğrusal olarak bağımsızdır. Bir satır (satır olsun) A matrisinin temel satırların (stovptsiv) doğrusal bir kombinasyonu olup olmadığı.
getirmek. (Satırlar için). Yakby Bazi Buli Lіnіnіnoyni'yi Sıralıyor, sonra teorem için (1) bir, bir cich -row bivo buv bib linesiyu, aynı temel sıra, temel minörün serpente'si değil, sedim'in cums'ı , temel minörün sıfıra eşit olduğu . O. temel satırlar doğrusal olarak bağımsızdır.
Bir matris satırı olduğu, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olduğu sonucuna varılabilir. Çünkü satırlarda (stovptsiv) yeterli değişikliklerle, vyznachnik gücü sıfıra alır, ardından tutarlılığa müdahale etmeden, matrisin sol üst köşesinde temel küçük değişikliklerin olması önemlidir
bir =, toto. ilk r satırda ve ilk r sütunda frezeleme. 1£j£n, 1£i£m olsun. (r + 1) inci mertebeden olduğu gösterilebilir.
Yakscho j£r chi i£r bunun iki özdeş sütunu veya iki özdeş satırı olacaktır.
j>r і i>r gibi, tüm işaret А matrisinin küçük (r+1)-inci sırasındadır. matrisin sırası daha gelişmiş r'dir, bu nedenle 0'dan daha yüksek bir mertebenin küçük bir kısmı olun.
Kalan (dodated) stomptsya'nın unsurları için yoga düzenlemek, mümkün
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, burada A ij cebirinin geri kalanı temel minör M r ile çalışır ve A ij = M r ≠ 0.
Kalanı A ij'ye böldükten sonra, a ij öğesini doğrusal bir kombinasyon olarak çevirebiliriz: , de .
j (j=1,2,…,n) ne olursa olsun i(i>r) değeri sabittir. eleman i-th e i sıraları, e 1, e 2, ..., e r, tobto sırasının elemanları boyunca doğrusal olarak uzanmaktadır. fırlatırımє temel satırların doğrusal kombinasyonu: . Ch.t.d.
TEOREM 3 n'inci mertebe gösteren D'nin sıfıra ulaşması için sıraların (stowpts) doğrusal olarak nadas olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt (s.40). gereklilik. n'inci dereceden işaret D sıfıra eşit olduğu için, n'inci matrisin temel küçüğü r mertebesinden olabilir Diğerlerinin doğrusal kombinasyonu ile bir satır dahil. Lineer olarak vyznachnik'in Teorem 1 satırları için aynı. Refah. D satırları doğrusal olarak nadas ise, o zaman Teorem 1'den sonra bir satır A i, diğer satırların doğrusal bir kombinasyonudur. A satırını görünce, doğrusal bir kombinasyon atanır, D'nin değerini değiştirmeden sıfır satırını alırız. Otzhe, vyznachniki'nin gücü için D=0. h.t.d. Teorem 4. Temel dönüşümlerde, matrisin sıralaması değişir. getirmek. Şeflerin kuvvetlerine bakma saati altında gösterildiği gibi, kare matrisler yeniden şekillendirildiğinde şefler ya değişir ya da sıfır olmayan bir sayı ile çarpılır ya da işaret değişir. Sıfır girişlerinin en büyük sırası, çıkış matrisinin minörlerinde alınır, yani. matris sıralaması değişmez. Ch.t.d. r(A)=r(B) ise, o zaman і В – eşdeğeri: A~B. Teorem 5. Temel dönüşümlerin yardımı için, matrisi şu hale getirebilirsiniz: basamaklı bakış matris denir stupіnchastoy, sanki görebiliyormuş gibi: А=, de a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Wash r≤k aktarılabilir. teorem 6. adım-frekans matrisinin sıralaması .
Toto. Adım-frekans matrisinin sırası daha pahalıdır, çünkü є vіdmіnny vіd sıfır sıra dışı r: Saygılarımızla, matrisin satırları ve sütunları aritmetik vektörler olarak görüntülenebilir ve mі n açıkça. Bu şekilde, açılımlar matrisi bir sukupnist olarak yorumlanabilir. m
n- barış veya n
m-barışçıl aritmetik vektörler. Geometrik vektörlerle analoji yaparak, matrisin satırlarının ve sütunlarının doğrusal oluşumu ve doğrusal bağımsızlığı kavramını tanıtıyoruz. 4.8.1. Randevu. Sıra , 4.8.2. Randevu. Satırlar 4.8.3. Randevu. Satırlar , 4.8.4. teorem. (Matris sıralarının doğrusal nadas kriteri) Satırların doğrusal olarak nadasa bırakılabilmesi için, bunlardan yalnızca birinin diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir. Bitti: gereklilik. Satırlara izin ver Uykululuk değişimi olmadan, doğrusal kombinasyonun katsayılarının sıfır olması kabul edilebilir (ek olarak, satırları yeniden numaralandırabilirsiniz). Razdіlivshi tse spіvvіdnoshennia yani ilk satır diğerlerinin lineer birleşimidir. Kullanılabilirlik.Örneğin satırlardan biri, bu, satırların önemsiz olmayan ana doğrusal kombinasyonudur baba, satırlar Saygı duymak. Matris sütunlar için benzer tanımlamalar ve sağlamlaştırmalar formüle edilebilir. 4.9.1. Randevu. Küçük emir 4.9.2. Randevu. Vіdminniy sıfır küçük sipariş verdi Saygı duymak. Matris, temel küçüklerden oluşan bir kіlka'nın annesi olabilir. Açıkçası, hepsi aynı sırada olacak. Matris varsa, aynı zamanda olası bir vipadok'tur. 4.9.3. Randevu. Temel minörü oluşturan satırlara (stovptsi) denir temel sıralar (stowptsy). 4.9.4. Randevu. rütbe matrise її temel minörün sırası denir. Matris sıralaması Saygı duymak. Önemli bir şekilde, değişkenin satır ve sütunlarının eşitliği nedeniyle, transpozisyon için matrisin sıralaması değişmez. 4.9.5. teorem. (Herhangi bir temel dönüşüm için bir matrisin sırasına göre değişmezlik) її temel dönüşümler için matrisin sırası değişmez. Onay olmadan. 4.9.6. teorem. (Temel minör hakkında). Temel satırlar (stovpt'ler) doğrusal olarak bağımsızdır. Matrisin bir satırı (stovepets) olup olmadığı, її temel satırların (stovptsіv) doğrusal bir kombinasyonu şeklinde gösterimler olabilir. Bitti: Satırların ispatını yapalım. Stoptsіv için onay kanıtı analoji ile yapılabilir. Bana matrisin rankını ver Temel satırların doğrusal bağımsızlığını geri getirelim. Kanıt bir paralel şeklinde gerçekleştirilebilir. Temel satırların lineer olarak nadasa bırakıldığını varsayalım. Benzer şekilde, Teorem 4.8.4 ile satırlardan biri, daha düşük temel satırların doğrusal bir kombinasyonunda temsillere sahip olabilir. Daha sonra, sanki onuncu sıradan doğrusal bir kombinasyon gösteriliyor, sonra sıfır sırasını alıyoruz ve tse, minör anlamına geliyor Şimdi, bir matrisin bir kaplama satırının, temel satırların doğrusal bir kombinasyonunda gösterimlere sahip olabileceğini varsayalım. Görebileceğiniz sıra numarası gibi Anahtarın minör olduğunu gösterelim Doğru, hangi sütunun numarası Burada Bu şekilde, matrisin yeterli bir satırının її temel satırlarının doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebileceğini getirdik. Teorem tamamlandı. Ders 13 4.9.7. teorem. (Bakire olmayan bir kare matrisin sıralaması hakkında) Kare matrisin bakire olmaması için matrisin rankının matrisin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir. Bitti: gereklilik. matrisin karesini alalım Kullanılabilirlik. Hadi Sonuçlar. Kare matrisin virojen olmaması için satırların doğrusal olarak bağımsız olması gerekli ve yeterlidir. Bitti: gereklilik. Oskіlki kare matris є virojen olmayan, її matrisin boyutuna göre daha gelişmiş Kullanılabilirlik. Matrisin tüm satırları doğrusal olarak bağımsız olduğundan, sıralama matrisin boyutundan küçük değildir ve bu nedenle, 4.9.8. Oblyamіvnyh minorіv znahodzhennya sıralama matrisi için yöntem. Chastkovo yönteminin, temel minör hakkındaki teoremin kanıtını açıklamak için dolaylı olarak kullanıldığını belirtmekte fayda var. 4.9.8.1. Randevu. Küçük 4.9.8.2. Küçükleri çerçeveleme yöntemiyle bir matrisin sırasını belirleme prosedürü. Matrisin mevcut minörünün sıfır şeklinde olduğu bilinmektedir. Oblyamovuyut olan tüm küçükleri hesaplayın. Koku sıfıra eşitse, mevcut minör baziktir ve matrisin sıralaması mevcut minörün sırasına kadardır. Çerçeveleme küçüklerinden birini bilmek istiyorsanız, sıfır vіdminny'ye sahip olmak istiyorsanız, o zaman kesin olanı belirlemeniz gerekir ve prosedür trivaє'dır. Küçüklerin ek yöntemini, matrisin sırasını, oblyamouyut'u biliyoruz. Mevcut minörü farklı bir sırayla belirtmek kolaydır, örneğin vіdminny vіd zero, Oblyamovuyut olan yogo minori'yi hesaplayın: Otzhe, üçüncü dereceden tüm küçükler gibi, oblyamovuyut, sıfıra ekleyin, sonra küçük Saygı duymak. Bakılan popodan, bitirmenin zahmetli olduğu açıktır. Bu nedenle, temel dönüşümler yöntemi genellikle daha pratiktir, çoğu zaman hakkında daha düşük olan bir dildir. 4.9.9. Temel dönüşümler yoluyla matrisin sırasını bilmek. Teorem 4.9.5'ten, temel dönüşümler altında bir matrisin rankının değişmediği doğrulanabilir (böylece eşdeğer matrislerin rankları eşittir). Bu nedenle, matrisin sıralaması, dış temel dönüşümler tarafından alınan kademeli matrisin sıralamasından daha ileridir. Adım-frekans matrisinin sıralaması, sıfır olmayan satırların sayısından fazladır. Önemli ölçüde matrisin sıralaması temel dönüşümler yöntemiyle. indüklenebilir matris Kalkış adım-frekans matrisindeki sıfır olmayan satır sayısı üçten fazladır, 4.9.10. Sistemin rankı lineer uzayın bir vektörüdür. vektör sistemine bir göz atalım 4.9.10.1. Randevu. Vektör sisteminin sıralaması
Saygı duymak. Vektörler sistemi lineer bağımsız olduğundan, sıralama sistemdeki vektör sayısına daha eşittir. Lineer uzayda bir vektör sisteminin rankını ve bir matrisin rankını anlamak için bağlantıları gösteren bir teorem formüle ediyoruz. 4.9.10.2. teorem. (Doğrusal uzayda vektör sisteminin sıralaması hakkında) Doğrusal uzaydaki vektörler sisteminin sıralaması, sütunları veya satırları doğrusal uzayın mevcut tabanındaki vektörlerin koordinatları olan matrisin sıralaması ile aynıdır. Onay olmadan. Sonuçlar. Lineer uzayda vektör sisteminin lineer bağımsız olabilmesi için matrisin rankının, kolonlarının ve vektörlerin koordinatlarının güncel bazda olması, sistemdeki vektör sayısını arttırması gerekli ve yeterlidir. . Kanıt açık. 4.9.10.3. Teorem (Doğrusal kabuğun genişlemesi üzerine). Vektörün doğrusal zarfının genişletilebilirliği Onay olmadan. de - yakіs sayıları (deyakі z tsikh sayıları veya navіt tümü sıfıra ulaşabilir). Tse, sütunların elemanları arasında bu tür eşdeğerliklerin varlığı anlamına gelir: Z (3.3.1) şunu gösterir: Aynı şekilde eşitlik (3.3.3) geçerli olsa bile, satırlara lineer bağımsız denir. Spivation (3.3.2), sıralardan biri diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirse, sıraların doğrusal olarak nadas ettiğini gösterir. Bachiti yapmak ve döndürmek kolaydır: sıralar doğrusal olarak nadas ise, o zaman diğer sıraların doğrusal bir kombinasyonu olacak bir sıra vardır. Hadi, örneğin (3.3.3)'te o zaman Randevu. Matriste r'inci mertebeden deaky minörünün bir görüntüsünü göreyim ve matrisin (r + 1)'inci mertebesindeki minörün intikamı kendi minörümde alınsın. Diyelim ki küçük oblyamovuє minör (aksi takdirde oblyamovu için). Şimdi önemli bir lemma getirelim. Lemma reşit olmayanları çerçevelemek hakkında. A matrisinin r mertebesine göre minör sıfıra eşitse ve iyileştirilebilecek tüm minörler sıfıra eşitse, A matrisinin bir satırı (stovpet'leri) olup olmadığı її sıralarının doğrusal bir kombinasyonudur ( stovptsіv) olmak. getirmek. Yansıtmanın tutarlılığına zarar vermeden, sıfırın r'inci mertebeden minörünün A = matrisinin sol üst köşesinde olduğuna dikkat etmek önemlidir: A matrisindeki ilk k satır için açıktır: doğrusal kombinasyonu tamamlamak için, katsayı bire eşit olan satırı ve sıfıra eşit katsayılı sonraki satırı dahil edin. Şimdi, A matrisinin sonraki satırlarının ilk k satır boyunca doğrusal olarak döndürüldüğünü varsayalım. Hangisi için k-inci sıranın minörüne () ekleyerek minör (r + 1)-inci mertebeyi tetikler ki ben-inci sütun (): Tüm k ve l için minörün çıkarılması sıfıra eşittir. Yakshcho, aynı stovptsya'dan ikisinin intikamını almak için dorivnyuє sıfır yak. Yakshcho, daha sonra küçük є oblyamuyuchy minörünü i için çıkardıktan sonra, zihin lemisinden sonra sıfıra ekleyin. Geri kalanın unsurları için minörü düzenlemek ben-inci sütun: Daha da önemlisi, şunları dikkate alıyoruz: Viraz (3.3.6), A matrisinin k satırının ilk r satır boyunca doğrusal olarak döndürüldüğü anlamına gelir. Matris aktarıldığında, її minörlerin değerleri değişmez (şeflerin gücüyle), stovptsіv için her şey gerçekleşir. Teorem tamamlandı. Açıklamalar I. Bir matrisin bir satırı (stovpet'ler) ve її temel satırların (stovpet'ler) doğrusal bir kombinasyonu olup olmadığı. Aslında, matrisin temel minörü sıfıra eşittir ve yogayı geçersiz kılan tüm küçükler sıfıra eşittir. Naslidok II. N'inci mertebeden Vyznachnik, aşağı yukarı sıfıra eşittir, bu da doğrusal nadas sıralarının (stovptsі) intikamını almaktır. Liderin sıfıra eşitliği için satırların doğrusal nadasının (stovptsiv) yeterliliği, liderlerin gücü olarak daha önce getirildi. İhtiyacı getireceğiz. Sıfıra eşit tek bir minör olan n'inci mertebeden bir kare matris verilsin. Qiєї matrisinin rankının n'den küçük olduğu açıktır. matristeki temel satırların doğrusal birleşimi olan bir satır bulmak istiyorsanız. Bir matrisin rankı hakkında bir teorem daha getirelim. teorem. Matristeki maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, matrisin maksimum doğrusal bağımsız satır sayısına ve maksimum doğrusal bağımsız satır sayısına eşittir. getirmek. A matrisinin rankı daha iyi r olsun. Ya be-yaki її k temel satırlar є doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde temel küçük sıfıra eşit olacaktır. Diğer tarafta, r + 1 olsun ve daha fazla sıra lineer olarak uzansın. Reddi kabul ettikten sonra, ikinci lemy'nin sonuncusundan sonraki sıfırın ikinci yarısı olan alt r'den büyük mertebenin minörünü bilebilirdik. Küçüklerin maksimum sırasının, sıfırın ve r'nin göstergesi olduğu gerçeğinin üzerine bindirilmiş olarak kalın. Sıraya getirilen her şey adil ve işçiler içindir. Sonunda, matrisin sırasını belirlemenin bir yolunu daha sunuyoruz. Sıfıra eşit olan maksimum mertebenin minörünü bilmek için matrisin rankı belirlenebilir. İlk bakışta, kesin olsa bile sayılıyor gibi görünüyor, ancak belki de matrisin çok sayıda reşit bile değil. İlerleyen teorem, en önemli bağışlamayı tanıtmaya izin verir. teorem. A matrisinin küçüğü sıfırsa ve yoga yapan tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman matrisin sıralaması daha gelişmiş r'dir. getirmek. S>r'li matris sıralarından oluşan bir alt sistemin, teoremin zihninde lineer olarak nadasa sahip olup olmayacağını göstermek yeterlidir (çünkü r, matristeki lineer olarak bağımsız satırların maksimum sayısıdır veya sıfır, minör veya mertebeden daha fazladır) k daha pahalıdır). Diyelim ki kabul edilemez. Satırlar doğrusal olarak bağımsız olsun. Reşit olmayanlarla ilgili lemmaya göre, ne oblyam, onların derisi, lineer olarak bağımsız, sıfır görünümüne sahip olanları çağıran, minör ve yak'ın bulunduğu sıralar boyunca doğrusal olarak döndürülecektir: Şimdi doğrusal kombinasyona bir göz atalım: Victorist (3.3.7) ve (3.3.8), isteğe bağlı scho satırların doğrusal bağımsızlığını süperehit etmek için. Otzhe, bizim kabulümüz є nevirnim і, otzhe, be-like S>r lineer mevduat teoreminin kafasında sıralar. Teorem tamamlandı. Bir matrisin sırasını hesaplama kuralına -belirli bir teoremi temel alan kesin küçükler yöntemine- bakalım. Matrisin sırasını hesaplarken, slaytlar alt dereceli küçüklerden yüksek dereceli küçüklere doğru gider. Sıfırla aynı olan r-th mertebesinin minörünü zaten bulduysanız, minörü oblamovuyut olan (r + 1)-th mertebesinin minöründen daha fazlasını hesaplamanız gerekir. Sıfıra eşitlerse, matrisin sıralaması r'ye eşittir. Bu yöntem zastosovuєtsya ve bu şekilde, yalnızca matrisin sıralaması hesaplanmadığı için, aynı zamanda sütunlar (satırlar) matrisin küçük tabanını topladığı için önemlidir. popo Küçükler yöntemiyle hesaplayın, ne oblyamovat, matrisin sırası. Çözüm. A matrisinin sol üst katında duran farklı bir düzenin minörü sıfıra yükselir: Bununla birlikte, sıfıra uyması gereken üçüncü dereceden küçük değere sahibiz: Otzhe, A matrisinin rankı iki yönlüdür: . Bu matristeki birinci ve diğer satırlar, birinci ve diğer sütunlar temeldir. Інші satırlar ve stovptsі є їх doğrusal kombinasyonlar. Gerçekten de, bir dizi adalet için, böyle bir denklik: Sonunda, bu tür yetkililerin adaleti önemlidir: 1) tamamlayıcı matrislerin sırası, dermal çarpanın sıralamasından daha yüksek değildir; 2) sağdaki tamamlayıcı matris A'nın veya virojen olmayan kare matris Q üzerindeki sıralaması, A matrisinin sırasına eşittir. Zengin matris Randevu. Zengin terimli bir matris veya bir matris, sayısal katsayılarla bir değişiklik gibi elemanları zengin terimli olan dikdörtgen matris olarak adlandırılır. Matrislerin üzerinde temel dönüşümler oluşturmak mümkündür. Onlardan önce görülebilir: İki sıranın permütasyonu (stovptsiv); Bir satırı (stovptsya) bir sayı ile çarpmak, vіdmіnne vіd sıfır; Bir sonraki satırın (stovptsya) bir satırına (stovptsya) kadar ek, herhangi bir zengin terimle çarpılır. İki matris ve aynı açılımlar eşdeğer olarak adlandırılır: aynı matristeki nihai temel dönüşüm sayısının yardımına gitmek mümkündür. popo Matrislerin denkliğini getir 1. Matristeki ilk ve diğer sütunları hatırlayın: 2. Başka bir satırdan, ilki görünür, () ile çarpma: 3. Başka bir satırı (–1) ile çarpın ve saygıyla 4. Önce başka bir stovptsya'dan Vіdnіmemo, , otrimaєmo ile çarpma Hepsinin kişiliksizliği - veri matrisi, eşdeğer matrislerle örtüşmeyen sınıflara bölünmüştür. Birbirine eşdeğer olan matrisler, bir sınıf oluşturur, eşdeğer değil - diğeri. Eşdeğer matrislerin cilt sınıfı, bu boyutların kanonik veya normal matrisi ile karakterize edilir. Randevu. Kanonik veya normal bir genişleme matrisi, ana köşegen üzerinde m ve n sayılarından daha az olan zengin segmentlere sahip olan -matris olarak adlandırılır ( Polinomların є sıfır derecenin zengin terimlerinin ortası olan tayin edilen parçadan, baş diyagonalinin koçanı üzerindeki tüm kokular. Sıfırlar varsa, pis koku baş köşegeninde durmalıdır. Ön poponun matrisi kanoniktir. matris çok kanonik. Deri sınıfı -matris intikam almak için tek bir kanonik -matrix, tobto. skin-matrix, matrisin kanonik formu veya normal formu olarak adlandırıldığından, tek kanonik matrise eşdeğerdir. Verilen matrisin kanonik formunun baş köşegeninde duran zengin terimlere, verilen matrisin değişmez çarpanları denir. Verilen matrisin alanlarındaki değişmez çarpanları kanonik forma hesaplama yöntemlerinden biri. Yani, değişmez çarpanlara sahip ön popo matrisi için є Yukarıdakilerin arkasında, bir ve aynının varlığının ve değişmez çarpanların bütünlüğünün gerekli ve yeterli entelektüel eşdeğerlik matrisi olduğu açıktır. Kanonik forma indirgenmiş matrisler, değişmez çarpanların belirlenmesine indirgenir burada r, sıralama matrisidir; - 1 olan en yüksek katsayı ile alınan k-inci sıradaki minörlerin en büyük sıcak dilniği. popo Hadi dana -matrix Çözüm. Zrozumilo, ilk perdenin maksimum uykusu, tobto. . Farklı bir sırayla önemli ölçüde küçük: Zaten tsikh danikh bunun için yeterli, schobbiti visnovok:, oh,. Önemli ölçüde otzhe, Bu sıralamada, verilen matrisin kanonik formu saldırgan matristir: Matris açısından zengin terime viraz mind denir de - değiştir; - Sayısal öğeler içeren n mertebesinden kare matrisler. Eğer öyleyse, o zaman S, matris açısından zengin terimin adımı olarak adlandırılır, n, matris açısından zengin terimin sırasıdır. İkinci dereceden bir matrisin bir matris polinomu gibi olup olamayacağı. Oldukça, akıllıca ve tersine çevrilebilir bir şekilde sağlam, tobto. matris açısından zengin bir terimin bir kare matrise bakılarak vergilendirilip vergilendirilemeyeceği. Bu iddiaların geçerliliği, matrisler üzerindeki işlemlerin gücünden bellidir. Bu tür popolarda şarkı söylüyoruz: popo Çok terimli bir matrisi ortaya çıkarın matris açısından zengin bir terim görünümünde, bunu yapabilirsiniz popo Matris açısından zengin terim görünüşte rahatsız edici bir zengin üyeli matriste (-matrix) dosyalanabilir Matris çok üyeli ve çok üyeli matrislerin birbirinin yerine geçebilirliği, faktöriyel ve bileşen analizi yöntemlerinin matematiksel aparatında önemli bir rol oynar. Sayısal katsayılı ses polinomlarına benzer şekilde, aynı mertebeden matris açısından zengin terimler eklenebilir, görülebilir ve çarpılabilir. Slid, prote, hatırla, matris açısından zengin terimlerin çarpması, vzagali, değişmeli değil, çünkü değişmeli olarak çarpan matrisler değil. İki matris polinomu eşit olarak adlandırılır, çünkü katsayıları eşittir, yani. değişimin aynı adımlarında farklı matrisler. İki karşıt matrisin toplamına (perakende), karşıt üyelerde aynı dünyaya sahip katsayıların toplamının (perakende) değişiminin cilt aşamasında bir katsayısı olan böyle bir matris karşıt üye denir. Matris terimini matris terimiyle çarpmak için, matris teriminin skin terimini matris teriminin skin terimiyle çarpın, diğer terimleri toplayın ve benzer terimler oluşturun. Matris zengin üyenin adımları - çarpanların adımlarının toplamından daha az veya daha fazlasını oluşturun. Matris açısından zengin terimler üzerindeki işlemler, genel matrisler üzerindeki ek işlemlerden sonra gerçekleştirilebilir. Schob, çift matrislere katlamaya (katlamaya) yetecek kadar zengin matris terimlerini katlamak (katlamak). Bunlar aynı çarpmadır. -toplama sırasına göre zengin terimlerin matrisi toplama matrisi -çarpanların matrisi. Diğer taraftan ve bir bakışta yazabilirsiniz burada 0, virojen olmayan bir matristir. Rozpodіlі іsnuє'da açık bir şekilde sağ özel ve sağ fazlalık pvne olduğunda de stupіn R 1 stupіn başına daha az veya (artı olmadan rozpodіl) ve ayrıca özel olarak ve vergi fazlası o zaman ve yalnızca bir kez, eğer sipariş de - yakіs sayıları (deyakі z tsikh sayıları veya navіt tümü sıfıra ulaşabilir). Tse, sütunların elemanları arasında bu tür eşdeğerliklerin varlığı anlamına gelir: veya . Z (3.3.1) şunu gösterir: (3.3.2)
de sıfır satırdır. Randevu. A matrisinin satırları doğrusal olarak nadaslıdır, bu nedenle bu tür sayılar kullanılır, hepsi aynı anda sıfıra eşit değildir, yani (3.3.3)
Aynı şekilde eşitlik (3.3.3) geçerli olsa bile, satırlara lineer bağımsız denir. Spivation (3.3.2), sıralardan biri diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirse, sıraların doğrusal olarak nadas ettiğini gösterir. Bachiti yapmak ve döndürmek kolaydır: sıralar doğrusal olarak nadas ise, o zaman diğer sıraların doğrusal bir kombinasyonu olacak bir sıra vardır. Hadi, örneğin (3.3.3)'te o zaman Randevu. Matrix'e gel ve gerçek bir minör gördün r inci sıra ve küçük olmasına izin verin ( r +1) -inci sıra tsієї w matrisler bir bütün olarak minör olarak intikam almak için. Diyelim ki küçük oblyamovuє minör (aksi takdirde oblyamovu için). Şimdi önemli bir lemma getirelim. Lemmareşit olmayanları çerçevelemek hakkında. Yakshcho küçük sipariş r matrisler A \u003d vіdmіnniy vіd sıfır ve yapılabilecek tüm küçükler sıfıra eşittir, o zaman A matrisinin bir satırı (sobalar) її satırların (stovptsіv) doğrusal kombinasyonu, scho olur. getirmek. Dünyanın sağlamlığını bozmak değil ama sıfır minörün sesi olması önemli r -th mertebesi matrisin sol üst katında durmak için A =: ilk k için A matrislerinin sıraları, Lemi'nin sertliği açıktır: doğrusal kombinasyonu tamamlamak için, katsayı bire eşit olan satırı ve diğerini - sıfıra eşit katsayılarla dahil edin. Şimdi A matrisinin diğer satırlarının birinci satır boyunca doğrusal olarak büküldüğünü varsayalım. k Rowkiv. Kimin için küçük olacak ( r +1) inci mertebeden minöre eklenerek k-inci sıra () ben-inci sütun (): Çıkarma minör hepsi için sıfıra eşittir k ve ben . Yakshcho, aynı stovptsya'dan ikisinin intikamını almak için dorivnyuє sıfır yak. Yakshcho, daha sonra küçük є oblyamuyuchy minörünü i için çıkardıktan sonra, zihin lemisinden sonra sıfıra ekleyin. Geri kalanın unsurları için minörü düzenlemekben-inci sütun: (3.3.4)
de - öğelere cebirsel eklemeler. cebirsel eklemelerє küçük matris A, hacim. Bölünebilir (3.3.4) i'ye şu şekilde görülebilir: (3.3.5)
de . Daha da önemlisi, şunları dikkate alıyoruz: (3.3.6)
Viraz (3.3.6) şu anlama gelir: k A matrisinin -inci satırı birinci satırdan doğrusal olarak döner satırlar. Matris aktarıldığında, її minörlerin değerleri değişmez (şeflerin gücüyle), stovptsіv için her şey gerçekleşir. Teorem tamamlandı. son ben . Matrisin bir satırı (stovpets) olup olmadığı її temel satırların (stovptsіv) doğrusal kombinasyonu. Aslında, matrisin temel minörü sıfıra eşittir ve yogayı geçersiz kılan tüm küçükler sıfıra eşittir. Naslidok II. Vyznachnik n inci sırada, aşağı yukarı sıfıra eşittir, böylece doğrusal nadas sıralarının (stovpts) intikamını alabilirsiniz. Liderin sıfıra eşitliği için satırların doğrusal nadasının (stovptsiv) yeterliliği, liderlerin gücü olarak daha önce getirildi. İhtiyacı getireceğiz. Bir kare matris verilsin n -inci mertebe, sıfıra yakın tek minör n , sonra. matristeki temel satırların doğrusal birleşimi olan bir satır bulmak istiyorsanız. Bir matrisin rankı hakkında bir teorem daha getirelim. teorem.Matristeki maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, matrisin maksimum doğrusal bağımsız satır sayısına ve maksimum doğrusal bağımsız satır sayısına eşittir. getirmek. A matrisinin rankı iyi olsun r. O zaman її k gibi ol temel satırlar doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde temel minör sıfıra eşittir. Diğer taraftan, olsun r +1 ve daha fazla sıra doğrusal birikim. Reddedildiğimizi kabul ettikten sonra, küçüğü büyük aşağı sırasına göre bilebilirdik. r . Maksimum küçük sırasına, diğer sıfır türlerine, daha fazlasına sahip olana süperechit olmaya devam ediyor. r . Sıraya getirilen her şey adil ve işçiler içindir. Sonunda, matrisin sırasını belirlemenin bir yolunu daha sunuyoruz. Sıfıra eşit olan maksimum mertebenin minörünü bilmek için matrisin rankı belirlenebilir. İlk bakışta, kesin olsa bile sayılıyor gibi görünüyor, ancak belki de matrisin çok sayıda reşit bile değil. İlerleyen teorem, en önemli bağışlamayı tanıtmaya izin verir. teorem.A matrisinin küçüğü sıfır ile aynıysa ve yogayı geçersiz kılan tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman matrisin sıralaması daha ileridir r. getirmek. Dosit, matris satırlarının bir alt sisteminin olup olmadığını gösterir. S > r doğrusal olarak nadas teoreminin zihinlerinde olmak k sıfıra eşittir). Diyelim ki kabul edilemez. Satırlar doğrusal olarak bağımsız olsun. Reşit olmayanlarla ilgili lemmaya göre, ne oblyam, onların derisi, lineer olarak bağımsız, sıfır görünümüne sahip olanları çağıran, minör ve yak'ın bulunduğu sıralar boyunca doğrusal olarak döndürülecektir: (3.3.7)
Doğrusal varyans katsayılarının K matrisine bakalım (3.3.7): Matrisin satırları şu şekilde önemlidir: Bileşenlerin eşitliğine geçelim (3.3.8)
Şimdi doğrusal kombinasyona bir göz atalım: Matrislerdeki satırların doğrusal bağımsızlığı
Genişletilecek bir matris verildiğinde Önemli bir şekilde, matrisin satırları sırayla gelir: İki sıra denir eşit
yakshcho, їhnі vіdpovіdnі öğelerine eşittir. . Bir satırı bir sayı ile çarpma ve bir satır ekleme işlemini eleman eleman yapılan bir işlem olarak tanıtıyoruz: Randevu. Bir satır, matris satırlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak adlandırılır, bu nedenle bu satırları belirli etkin sayılarda (sayılar olsun) oluşturmak daha pahalıdır: Randevu. Matrisin satırları denir doğrusal nadas
, bu sayılar bir kerede sıfıra eşit olmasa da, matristeki satırların doğrusal birleşimi sıfır satırına eşittir: De. (1.1) doğrusal nadas matris satırı, matrisin 1 satırını diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak istediğiniz anlamına gelir. Randevu. Satırların (1.1) doğrusal bir kombinasyonu sıfıra eşit olduğundan ve daha sonra, tüm katsayılar ise, satırlar çağrılır. Doğrusal bağımsız
. Matris sıra teoremi.
Matrisin sıralaması, diğer tüm satırların (stovptsі) doğrusal olarak döndürüldüğü maksimum її doğrusal olarak bağımsız abo stovptsіv satır sayısına eşittir. Teorem, lineer denklemlerin matris analizi, zocrema ve schodo sistemlerinde önemli bir rol oynar. 6, 13,14,15,16. Vektör. Vektörler üzerinde işlemler (toplama, toplama, bir sayı ile çarpma),n
- Dünya vektörü. Vektör uzayını ve yoga temelini anlamak.
Vektörler iki olarak görünebilir büyük harfler, yani ve kenarlıklı veya oklu bir satır. Dovzhina (modül olarak)
Vektörün numarası, vektörü temsil eden en önemli ikinci satır olan AB olarak adlandırılır. Bir doğru ya da paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere ne ad verilir? doğrusal
. Vektörün koçanı ve sonu () olarak adlandırıldığından, böyle bir vektör denir sıfır
bu = anlamına gelir. Sıfır vektörünün değeri sıfıra eşittir: 1) Dobootcom vektöründen numaraya:
Bir vektör varsa, düz bir vektörle ne tür bir zbіgaєtsya yapabilirsiniz, yaksho, protilezhno yomu, yaksho. 2) profil vektörü
- ek vektör - sayısı (-1) olarak adlandırılır, o zaman. -=. 3) iki vektörün toplamı
ve koçanı vektörün koçanı ile zbіgaєtsya olan ve vektörün sonu ile sonu olan bir vektör olarak adlandırılır, çünkü bildiğiniz gibi, kulağın sonu ile zbіgaєtsya. (hileler kuralı). Benzer şekilde, vektör sayısının toplamı belirlenir. 4) Perakende iki vektör
і vektörün toplamı ve vektör -, protil olarak adlandırılır. skaler TV
Randevu: İki vektörün skaler toplamı i, aralarındaki kesimin kosinüsünün iki vektörün toplamını toplayan sayıdır: n-dünya vektörü ve vektör uzayı
Randevu. n-dünya vektörüne sıralı dizi denir n
izleyici tarafından kaydedilen gerçek sayılar x = (x 1, x 2, ..., x n), de x ben
– i
-bir vektör bileşeni X. N-dünya vektörü kavramı, ekonomide yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin, belirli bir mal seti, vektör ile karakterize edilebilir. x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), ve ücretsiz fiyatlar y = (y 1, 2, ..., y n). - İki n-dünya vektörü ve eşittir
ve ayrıca, ilgili bileşenlerinde eşitlerse, o zaman. x=y, x için i= y i, i = 1,2,…,n. - iki vektörün toplamı
aynı beden n vektör denir z = x + y, bileşenleri ek vektörlerin karşılık gelen bileşenlerinin toplamına eşittir, tobto. z i= x i+y i, ben = 1,2, ..., n. - Bir deisne sayısı üzerinde Dobootcom vektörü x
bileşenleri vektörün ek bileşenlerine eşit olan bir vektöre tobto denir. , i= 1,2,…,n. Herhangi bir vektör üzerindeki doğrusal işlemler bu tür otoriteleri karşılar:
1) - sumi'nin değişme (değiştirme) gücü; 2) - sumi'nin çağrışımsal (mutlu) gücü; 3) - sayısal güç çarpanının ilişkisel yolu; 4) - dağıtıcı (rozpodіlna) shkodo sumi vektorі v vlastіvіst; 5) - güçteki sayı çarpanlarını nasıl özetleyeceğinizi dağıtan; 6) Herhangi bir vektör için (özellikle sıfır vektörünün rolü); 7) Herhangi bir vektör için, öyle bir alternatif vektör vardır ki; 8) herhangi bir vektör için (özellikle sayısal çarpan 1'in rolü). Randevu. Gerçek bileşenlere sahip kişisel olmayan bir vektör, burada bir vektörün bizi sekiz güçle (aksiyom olarak kabul edilir) tatmin eden bir sayı ile çarpımına katlama işlemine denir vektör kampı
. Açıklık, vektör uzayının temelidir
Randevu. Doğrusal uzay denir n-barış
yeni dünyada yakscho n doğrusal olarak bağımsız vektörler, ancak vektörlerin zaten nadasa sahip olup olmadığı. Diğer bir deyişle, uzaya açıklık
– yenide hareket edebilen doğrusal olarak bağımsız vektörlerin maksimum sayısıdır. n sayısına uzayın genişlemesi denir ve belirtilir. n-dünya uzayında n doğrusal olarak bağımsız vektörlerin koleksiyonuna denir temel
. 7. Vlasnі vektori i vlasnі matrislere değer verir. Matrisin karakteristik hizalaması.
Randevu. vektör denir ıslak vektör
hat operatörü, öyleyse öyle bir sayı var ki: Numaraya ıslak denir operatör değerleri
(matrisler ANCAK) vektörüyle eşleşir. Matris biçiminde yazabilirsiniz: De - genişletilmiş görünümde yukarıdaki vektörün koordinatlarının matris değerleri: Doğru kısımlarda sıfır olacak şekilde sistemi yeniden yazalım: Vyznachnik є zengin üye n inci aşama shodo. Bu zengin üyenin adı operatörün karakteristik zengin terimi
veya A matrisleri ve otriman eşittir - operatörün karakteristik eşitlikleri
ki matrisleri A. Popo:
Lineer operatörün matris tarafından verilen güç değerlerini ve güç vektörlerini bilir. Razvyazannya: Karakteristik olarak eşit katlama Anlamın gücünü gösteren güç vektörünü biliyoruz. Hangi rozv'yazuemo matris hizalaması için: abo Abo. Ayrıca vektörlerin, eğer varsa, mevcut değerlere sahip bir lineer operatörün serbest vektörleri olması kabul edilebilir. Benzer şekilde, vektör. 8. Sistem P doğrusal rivnyan z P değiştirmek ( sıcak gözlü). Böyle bir sistemi yazmanın matris formu. Sistemin çözümü (randevu). Spіlnі ve nesumіsnі, pevnі ve nevyznachenі lineer çizgi sistemleri.
Nevidomimi'den doğrusal çizgiler sisteminin geliştirilmesi
Doğrusal rivnyan sistemleri, ekonominin geniş bir durağanlığını bilir. Değişiklikler içeren doğrusal çizgiler sistemi şöyle görünebilir: de () - tam sayılar, sıralar değişen katsayılar
і Rivnyan'ın bağımsız üyeleri
açıkça. kısa giriş: (). Randevu. Sistemin kararlarına böyle bir anlam tutarlılığı denir, sistemin böyle bir cilt hizalaması kurulduğunda, doğru hizalamaya dönüşür. 1) Eşitleme sistemi denir uykulu
, sanki tek bir çözüm isteyemezmiş gibi, deli Yakscho bir karar vermeyecek. 2) Spіlna sistemi rivnyan denir Şarkı söyleme
sanki tek bir çözüm varmış gibi atanmamış
birden fazla çözüm nasıl olabilir? 3) İki hizalama sistemi denir eşit derecede güçlü (eşdeğer)
Pis koku nasıl bir ve aynı kişisel olmayan çözümü düşünebilir (örneğin, bir çözüm). Sistemi matris biçiminde yazıyoruz:
Önemli ölçüde: ANCAK- değişen katsayılar matrisi veya sistemin matrisi, X
- matrix-stovpets değişimi, -de
- matrix-stovpets vіlnih üyeleri. Çünkü matristeki sütun sayısı, matristeki satır sayısından fazladır, sonra bunların eklenmesi: Є matris-stovpets. Sahip olunan matrisin elemanları koçan sisteminin sol kısımlarıdır. Matrislerin eşitliğinin belirlenmesinden, posta sistemi şu şekilde yazılabilir: . Cramer teoremi.
Sistemin matrisinin primatı ve serbest üyelerin inci sütununun yerine geçerek matristen alınan matrisin primatı olsun. Todi, yakshcho, o zaman sistem tek bir çözüm olabilir, yak formüllere bağlıdır: Kramer formülü. popo Eşitleme sistemini Cramer'in formüllerine göre çözün
Çözüm. Sistemin anlamlı matrisi. Aynı sistem ancak çözülebilir. Ücretsiz üyelerin sütunlarının birinci, ikinci, üçüncü sütunlarının değiştirilmesinden çıkararak hesaplayalım: Cramer'in formüllerinin arkasında: 9. Sistemin Gauss yöntemin
doğrusal rivnyan z P değiştirmek. Jordan-Gauss yöntemini anlamak.
Gaus yöntemi
- değişiklikleri sonradan hariç tutma yöntemi. Gauss yöntemi, temel satır düzenlemeleri ve sütun permütasyonlarının yardımıyla, sistemin, kalan (numaralı) değişikliklerden başlayarak sırayla, kademeli (chi triko) formun eşit mukavemetli bir sistemine eşitlenmesidir. , diğer değişiklikleri değiştirirler. Gaus'un dönüşümü, eşitlerin kendileriyle değil, ancak serbest üye sayısı matrisine atfedilmek üzere alınan katsayılarının genişletilmiş bir matrisi ile manuel olarak gerçekleştirilir: Gauss yönteminin eşit akıl sistemini kırmak için kullanılabileceğini belirtmek için kaydırın popo Gauss yöntemini kullanarak sistemi kontrol edin:
Sistemin matrisini genişleteceğiz. Krok 1
.
Birinci ve diğer satırları aylarla birlikte hatırlıyoruz, böylece 1'e eşit oluyoruz. Krok 2
Birinci satırın elemanlarını (–2) ve (–1) ile çarparak diğer ve üçüncü sıranın elemanlarına ekleyin, böylece birinci sütundaki eleman sıfır olur. . Doğrusal hizalamaların ortak sistemleri için aşağıdaki teoremler doğrudur:
teorem 1. Yakshcho, sistemin matrisinin sıralaması, tobto değişiklik sayısından daha pahalıdır. , o zaman sistemin tek bir çözümü vardır. Teorem 2. Böylece, ikili sistemin matrisinin sıralaması, alternatif olanların sayısından daha azdır, yani. , o zaman sistem bilinmiyor ve kişisel olmayan bir karar olabilir. Randevu. Matrisin taban minörü, sırası matrisin rütbesinden daha yüksek olan sıfır olmayan herhangi bir minördür. Randevu. Katsayıları temel minörün kaydına dahil edilen nevidomikh'lere temel (chi main) ve diğer nevidomikh'lere vilniy (chi minör) denir. Virishiti sistem y katına eşittir - tse vislovity і anlamına gelir (çünkü vyznachnik, їх katsayılarının katları sıfıra eşit değildir), sonra і - vіlnі nevidomі. Vasiyetler aracılığıyla temel değişiklikleri görelim. Çıkarılan matrisin başka bir satırından şunları değiştirebiliriz: İlk satırdan şunları görebiliriz:, Nehir sisteminin ana çözümü:,.
aranan satırların doğrusal kombinasyonu katsayılı 
bu sıranın tüm unsurları için eşitlik adildir:
.
aranan doğrusal nadas, önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon olmasına rağmen, yani sıfır satırına eşittir. іsnuyt yani tüm sayılar sıfıra eşit değil
,
.
aranan Doğrusal bağımsız, yani sıfır satırın önemsiz bir doğrusal birleşimidir.
sıfır satırına daha yakın olan önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon olmasına rağmen doğrusal olarak nadas:
.
, alınmış
,
, є diğerlerinin lineer kombinasyonu, ayrıca
, sıfır satırına eşittir:
getirmek için gerekli olduğu gibi doğrusal olarak yatırılır.§4.9. Matris sıralaması.
matrisler 
Biberiye 
düzenin lideri denir 
unsurlarla, ön çizgide fırfırlı 
Rowkіv ta 
dur
matrisler 
Biberiye 
aranan temel
küçük sırayla tüm küçük matrisler yakscho 
sıfıra eşittir.
Biberiye 
küçük sipariş 
sıfır göstergesi ve sırayla küçük 
bunu bilmiyorum 
.
atanmak 
veya 
.
rozmirov 
dorivnyuє 
, a 
− temel minör. Uyum için değiş tokuşa gerek olmaksızın, genişletmelerin temel minörünün sol üst katta olması kabul edilebilir (bu durumda, ek temel dönüşümler için matrisi ikinci forma getirebilirsiniz):
.
temel minör değerini süper hesaplayan sıfıra ayarlanır. Böyle bir sıralamada ihmali kazandık, daha sonra temel sıraların lineer bağımsızlığı getirildi.
1'den r, o zaman, açıkça, satırda 1'e eşit bir katsayı ile görsel olarak doğrusal bir kombinasyonda temsil edilebilir. 
ve diğer satırlar için sıfır katsayılar. Şimdi sıra numarasının ne olduğunu göster 
görüş 
önceki 
, temel satırların görsel olarak doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir. matris minörüne bakalım 
, temel minörden çıkarılarak 
satır ekleme 
bu iyi stovptsa 
:
görüş 
önceki 
ben herhangi bir sayı için 
1'den 
.
1'den r, o zaman açıkça sıfıra eşit olan iki özdeş sütun arasından seçim yapmak mümkündür. istasyonun numarası kaç 
görüş r+1 - 
ve sıra numarası 
görüş 
önceki 
, sonra 
є daha yüksek mertebeden çıktı matrisinin minöründe, temel minörde daha düşük ve tse, temel minörün değerinin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir rütbede, o küçük getirildi 
herhangi bir satır numarası için sıfıra dön 
görüş 
önceki 
ben herhangi bir sayı için 
1'den 
. Kolonun geri kalanına yoga koyarak şunları alıyoruz:
− gelişmiş cebirsel eklemeler. buna saygı duyuyoruz 
, çünkü 
є temel küçük. Baba, bir sıranın unsurları k sütun sayısında yatmamak için temel satırların ana öğelerinin katsayılarla görsel olarak doğrusal bir kombinasyonunda sunulabilir 
:
Biberiye nє nevirogennoy, todi 
, Otzhe, vyznachnik matrisi є temel küçük, tobto. 
temel minörün aynı sırası matrisin sırası ile aynıdır, ayrıca temel minörün matrisidir 
, sonra. 
temel minörün belirlenmesinden.
yani matrisin göstereni minör tabandır. Daha sonra, minör tabanla ilgili Teorem 4.9.6'dan sonra, matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır.
Daha sonra, Teorem 4.9.7'den sonra, matris 
є nevirogennoy.
aranan oblyamovuyuchim Do minöre göre 
, yogo otrimano z minör gibi 
çıkış matrisinin bir yeni satırı ve bir yeni sütunu eklenir.
.
.
є temeli, o zaman 
adım benzeri görünüme:
gerçek doğrusal uzay 
. Eğer lineer olarak nadas ise, içinde lineer olarak bağımsız bir alt sistem görmek mümkündür.
lineer uzay 
sistemdeki doğrusal bağımsız vektörlerin maksimum sayısına denir. Vektör sisteminin sıralaması 
yak 
.
lineer uzay 
dorivnyuє vektörіv'nin qієї sistemi sıralaması:
.
.
. 
(3.3.6)
veya
,
. 
;
;
;
;
;
.
,
.
.
.
.
.
), ayrıca, sıfıra eşit değil, zengin segmentler daha eski katsayılar olabilir, 1'e eşittir ve saldırgan zengin segmentin dış görünümü öne bölünür. Baş köşegeninin duruşunun tüm öğeleri 0'a eşittir.
, ; ,
. 
,
ve benzeri.
,
.
.
.
. 
.
.
.
.
. Pis koku doğrusal olarak bayat olacak, kırıklar önce matrisi sıralayacak, tobto. örtüşmeyen maksimum її doğrusal olarak bağımsız satır sayısı r<
S
. Bu nedenle, bu tür sayılar temel alınır, hepsi sıfıra eşit değildir, yani
veya
Vektöre koçan noktası olan düz çizgiler denir ANCAK ve bitiş noktası -de(kendinize paralel hareket edebilirsiniz).
ki matris görünümü: . Otriman'ın homojen sisteminin sıfır çözümü olabilir. Sıfır olmayan bir çözümün kurulması için gerekli ve yeterlidir, böylece sistemin prensibi: .
veya doğrusal operatörün değerinin yıldızları.
, veya , bilinen sesler: , veya
,
, de
.
.