Satırların ve yığınların doğrusal düzenlenmesi. Satırların doğrusal aralığı Matris bileşenlerinin doğrusal aralığının değeri
Lütfen matrisin satır ve sütunlarının boyutların aritmetik vektörleri olarak görülebileceğini unutmayın. Mі N açıkça. Böylece boyut matrisi bir bütünlük olarak yorumlanabilir. M N-mornikh veya N M-dünyevi aritmetik vektörler. Geometrik vektörlere benzetme yaparak, matrisin satır ve sütunlarının doğrusal tutarlılığı ve doğrusal ilgisizliği kavramlarını tanıtıyoruz.
4.8.1. Viznachennya. Sıra 
isminde satırların doğrusal birleşimi katsayılı 
Çünkü bu serinin tüm elemanları için aşağıdaki eşitlik doğrudur:
,
.
4.8.2. Viznachennya.
Satırlar 
arandı doğrusal yalan, çünkü bu sıfır satırına eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyondur. Tüm sayıların sıfıra eşit olmadığı ortaya çıktı
,
.
4.8.3. Viznachennya.
Satırlar 
arandı Doğrusal bağımsız, çünkü önemsiz doğrusal kombinasyonları sıfır satırıyla aynı.
,
4.8.4. Teorem. (Matris satırlarının doğrusal yerleşimi için kriter)
Sıraların doğrusal olarak dizilebilmesi için bir tanesinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
Gereklilik. Satırların gitmesine izin ver 
doğrusal olarak biriktirilmişse, bu, sıfır satıra benzer, önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyondur:
.
Gücü değiştirmeden, doğrusal kombinasyonun katsayılarından sıfırın değiştirilmesi kabul edilebilir (aksi takdirde satırlar yeniden numaralandırılabilir). Bu ilişkiyi ikiye böldükten sonra 
, iptal edilebilir
,
O zaman ilk satır diğerlerinin doğrusal birleşimidir.
Yeterlilik.Örneğin satırlardan birini alın, 
ve diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu, örneğin
o zaman satırların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır 
, sıfır satırına eşit:
ah, sıralar 
tamamlanması gereken doğrusal mevduatlar.
Saygı.
Matris kolonları için de benzer değerler ve katılaşmalar formüle edilebilir.
§4.9. Matris sıralaması.
4.9.1. Viznachennya. Küçük sırayla 
matrisler 
boyut 
tarikatın lideri denir 
backsplash üzerine işlenmiş öğelerle 
satırlar ve 
stovptsiv.
4.9.2. Viznachennya. Sıfır küçük derecenin dış görünümü 
matrisler 
boyut 
isminde temel
küçük matrisin tüm küçükleri sıralı olduğundan 
sıfıra eşittir.
Saygı. Matris bir dizi temel minör içerebilir. Açıkçası, tüm kokular aynı düzende olacaktır. Bu aynı zamanda olası bir uyumdur, eğer matris 
boyut 
küçük sipariş 
Sıfıra ek olarak küçükler de sırayla 
Bilmiyorum o zaman 
.
4.9.3. Viznachennya. Temel minörü oluşturan sıralara (stowpt'lar) denir. temel satırlar halinde (satırlar halinde).
4.9.4. Viznachennya. Rütbe Matrise baz minör mertebesi denir. Matris sıralaması 
gösterilen 
ya da başka 
.
Saygı.
Ebeveynin satır ve sütunlarının eşitliği nedeniyle matrisin sıralamasının yer değiştirme nedeniyle değişmemesi anlamlıdır.
4.9.5. Teorem. (Temel dönüşümler nedeniyle matrisin mertebesinde değişmezlik)
Temel dönüşümler nedeniyle matrisin sırası değişmez.
Onay olmadan.
4.9.6. Teorem. (Temel minör hakkında).
Temel satırlar (satırlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Bir matrisin herhangi bir satırı (satırı), temel satırların (satırların) doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.
Kanıt:
Satırlarla ilgili ispatı yapalım. Argümanların onaylanması analoji yoluyla yapılabilir.
Matris sıralamasının gitmesine izin verin 
boyut 
daha eski 
, A 
− temel minör. Karmaşıklığı sınırlamadan, genişletmelerin temel minörünün sol üst köşede olması kabul edilebilir (aksi takdirde matris, ek temel dönüşümler kullanılarak bu forma indirgenebilir):
.
Temel satırların doğrusal bağımsızlığıyla başlayalım. Kanıt kabul edilemez bir şekilde gerçekleştirilecektir. Temel satırların doğrusal olarak uzanması kabul edilebilir. Teorem 4.8.4'ten serilerden birinin diğer temel serilerin doğrusal birleşimi şeklinde temsil edilebileceği sonucu çıkar. Bu nedenle, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarırsak, sıfır satırını çıkarırız, bu da küçük olanın olduğu anlamına gelir. 
sıfıra eşittir, bu da minör tabanının değeri anlamına gelir. Bu şekilde süper hassasiyet elde ettik ve temel sıraların doğrusal bağımsızlığı sağlandı.
Şimdi bir matrisin her satırının temel satırların doğrusal birleşimi biçiminde temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Baktığınız satır numarası nedir? 
1 ila görüntüle R, o zaman açıkçası, katsayıları arka arkaya 1'e eşit olan doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir 
ve diğer satırlar için sıfır katsayılar. Şimdi satır numarasının ne olduğunu gösterelim. 
görüş 
önce 
temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak sunulabilir. Küçük matrise bir göz atalım 
, temel minörden türetme 
satıra eklemeler 
ve iyi vakit geçir 
:
Bu minörün ne olduğunu gösterelim 
görüş 
önce 
ve herhangi bir istasyon numarası için 
1 ila görüntüle 
.
Doğru, çünkü istasyon numarası 
1 ila görüntüle R O zaman, açıkça sıfıra eşit olan iki yeni ilkenin bir sonucunun olduğunu varsayabiliriz. İstasyon numarası nedir? 
görüş R+1 ila 
ve satır numarası 
görüş 
önce 
, O 
Çıkış matrisinin daha yüksek dereceden, taban minörden daha düşük bir minörüdür ve bu, baz minör değerinden sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Bu rütbeyle küçüklerin ne olduğu ortaya çıktı 
herhangi bir satır numarası için sıfıra eşittir 
görüş 
önce 
ve herhangi bir istasyon numarası için 
1 ila görüntüle 
. Kalan tarafın arkasına yerleştirerek şunları kaldırıyoruz:
Burada 
− ileri cebirsel eklemeler. Sevgili okul 
, bu yüzden 
є temel minör. Ozhe, sıranın elemanları k Temel sıraların destek elemanlarının katsayılarla görünüşte doğrusal bir kombinasyonu olarak sunulabilir, böylece sütun numarasının altında kalmazlar 
:
Bu şekilde yeterli sayıda matris satırının temel satırların doğrusal birleşimi şeklinde temsil edilebilmesini sağladık. Teorem kanıtlandı.
Ders 13
4.9.7. Teorem. (Oluşturulmamış bir kare matrisin rütbesi hakkında)
Bir kare matrisin erdemsiz olabilmesi için matrisin rütbesinin matris boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
Gereklilik. Bir kare matrisimiz olsun 
boyut Nє oluşturulmamışsa, o zaman 
, Ayrıca, birincil matris o zaman temel minördür. 
Yeterlilik. Hadi gidelim 
O zaman temel minörün sırası matrisin boyutuna göre değişir, dolayısıyla temel minör orijinal matristir 
, Daha sonra. 
temel minörün varyasyonları için.
Nasledok.
Bir kare matrisin erdemsiz olabilmesi için satırlarının doğrusal olarak bağımsız olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
Gereklilik. Bir kare matrisin parçaları üretilmemiştir ve bunların sıralaması matrisin boyutuna eşittir 
O zaman birincil matris küçük tabandır. Ayrıca, temel minör ile ilgili Teorem 4.9.6'ya göre, matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır.
Yeterlilik. Matrisin tüm satırları doğrusal olarak bağımsız olduğundan, sıraları matrisin boyutundan daha az değildir; bu şu anlama gelir: 
Ayrıca önceki Teorem 4.9.7'yi takip ederek matris 
є bakire değil.
4.9.8. Bir matrisin rütbesini bulmak için eğik küçüklerin yöntemi.
Bu yöntemin temel minörle ilgili teoremin ispatında zaten örtülü olarak tanımlandığına lütfen dikkat edin.
4.9.8.1. Viznachennya. Küçük 
isminde Bunun hakkında konuşalım C minöre göre 
minörden alındığı gibi 
çıktı matrisine bir yeni satır ve bir yeni sütun ekleme.
4.9.8.2. Eğik küçükler yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma prosedürü.
Matrisin hangi minörünün sıfırdan farklı olduğunu biliyoruz.
Sevdiğimiz tüm küçükleri sayalım.
Sıfıra eşitlerse, o zaman küçük akış temeldir ve matrisin sırası, küçük akışın sırasına eşittir.
Çerçeveleme küçükleri arasında sıfırın en az bir alt bölümü varsa, o zaman kesin olmak gerekir ve prosedür önemsizdir.
Bir matrisin küçük mertebesini çerçevelemek için başka bir yöntem biliyoruz
.
Örneğin, sıfırın aksine, farklı bir düzende güncel bir minör belirtmek kolaydır,
.
Onu çerçeveleyen minörleri hesaplıyoruz:
Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşit olduğundan, o zaman küçük 
є temel, o zaman 
Saygı. Popoya bakıldığında zor bir iş olduğu açıkça görülüyor. Bu nedenle, temel dönüşümler yöntemi sıklıkla kullanılmamaktadır.
4.9.9. Temel dönüşümlerin yolları aracılığıyla matrisin rütbesini bilmek.
Teorem 4.9.5'e dayanarak, temel dönüşümler sırasında matrisin sırasının değişmediği doğrulanabilir (yani, matrisin eşdeğer sıraları eşittir). Bu nedenle, matrisin sırası, çıktı temel dönüşümleri tarafından belirlenen adım frekans matrisinin sırasına eşittir. Aşamalı bir matrisin sıralaması açıkça aynı sayıda sıfır olmayan satırdır.
Matrisin sırası önemlidir
temel yeniden yaratımın yolu.
Matrisi inceleyelim 
görüş hızına kadar:
Çıkarılan adım frekansı matrisinin sıfır olmayan satır sayısı üçtür, o zaman 
4.9.10. Sistem sıralaması doğrusal uzayın bir vektörüdür.
Vektör sistemine bir göz atalım 
biraz doğrusal uzay 
. Doğrusal olarak bağımsız olduğundan doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem olarak görülebilir.
4.9.10.1. Viznachennya. Vektör sisteminin sıralaması
doğrusal uzay 
sistemin doğrusal bağımsız vektörlerinin maksimum sayısı denir. Vektör sistemi sıralaması 
olarak ifade edildi 
.
Saygı. Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsız olduğundan sıralaması sistemdeki vektörlerin sayısına eşittir.
Doğrusal uzaydaki vektörler sisteminin rütbesi ile matrisin rütbesi arasındaki bağlantıyı gösteren bir teorem formüle edelim.
4.9.10.2. Teorem. (Vektör sisteminin doğrusal uzaydaki sırası hakkında)
Doğrusal uzaydaki vektörler sisteminin sıralaması, satırların doğrusal uzayın her tabanındaki vektörlerin koordinatları olduğu matrisin sıralamasına eşittir.
Onay olmadan.
Nasledok.
Doğrusal bir uzaydaki vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımsız olabilmesi için, matrisin rütbesinin veya herhangi bir bazdaki vektörlerin koordinatlarının satır veya satırlarının sayısına ek olarak bulunması gerekli ve yeterlidir. sistemin vektörleri.
Kanıt ortada.
4.9.10.3. Teorem (Doğrusal kabuğun boyutu hakkında).
Vektörlerin doğrusal zarfının boyutları 
doğrusal uzay 
vektör sisteminin önceki sıralaması:
Onay olmadan.
Satırlar ve yığınlar matris nasıl olduğunu görebilirsin matris satırları ve açıkçası, matrisler. Bu nedenle, diğer matrislerin yanı sıra bunların üzerinde de bir kişi oluşturulabilir. doğrusal işlemler. Katlama işlemindeki fark, satırların (yığınların) aynı değerde (yükseklikte) olması, ancak aynı matrisin satırları (yığınları) için her zaman aynı olmasıdır.
Satırlar (yığınlar) üzerindeki doğrusal işlemler, ifadeler biçiminde satırlar (yığınlar) oluşturmayı mümkün kılar α 1 a 1 + ... + α sas , burada 1 , ..., as - yeterli bir satır kümesi (yığınlar) aynı yükseklikte (yükseklik) ve α 1, ..., α s gerçek sayılardır. Bunlara ifade türleri denir. satırların doğrusal kombinasyonları (stowpts).
Değer 12.3. Satırlar (stovpts) a 1, ..., a s denir Doğrusal bağımsız, kıskançlık gibi
α 1 a 1 + ... + α s a s = 0, (12.1)
burada sağ taraftaki 0 bir sıfır satırıdır (soba), belki sadece α 1 = ... = = 0 olarak. Aksi takdirde, eğer α 1 , ... , α s gibi aktif sayılar varsa bunlar eşit değildir sıfıra aynı anda eşitlikler (12.1) sonuçlandırılır ve bu satırlara (satırlara) denir. doğrusal yalan.
Sertleşmenin başlaması doğrusal yerleşim için bir kriter olarak bilinir.
Teorem 12.3. Satırlar (çiftler) a 1, ..., a s, s > 1, o zaman doğrusal olarak uzanırlar ve yalnızca bunlardan biri (biri) diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu ise.
◄ İspat satırlar için yapılır ve sütunlar için de benzerdir.
Gereklilik. A 1, ... satırları doğrusal olduğundan, 12.3 değerlerine göre, aynı anda sıfıra eşit olmayan aktif sayılar α 1, ..., α s vardır, yani α 1 a 1 +... + α sas = 0. Viberemo sıfır olmayan katsayı αα i. Şarkı söylemek için α1 olsun. O zaman α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)as і, sonra a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s / α 1) olarak, tobto. a 1 satırı diğer satırların doğrusal birleşimi olarak temsil edilir.
Yeterlilik. Örneğin a 1 = λ 2 a 2 + ... + S a s olsun. O halde 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s) a s = 0. O halde önceki birimlerin doğrusal birleşiminin birinci katsayısı. vin sıfır değildir. 12,3'e genişletildi, a 1, ..., a s satırları doğrusal olarak.
Teorem 12.4. a 1 , ..., a s satırlarının (yığınlarının) doğrusal olarak bağımsız olmasına izin verin, ancak b 1 ,..., b l satırlarından (yığınlarından) birinin bunların doğrusal birleşimi olmasını istiyorsunuz. O zaman tüm satırlar (stovpts) a 1, ..., a s, b 1, ..., b l doğrusal birikintilerdir.
◄ Örneğin b 1, a 1, ..., a s'nin doğrusal birleşimidir. b1 = ? Bu doğrusal kombinasyona kadar, sıfır katsayılı satırlar (yığınlar) b 2 , ..., bl (l > 1 için) eklenir: b 1 = α 1 a 1 + ... + α sas + 0b 2 + .. + 0b l. Teorem 12.3'e göre genişletildiğinde, satırlar (stovpts) a 1, ..., a s, b 1, ..., b i doğrusal birikintilerdir.
bazı sayılar (bazı sayılar veya hepsi sıfıra eşit olabilir). Bu, argümanların unsurları arasında yaklaşmakta olan kıskançlıkların varlığı anlamına gelir:
veya .
Z (3.3.1) titreşir, dolayısıyla
|
(3.3.2) |
de – sıfır satır.
Viznachennya. Matrisin satırları doğrusal olarak yerleştirilmiştir, böylece bu tür sayıların hepsinin aynı anda sıfıra eşit olmadığı bulunabilir.
|
(3.3.3) |
Eşitlik (3.3.3) adil ise satırlara doğrusal bağımsız denir. İlişki (3.3.2), satırlardan birinin diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu gösterir.
Çizmek ve döndürmek kolaydır: Satırlar doğrusal olarak yerleştirildiğinden, diğer sıraların doğrusal bir kombinasyonu olacak bir satır olacaktır.
Örneğin (3.3.3)'te onu bırakın. 
.
Viznachennya. Hadi matrise gidelim ve sen küçük bir çocuk gördün R inci sıra ve küçük izin ver ( R Matrisin +1)-inci mertebesi ve tamamı minördür. Bu durumda minörün minör için eğik olduğunu (ya da minör için eğik olduğunu) söyleyeceğiz.
Şimdi önemli lemayı anlatacağız.
Lemmapopüler küçükler hakkında. Yakshcho küçük düzeni R Matris A = Vidmіnniy VID sıfır ve tüm Minori, ogo Oblyamovo, ryvni sıfır, sonra bir satır (Stovpets) matrisi a є kombіnatsіyu ї ї ї ї ї ї Rukiv (Stovptziv), pusk.
Kanıt. Cıvanın yumuşaklığını bozmadan sıfır minör formunda olması önemlidir. R Üçüncü derece A = matrisinin sol üst köşesinde bulunur:
.
İlk k için Lemy tarafından onaylanan A matrisinin satırı açıktır: katsayıları bire eşit olan bu satırı ve katsayıları sıfıra eşit olan satırı doğrusal bir kombinasyona dahil etmek yeterlidir.
Şimdi A matrisinin diğer satırlarının ilk satırlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini kanıtlayalım. k satırlar. Kimin için küçükleri unutacağız ( R +1) yol sırası minöre eklenir k. satır () ta ben-th stovptsya():
.
Hepsi için minörü sıfırdan çıkarın k ve ben . Aslına bakılırsa iki yeni nokta arasında hiçbir fark yok. Nitekim minörün ve oblik minörün çıkarılması ve dolayısıyla akıl arkasında sıfıra eşit olur.
Küçük olanı geri kalanın unsurlarından sonra yerleştirelimben-th stovptsya:
|
(3.3.4) |
elemanlara cebirsel ekleme. Cebirin eklenmesi küçük matris A'dır, yani. (3.3.4) ile bölünebilir ve şununla ifade edilebilir:
|
(3.3.5) |
de .
Saygılarımızla reddediyoruz:
|
|
(3.3.6) |
Viraz (3.3.6) şu anlama gelir: k A matrisinin -inci satırı ilk satırlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir r satırlar.
Küçüklerin değerlerinin aktarılan matrisinin parçaları değişmiyor (milletvekillerinin gücüyle), her şey sadıklar tarafından adil bir şekilde açıklanıyor. Teorem kanıtlandı.
Naslıdok I . Bir matrisin herhangi bir satırı (satırı), temel satırların (satırların) doğrusal bir birleşimidir. Evet, matrisin minör tabanı sıfıra eşittir ve onu tanımlayan tüm minörler sıfıra eşittir.
Naslıdok II. İkincil lider n -th sipariş ve sonra sıfıra eşit, böylece doğrusal satırlar (yığınlar) yerleştirebilirsiniz. Orijinin sıfıra eşitliği için satırların (sovpts) doğrusal konumunun yeterliliği daha önce orijinlerin kuvveti olarak belirtilmişti.
Hadi gündeme getirelim. Bir kare matris verilsin N -th dereceden, herhangi bir göreceli sıfır yıldızın birleşik küçük değeri, matrisin sırası daha düşük olduğunda gözlenir N , Daha sonra. Bu matrisin temel satırlarının doğrusal birleşimi olan bir satır bulmak istiyorum.
Matrisin rütbesine ilişkin başka bir teoremi ispatlayalım.
Teorem.Bir matrisin maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız satır sayısına ve bu matrisin rütbesine eşittir.
Kanıt. Matrisin rütbesi A = daha eski olsun R. Her iki durumda da її k Temel seriler doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde temel küçük sıfıra eşittir. Öte yandan, olsun R +1 ve doğrusal olarak daha fazla satır yerleştirin. Kabul edilemez olanı kabul etmiş olsaydık, bundan daha küçük bir büyüklük mertebesini bilebilirdik. R , 2 ön kenarın arkasından sıfırdan düzenlenmiştir. Sıfırdan ikame edilebilecek maksimum küçükler sırasının eski olduğu unutulmamalıdır. R . Rütbeler ve üyeler için her şey adil hale getirildi.
Son olarak bir matrisin rütbesini bulmanın bir yolunu daha sunuyoruz. Bir matrisin derecesi, sıfırdan çıkarılan maksimum mertebenin küçüklüğünün bilinmesiyle hesaplanabilir.
İlk bakışta bu, matrisin en azından bir finalinin veya belki de çok sayıda minörünün hesaplanmasını akla getiriyor.
Ancak bir sonraki teorem bu derecede basitleştirmeye izin verir.
Teorem.A matrisinin minörü sıfıra eşitse ve içerdiği tüm minörler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi şuna eşittir: R.
Kanıt. Matris satırlarının bir alt sisteminin ne olduğunu gösterelim. S>r Doğrusal bağımsızlık teorisinin akıllarında yer alacaktır (r'nin matristeki doğrusal bağımsız satırların maksimum sayısı olduğu veya büyüklük düzeyinden daha büyük olan minörlerin olduğu bakış açısına göre) k'dan sıfıra).
Kabul etmeyelim. Satırlar doğrusal bağımsız olsun. Yok edilmeye tabi olan küçükler hakkındaki tartışmaya göre, bunların dış görünümleri, içinde bir minörün bulunduğu satırlar ve sıfıra tabi olanlara atıfta bulunanlar, doğrusal olarak bağımsız olan satırlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilecektir:
|
|
(3.3.7) |
Doğrusal virüslerin katsayıları matrisine bakalım (3.3.7):
.
Bu matrisin satırları anlamlıdır 
. O halde bunlar doğrusal birikintiler, matris sıralamasının parçaları olacak. taşmayan maksimum doğrusal bağımsız satır miktarı R<
S
. Bu nedenle, tamamı sıfıra eşit olmayan ancak
Bileşenlerin eşitliğine geçelim
|
(3.3.8) |
Şimdi bir sonraki doğrusal kombinasyona bakalım:
ya da başka
Mxn boyutunda oldukça kare bir matrise bakalım.
Matris sıralaması.
Matris sırası kavramı, matrisin satırlarının (satırlarının) doğrusal konumu (bağımsızlığı) kavramıyla ilgilidir. Satır kavramına bakalım. Stovtlar için - benzer şekilde.
Önemli ölçüde A matrisinin drenajları:
e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 =(a 21,a 22,...,a 2n);..., e m =(a m1,a m2,...,a mn)
e k =e s burada a kj =a sj , j=1,2,…,n
Matrisin satırlarındaki aritmetik işlemler (katlama, bir sayıyla çarpma), eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtılır: λе k =(λ k1 ,λ k2 ,…,λ kn);
e k +е s = [(k1 + a s1), (a k2 + a s2), ..., (a kn + a sn)].
Satır denir doğrusal kombinasyon satır e 1, e 2,..., ek, çünkü bu satırların aynı sayıda günde yaratılmasının benzer toplamları vardır:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
e 1, e 2,…, em satırlarına denir doğrusal yalan, aktif sayılar olduğundan λ 1 , λ 2 ,…, λ m , hepsi sıfıra eşit değildir, dolayısıyla bu satırların doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşittir: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ m e m = 0 de 0 =(0,0,…,0) (1)
Doğrusal bir kombinasyon sıfıra eşit olduğundan ve ancak o zaman, tüm λ i katsayıları sıfıra eşitse (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), o zaman e 1, e 2,…, e m satırları çağrılır Doğrusal bağımsız.
Teorem 1. e 1 e 2, ..., e m satırlarının doğrusal olarak yerleştirilmesi için bu satırlardan birinin diğer satırların doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt. gereklilik. E 1, e 2, ..., em satırlarını doğrusal birikintiler halinde bırakın. Haydi, önem uğruna (1) λm ≠0 ise
Dahil. Satır, diğer satırların doğrusal birleşimidir. Vesaire.
Kullanılabilirlik. Örneğin satırlardan birini diğer satırların doğrusal kombinasyonuyla birleştirin. O zaman bakış açısından yeniden yazılabilecek kıskançlığa eşit sayılar olacak,
katsayılardan biri (-1) sıfıra eşit olmasa da. Tobto. Satırlar doğrusal olarak döşenir. Vesaire.
Viznachennya. Küçük k'inci sıra mxn boyutunda bir matris, A matrisinin herhangi bir k satırının ve herhangi bir k sütununun çaprazında yer alan elemanlara sahip, k'inci dereceden bir ebeveyn olarak adlandırılır. (k≤min(m,n)). .
popo., Minori 1. derece: =, =;
minör 2. derece: , 3. derece
3. dereceden bir matris, 1. dereceden 9 minör, 2. dereceden 9 minör ve 3. dereceden 1 minör içerir (bu matrisin kökeni).
Viznachennya. A matrisinin sırası Matrisin sıfır ikameli minörlerinin en yüksek mertebesine denir. Tanım – rg A veya r(A).
Matrisin rütbesine kadar güç.
1) A nxm matrisinin rütbesi daha küçük boyuttan seçilir, o zaman.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0 eğer matrisin tüm elemanları 0'a eşitse o zaman. bir = 0.
3) n'inci dereceden bir kare matris A için, eğer A virojen değilse, r(A) = n.
(Köşegen bir matrisin sırası, sıfır olmayan köşegen elemanların sayısıyla aynıdır).
4) Matrisin rütbesi r'ye eşitse, o zaman matris, sıfıra eşit olmayan r dereceli bir minöre sahip olabilir ve büyük dereceli tüm minörler sıfıra eşittir.
Matris sıralamaları için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);
5) r(AB)=r(A), ki bu bir kare viral olmayan matristir.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, burada n, A matrisinin veya matrisin satır sayısıdır.
Viznachennya. r(A) mertebesinden sıfır olmayan bir minör denir temel yan dal. (Matris A'da bir dizi temel küçük öğe bulunabilir). Çapraz çubukta temel bir minörün bulunduğu satırlar ve sütunlar ikincil olarak çağrılır temel satırlarі temel prensipler.
Teorem 2 (temel minör hakkında). Temel satırlar (satırlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Herhangi bir satır (herhangi bir satır) matrisi A, temel satırların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.
Kanıt. (Satırlar için). Temel satırlar doğrusal olarak ayrı olsaydı, o zaman teorem (1)'e göre bu satırlardan biri diğer temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olurdu, o zaman temel minörün değerini değiştirmeden bu satırdan doğrusal bir kombinasyon türetilebilir: atanır ve sıfır satırı kaldırılır ve bu, temel minörün sıfırdan farklı olduğu anlamına gelir. Dahil. Temel satırlar doğrusal olarak bağımsızdır.
Matrisin herhangi bir satırının temel satırların doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. Çünkü Satırlarda (sovpts) yeterli değişiklik olduğunda, yaratıcı eşitliğin gücünü sıfıra kadar korur, ardından güce müdahale etmeden, temel minörün matrisin sol üst köşesinde bulunduğunu hesaba katabilirsiniz.
bir=, tobto. ilk sıralarda ve ilk sıralarda büyüme. 1 £ j £ n, 1 £ i £ m olsun. Birincil değişkenin (r+1)'inci dereceden olduğunu gösterelim.
Ya j£r ya da i£r, bu değişken sıfıra eşittir çünkü Bunun iki yeni sütunu veya iki yeni satırı olacak.
j>r ve i>r olduğundan, bu birincil A matrisinin (r+1)'inci mertebesinden bir minördür. Çünkü Matrisin sırası r'ye eşittir ve daha yüksek dereceden herhangi bir küçük, 0'a eşittir.
Kalan (eklenen) yığının öğelerinin arkasına yerleştirerek onu kaldırabiliriz.
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, burada kalan cebirsel tamamlayıcı A ij'den küçük M r bazıyla kaçınılır ve dolayısıyla A ij = M r ≠0.
Geriye kalan elemanı A ij'ye böldükten sonra, a ij elemanını doğrusal bir kombinasyon olarak ifade edebiliriz: , de .
i (i>r) değeri sabittir ve herhangi bir j (j=1,2,…,n) için i'inci satır ei'nin elemanlarının e 1 satırlarının elemanları aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği çıkarımı yapılabilir, e 2,…, e r, t.tobto. İ'inci satır, temel satırların doğrusal bir birleşimidir: . Vesaire.
Teorem 3. (Ortak değişkenin sıfırına yeterli düzeyde zihinsel eşitlik gereklidir). N'inci derece D'nin orijininin sıfıra eşit olması için satırın (satırın) doğrusal olarak yatırılması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt (s.40). gereklilik. N'inci derece D sıfıra eşitse, matrisin küçük tabanı r düzeyindedir. Dahil olmak üzere, bir satır diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir. Teorem 1'e göre orijinin satırları doğrusaldır. Kullanılabilirlik. D satırları doğrusal olarak yerleştirildiğinden, teoreme göre bir satır Ai, diğer satırların doğrusal bir birleşimidir. A i satırının kaldırılmasıyla doğrusal bir kombinasyon atanır, D'nin değeri değiştirilmeden sıfır satırı kaldırılır. Peki milletvekillerinin yetkilerinin arkasında D=0. vesaire. Teorem 4. Temel dönüşümler sırasında matrisin sırası değişir. Kanıt. Birincil işaretlerin kuvvetleri incelenirken gösterildiği gibi, kare matrisler dönüştürüldüğünde birincil değişkenleri ya değişir ya da sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır ya da işaret değişir. Bu durumda, çıktı matrisinin sıfır tabanlı küçüklerinin en yüksek sırası korunur. Matrisin rütbesi değişmez. Vesaire. Eğer r(A)=r(B), o zaman i B – eşdeğer: A~B. Teorem 5. Temel dönüşümlerin yardımıyla matrisi şu şekilde ayarlayabilirsiniz: Adım adım bakıyorum. Matris denir adım adım göründüğü gibi: A=, de a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Umovi r≤k'ye aktarımlarla ulaşılabilir. Teorem 6. Adım frekansı matrisinin sırası sıfır olmayan satırların sayısıdır .
Tobto. Adım matrisinin sıralaması daha eskidir çünkü є sıfır minörün r sırasına göre değiştirilmesi: bazı sayılar (bazı sayılar veya hepsi sıfıra eşit olabilir). Bu, argümanların unsurları arasında yaklaşmakta olan kıskançlıkların varlığı anlamına gelir: Z (3.3.1) titreşir, dolayısıyla Eşitlik (3.3.3) adil ise satırlara doğrusal bağımsız denir. İlişki (3.3.2), satırlardan birinin diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu gösterir. Çizmek ve döndürmek kolaydır: Satırlar doğrusal olarak yerleştirildiğinden, diğer sıraların doğrusal bir kombinasyonu olacak bir satır olacaktır. Örneğin (3.3.3)'te onu bırakın. Viznachennya. Görüşün A matrisinin r'inci dereceden herhangi bir minörü olsun ve bu matrisin (r+1)'inci dereceden küçükünün bir minörü olsun. Bu durumda minörün minör için eğik olduğunu (ya da minör için eğik olduğunu) söyleyeceğiz. Şimdi önemli lemayı anlatacağız. Lemma popüler küçükler hakkında. A matrisinin r mertebesindeki küçük değeri sıfırın farklı bir biçimi olduğundan ve içerdiği tüm küçük sayılar sıfıra eşit olduğundan, A matrisinin herhangi bir satırı (satırı), satırlarının (satırlarının) doğrusal bir birleşimidir. ptsіv), ne kurulmalı. Kanıt. Birleşmenin gücünü bozmadan, r'inci dereceden sıfır minörün anlamlı değerinin A = matrisinin sol üst köşesinde durması önemlidir: A matrisinin ilk k satırı için şu açıktır: katsayıları bire eşit olan bu satırı ve katsayıları sıfıra eşit olan diğer satırları içerecek şekilde doğrusal bir kombinasyon ekleyin. Şimdi A matrisinin diğer satırlarının ilk k satır aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini kanıtlayalım. Bu amaçla k'inci satırın () minörüne küçük (r+1)'inci sıra eklenecek ve ben-th stovptsya(): Tüm k ve l'ler için minörü sıfıra çıkarın. Aslına bakılırsa iki yeni nokta arasında hiçbir fark yok. Nitekim minörün ve oblik minörün çıkarılması ve dolayısıyla akıl arkasında sıfıra eşit olur. Küçük olanı geri kalanın unsurlarından sonra yerleştirelim ben-th stovptsya: Saygılarımızla reddediyoruz: Viraz (3.3.6), A matrisinin k satırının ilk r satır aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği anlamına gelir. Küçüklerin değerlerinin aktarılan matrisinin parçaları değişmiyor (milletvekillerinin gücüyle), her şey sadıklar tarafından adil bir şekilde açıklanıyor. Teorem kanıtlandı. Ardıllık I. Bir matrisin herhangi bir satırı (satırı), temel satırların (satırların) doğrusal bir birleşimidir. Evet, matrisin minör tabanı sıfıra eşittir ve onu tanımlayan tüm minörler sıfıra eşittir. Nasledok II. N'inci derecenin orijini de sıfıra eşittir, dolayısıyla doğrusal satırlar (yığınlar) yerleştirmek mümkündür. Orijinin sıfıra eşitliği için satırların (sovpts) doğrusal konumunun yeterliliği daha önce orijinlerin kuvveti olarak belirtilmişti. Hadi gündeme getirelim. Bize bir minörü sıfıra eşit olan n'inci dereceden bir kare matris verilsin. O halde yıldız, matrisin rütbesinin n'den küçük olduğunu gösterir. Bu matrisin temel satırlarının doğrusal birleşimi olan bir satır bulmak istiyorum. Matrisin rütbesine ilişkin başka bir teoremi ispatlayalım. Teorem. Bir matrisin maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız satır sayısına ve bu matrisin rütbesine eşittir. Kanıt. Matrisin rütbesi A = eski r olsun. O zaman taban satırları doğrusal olarak bağımsızdır, aksi halde taban minör sıfıra eşittir. Diğer tarafta r+1 ve daha fazla satır olsun doğrusal olarak uzansın. Kabul edilemez olanı varsayarak, ardışık 2 ön alanın arkasında sıfırın yerine ikame edilen, alt r'den daha büyük bir büyüklük mertebesinde bir minör bulabiliriz. Sıfırdan ikame edilen küçüklerin maksimum sırasının r'den daha eski olduğuna dikkat edilmelidir. Rütbeler ve üyeler için her şey adil hale getirildi. Son olarak bir matrisin rütbesini bulmanın bir yolunu daha sunuyoruz. Bir matrisin derecesi, sıfırdan çıkarılan maksimum mertebenin küçüklüğünün bilinmesiyle hesaplanabilir. İlk bakışta bu, matrisin en azından bir finalinin veya belki de çok sayıda minörünün hesaplanmasını akla getiriyor. Ancak bir sonraki teorem bu derecede basitleştirmeye izin verir. Teorem. A matrisinin minörü sıfıra eşitse ve içerdiği tüm minörler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi r'ye eşittir. Kanıt. S>r'deki bir matrisin satırlarının herhangi bir alt sisteminin, teoremin akıllarında doğrusal olarak bağımsız olacağını göstermek mümkündür (r'nin, bir matrisin maksimum doğrusal olarak bağımsız satır sayısı veya ne olursa olsun olduğu bakış açısından). küçük sıra daha düşük k sıfıra ulaşır). Kabul etmeyelim. Satırlar doğrusal bağımsız olsun. Yok edilmeye tabi olan küçükler hakkındaki tartışmaya göre, bunların dış görünümleri, içinde bir minörün bulunduğu satırlar ve sıfıra tabi olanlara atıfta bulunanlar, doğrusal olarak bağımsız olan satırlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilecektir: Şimdi bir sonraki doğrusal kombinasyona bakalım: Vikoristovuyuchi (3.3.7) ve (3.3.8), elendi Dikkat edilmesi gereken önemli nokta satırların doğrusal bağımsızlığıdır. Varsayımımız yanlıştır ve teoremin zihinlerindeki satırlar doğrusaldır. Teorem kanıtlandı. Bir matrisin rütbesini hesaplama kuralına, bu teoremi temel alan eğik küçüklerin yöntemine bakalım. Matrisin sırasını hesaplarken, izler düşük dereceli küçüklerden yüksek dereceli küçüklere doğru gider. Sıfır hariç, r'inci dereceden bir minör bulunmuşsa, minörü tamamlamak için (r+1)'inci dereceden minörleri hesaplamak gerekir. Sıfıra eşitlerse, matrisin sırası r'ye eşittir. Bu yöntem karmaşıktır çünkü yalnızca matrisin sırasını hesaplamakla kalmıyoruz, aynı zamanda sütunların (satırların) matrisin küçük tabanını nasıl topladığını da belirliyoruz. popo. Küçükleri çerçeveleme yöntemini kullanarak matrisin sırasını hesaplayın Karar. A matrisinin sol üst köşesinde bulunan farklı mertebeden küçük, sıfırdan alt bölümlere ayrılır: Tercih edilen üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşit olarak koruyun: Ayrıca A matrisinin rütbesi iki yönlüdür: . Bu matrisin birinci ve diğer satırları, birinci ve diğer sütunları temeldir. Diğer satırlar ve bunların doğrusal kombinasyonları. Adil hücum eşitliği safları için doğru: Son olarak, bu tür otoritelerin adaleti önemlidir: 1) ek matrisin sıralaması cilt ve apselerin sıralamasından büyük değildir; 2) sağdaki ek matris A'nın veya üretilmemiş kare matris Q'nun sıralaması, A matrisinin sıralamasına eşittir. Zengin üyeli matrisler Viznachennya. Çok terimli bir matris veya bir -matris, elemanları sayısal katsayılarla bir değişimin çok terimli olanları olan dikdörtgen bir matristir. Temel dönüşümler -matrisler üzerinde yapılabilir. Onlar için açıktır: İki sıranın yeniden düzenlenmesi (stovpts); Satır sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır; Herhangi bir zengin terimle çarpılarak başka bir satırın (stovptsya) bir satırına (stovptsya) yapılan ekleme. Aynı boyuttaki iki matrise eşdeğer denir: bir matristen diğerine, ek bir nihai temel dönüşüm sayısına ilerlemek mümkündür. popo. Denklik matrisini getirin 1. Matristeki birinci ve ikinci sütunların yerlerini değiştirin: 2. Başka bir satırda, () ile çarptığımız ilk satırı görebiliriz: 3. Diğer satırı (–1) ile çarpın ve saygıyla, 4. Başka bir bölümden birincisi ile çarpılarak çıkarılır Kesinlikle her şey - bu boyutların matrisi değişmeyen sınıflara, eşdeğer matrislere bölünmüştür. Birbirine eşdeğer olan matrisler bir sınıf oluşturur, eşdeğer olmayan matrisler ise başka bir sınıf oluşturur. Eşdeğer matrislerin deri sınıfı, bu boyutların kanonik veya normal bir matrisi ile karakterize edilir. Viznachennya. Kanonik veya normal bir boyut matrisi, ana köşegeni p - m ve n sayılarından daha az olan birçok terim içeren bir matristir ( Polinomların ortasının sıfır dereceli polinomlar olduğuna ve hepsinin baş köşegeninin başlangıcında olduğuna dikkat etmek önemlidir. Sıfırlar olduğu için hepsi baş köşegeninin ucunda duruyor. Ön poponun matrisi kanoniktir. Matris aynı zamanda kanonik. O zaman deri sınıfı matrisinin yerini tek bir kanonik matris alır. Cilt matrisi, bu matrisin kanonik formu veya normal formu olarak adlandırılan tek bir kanonik matrise eşdeğerdir. Belirli bir matrisin kanonik formunun baş köşegeninde yer alan terimlere bu matrisin değişmez çarpanları denir. Değişmez çarpanları hesaplama yöntemlerinden biri, verilen matrisi kanonik forma indirger. Böylece, değişmez çarpanlara sahip ön uç matrisi için Yukarıda söylenenlerden, bir ve aynı değişmez çarpanlar kümesinin tezahürü, gerekli ve yeterli bir zihinsel eşdeğerlik matrisidir. İndirgenmiş matris, değişmez çarpanlar atanarak kanonik forma indirgenir burada r – sıralı matrisler; - 1'e eşit olan büyükler katsayısından alınan, k'inci dereceden reşit olmayanlara en büyük katkıyı yapan kişi. popo. Verilmesine izin verin - matris Karar. Tabii ki, ilk perdenin maksimum süresi o zaman. . Farklı bir düzenin önemli ölçüde küçükleri: Zaten para kazanmasına yetecek kadar haraç var: , o zaman, . Anlamlı bir şekilde Otje, Bu sırayla, bu matrisin kanonik formu matristir: Matris çoklu üyeye viraz formu denir de – değişiklik; - Sayısal elemanlarla n mertebesinden kare matrisler. S, matris çoklu terim derecesi olarak adlandırıldığından, n, matris çoklu terimin mertebesidir. Bir matris ikinci dereceden olsun, bir matris polinomu olabilir. O halde adil, akıllıca ve sağlam bir şekilde kurulmuş. Herhangi bir matris terimi kare matris biçiminde mümkündür. Bu iddiaların geçerliliği, işlemin matrisler üzerindeki gücünden açıkça anlaşılmaktadır. Aşağıdaki izmaritlere takıldım: popo. Zengin bir matris gönderin matris açısından zengin üyenin görüşünde bir sonraki aşamada mümkündür popo. Matris açısından zengin terim basit, zengin tanımlanmış bir matris (-matris) biçiminde temsil edilebilir Matris üyelerinin ve çok üyeli matrisin bu birbirinin yerine geçebilirliği, faktör ve bileşen analizi yöntemlerinin matematiksel düzeneğinde önemli bir rol oynar. Aynı mertebedeki matris terimleri, sayısal katsayılı standart terimlerle aynı şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Kayma, korunma, bellek, yani matris açısından zengin üyelerin çarpılması, vzagali, değişmeli değil, çünkü değişmeli olmayan çarpma matrisi. İki matris polinomuna katsayıları eşit olduğundan eşit denir. aynı değişim seviyelerinde farklı matrisler. İki matriks açısından zengin üyenin toplamı (sonuç), öyle bir matriks açısından zengin üyedir ki, kutanöz değişim seviyesindeki katsayı, zengin üyeler i'de aynı seviyedeki katsayıların toplamına (şiddetine) eşittir. Matrisi matrisle çarpmak için, matrisin kaplamasını matrisin kaplamasıyla çarpmanız, kıvrımları kaldırmanız ve benzer üyeler oluşturmanız gerekir. Matris açısından zengin üyenin aşaması - ortakların aşamalarının daha az veya daha fazla eşit miktarını oluşturur. Matris terimlerindeki işlemleri benzer matrisler üzerindeki ek işlemler izleyebilir. Matris elemanlarını katlamak (kaldırmak) için destekleyici matrisleri yeterince bükün (yükseltin). Aynı şey çarpma işleminde de geçerli. -matris açısından zengin terimlerin eklenmesi matrisi aynı düzendedir -sentez matrisi. Öte yandan, bir bakışta yazabilirsiniz de U 0 viral olmayan bir matristir. Mülkiyetin bölünmesinde mahremiyet hakkı ve hak fazlası açıkça vurgulanır de stage R 1 daha az aşama veya (fazla olmadan bölünmüş), ayrıca soldaki ve soldaki fazlalık todi ve sadece todi, eğer sırayla
.
.
. 
(3.3.6)
ya da başka
,
. 
;
;
;
;
;
.
,
.
.
.
.
.
) ve 1'e eşit olan daha yüksek katsayılar sıfıra eşit değildir ve bir sonraki zengin terim öndeki terime bölünür. Baş köşegeninin pozunun tüm elemanları 0'a eşittir.
, ; ,
. 
,
vesaire.
,
.
.
.
. 
