Zgjidhja e pabarazive eksponenciale duke prezantuar një të panjohur të re. Zgjidhja e pabarazive eksponenciale: metodat themelore. Mësimi dhe prezantimi me temë: "Ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë eksponenciale"
Në këtë mësim, ne do të shohim pabarazitë e ndryshme eksponenciale dhe do të mësojmë si t'i zgjidhim ato bazuar në metodologjinë për zgjidhjen e pabarazive më të thjeshta eksponenciale
1. Përkufizimi dhe vetitë e funksionit eksponencial
Le të kujtojmë përkufizimin dhe vetitë themelore të funksionit eksponencial. Onshtë në vetitë që zgjidhja e të gjitha ekuacioneve eksponenciale dhe pabarazive bazohet.
Funksioni eksponencial - është një funksion i formës, ku baza e shkallës dhe Këtu x është një ndryshore e pavarur, një argument; y - funksioni i ndryshores së varur.
Figura: 1. Grafiku i funksionit eksponencial
Grafiku tregon eksponentë në rritje dhe zvogëlim, duke ilustruar funksionin eksponencial kur baza është përkatësisht më e madhe se një dhe më pak se një, por më e madhe se zero.
Të dy kthesat kalojnë përmes pikës (0; 1)
Karakteristikat e funksionit eksponencial:
Fusha:
Diapazoni i vlerave :;
Funksioni është monotonik, pasi rritet, ndërsa zvogëlohet.
Një funksion monoton merr secilën prej vlerave të tij për një vlerë të vetme argumenti.
Kur, kur argumenti rritet nga minus në plus pafundësi, funksioni rritet nga zero, jo përfshirëse, në plus pafundësi, domethënë, për vlerat e dhëna të argumentit, ne kemi një funksion në rritje monotonike (). Përkundrazi, kur argumenti rritet nga minus në plus pafundësi, funksioni zvogëlohet nga pafundësia në zero, jo përfshirëse, domethënë, për vlerat e dhëna të argumentit, kemi një funksion monotonikisht në ulje ()
2. Pabarazitë më të thjeshta eksponenciale, teknika e zgjidhjes, shembulli
Bazuar në sa më sipër, ne paraqesim një teknikë për zgjidhjen e pabarazive më të thjeshta eksponenciale:
Metodologjia për zgjidhjen e pabarazive:
Barazoni bazat e gradave;
Krahasoni treguesit, duke mbajtur ose ndryshuar në shenjën e kundërt të pabarazisë.
Zgjidhja e pabarazive eksponenciale komplekse konsiston, si rregull, në zvogëlimin e tyre në pabarazitë më të thjeshta eksponenciale.
Baza e shkallës është më e madhe se një, që do të thotë se shenja e pabarazisë mbetet:
Ne transformojmë anën e djathtë në përputhje me vetitë e shkallës:
Baza e shkallës është më pak se një, shenja e pabarazisë duhet të ndryshohet në të kundërtën:
Për të zgjidhur pabarazinë kuadratike, ne do të zgjidhim ekuacionin përkatës kuadratik:
Sipas teoremës së Vietës, ne i gjejmë rrënjët:
Degët e parabolës drejtohen lart.
Kështu, ne kemi një zgjidhje për pabarazinë:
Easyshtë e lehtë të mendosh se ana e djathtë mund të përfaqësohet si një fuqi me një eksponent zero:
Baza e shkallës është më e madhe se një, shenja e pabarazisë nuk ndryshon, ne marrim:
Le të kujtojmë teknikën për zgjidhjen e pabarazive të tilla.
Merrni parasysh një funksion racional fraksional:
Gjeni domenin e përkufizimit:
Gjeni rrënjët e funksionit:
Funksioni ka një rrënjë të vetme, 
Ne zgjedhim intervalet e shenjës konstante dhe përcaktojmë shenjat e funksionit në secilin interval:
Figura: 2. Intervalet e qëndrueshmërisë
Kështu që morëm përgjigjen.
Përgjigje: 
3. Zgjidhja e pabarazive tipike eksponenciale
Merrni parasysh pabarazitë me të njëjtët tregues, por baza të ndryshme.
Një nga vetitë e një funksioni eksponencial është se ai merr vlera në mënyrë rigoroze pozitive për çdo vlerë të argumentit, që do të thotë se mund të ndahet në një funksion eksponencial. Le ta ndajmë pabarazinë e dhënë nga ana e saj e djathtë:
Baza e shkallës është më e madhe se një, shenja e pabarazisë mbetet.
Le ta ilustrojmë zgjidhjen:
Figura 6.3 tregon grafikët e funksioneve dhe. Padyshim, kur argumenti është më i madh se zero, grafiku i funksionit është më i lartë, ky funksion është më i madh. Kur vlerat e argumentit janë negative, funksioni shkon më poshtë, ai është më i vogël. Kur vlera e argumentit, funksionet janë të barabarta, që do të thotë se kjo pikë është gjithashtu një zgjidhje për pabarazinë e dhënë.
Figura: 3. Ilustrimi për shembull 4
Ne e transformojmë pabarazinë e dhënë sipas vetive të shkallës:
Këtu janë terma të ngjashëm:
Le të ndajmë të dy pjesët në:
Tani ne vazhdojmë të zgjidhim në mënyrë të ngjashme me shembullin 4, ndajmë të dy pjesët në:
Baza e shkallës është më e madhe se një, shenja e pabarazisë mbetet:
4. Zgjidhja grafike e pabarazive eksponenciale
Shembulli 6 - Zgjidh pabarazinë në mënyrë grafike:
Le të shqyrtojmë funksionet në anët e majtë dhe të djathtë dhe të paraqesim një grafik të secilës prej tyre.
Funksioni është eksponencial, rritet në të gjithë fushën e tij të përkufizimit, domethënë, për të gjitha vlerat reale të argumentit.
Funksioni është linear, zvogëlohet në të gjithë fushën e tij të përkufizimit, domethënë, për të gjitha vlerat reale të argumentit.
Nëse këto funksione mbivendosen, domethënë, sistemi ka një zgjidhje, atëherë një zgjidhje e tillë është unike dhe mund të mendohet lehtë. Për ta bërë këtë, ne përsërisim mbi numrat e plotë ()
Easyshtë e lehtë të shohësh se rrënja e këtij sistemi është:
Kështu, grafikët e funksioneve kryqëzohen në një pikë me një argument të barabartë me një.
Tani duhet të marrim një përgjigje. Kuptimi i pabarazisë së dhënë është se eksponenti duhet të jetë më i madh ose i barabartë me funksionin linear, domethënë të jetë më i lartë ose të përkojë me të. Përgjigja e qartë është: (Figura 6.4)
Figura: 4. Ilustrimi për shembull 6
Pra, ne kemi konsideruar zgjidhjen e pabarazive të ndryshme tipike eksponenciale. Tjetra, kalojmë në shqyrtimin e pabarazive eksponenciale më komplekse.
Bibliografi
Mordkovich A.G. Algjebra dhe Parimet e Analizës Matematikore. - M.: Mnemosina. Muravin G.K., Muravina O.V. Algjebra dhe parimet e analizës matematikore. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algjebra dhe parimet e analizës matematikore. - M.: Edukimi.
Matematikë. md Matematikë-përsëritje. com Difur kemsu. ru
Detyre shtepie
1. Algjebra dhe fillimi i analizës, klasa 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;
2. Zgjidh pabarazinë:
3. Zgjidh pabarazinë.
Mësimi dhe prezantimi me temë: "Ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë eksponenciale"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, vlerësimet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Mjetet mësimore dhe simulatorët në dyqanin Integral në internet për klasën 11
Tutorial ndërveprues për klasat 9-11 "Trigonometria"
Tutorial ndërveprues për klasat 10-11 "Logaritmet"
Përcaktimi i ekuacioneve eksponenciale
Djema, ne studiuam funksionet eksponenciale, mësuam vetitë e tyre dhe ndërtuam grafikë, analizuam shembuj të ekuacioneve në të cilat u ndeshën funksionet eksponenciale. Sot do të studiojmë ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë.Përkufizimi. Ekuacionet e formës: $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, ku $ a\u003e 0 $, $ a ≠ 1 $ quhen ekuacione eksponenciale.
Duke kujtuar teoremat që kemi studiuar në temën "Funksioni eksponencial", ne mund të prezantojmë një teoremë të re:
Teorema. Ekuacioni eksponencial $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, ku $ a\u003e 0 $, $ a ≠ 1 $, është ekuivalent me ekuacionin $ f (x) \u003d g (x) $.
Shembuj të ekuacioneve eksponenciale
Shembull.Zgjidh ekuacionet:
a) $ 3 ^ (3x-3) \u003d 27 $.
b) $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) \u003d \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) $.
c) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) \u003d 5 ^ (- 3x + 18) $.
Vendimi.
a) Ne e dimë mirë që $ 27 \u003d 3 ^ 3 $.
Le të rishkruajmë ekuacionin tonë: $ 3 ^ (3x-3) \u003d 3 ^ 3 $.
Duke përdorur teoremën e mësipërme, marrim se ekuacioni ynë zvogëlohet në ekuacionin $ 3x-3 \u003d 3 $, duke zgjidhur këtë ekuacion, fitojmë $ x \u003d 2 $.
Përgjigje: $ x \u003d 2 $.
B) $ \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5)) $.
Atëherë ekuacioni ynë mund të rishkruhet: $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5) ) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0.2 \u003d 0.2 $.
$ x \u003d 0 $.
Përgjigje: $ x \u003d 0 $.
C) Ekuacioni origjinal është ekuivalent me ekuacionin: $ x ^ 2-6x \u003d -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 \u003d 0 $.
$ (x-6) (x + 3) \u003d 0 $.
$ x_1 \u003d 6 $ dhe $ x_2 \u003d -3 $.
Përgjigje: $ x_1 \u003d 6 $ dhe $ x_2 \u003d -3 $.
Shembull.
Zgjidh ekuacionin: $ \\ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\\ sqrt (4)) \u003d 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) $.
Vendimi:
Ne do të kryejmë në vazhdimësi një seri veprimesh dhe do t'i sjellim të dy anët e ekuacionit tonë në të njëjtat baza.
Le të kryejmë një seri operacionesh në anën e majtë:
1) $ ((0.25)) ^ (x-0.5) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0.5) $.
2) $ \\ sqrt (4) \u003d 4 ^ (\\ frac (1) (2)) $.
3) $ \\ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\\ sqrt (4)) \u003d \\ frac (((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ x) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ x $.
Le të kalojmë në anën e djathtë:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) $ 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) \u003d 4 ^ (2-2x-2) \u003d 4 ^ (- 2x ) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x)) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Ekuacioni origjinal është ekuivalent me ekuacionin:
$ ((\\ frac (1) (4))) ^ x \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x \u003d 2x $.
$ x \u003d 0 $.
Përgjigje: $ x \u003d 0 $.
Shembull.
Zgjidh ekuacionin: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 \u003d 0 $.
Vendimi:
Le të rishkruajmë ekuacionin tonë: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $.
Le të bëjmë ndryshimin e ndryshoreve, le të $ a \u003d 3 ^ x $.
Në ndryshoret e reja, ekuacioni do të marrë formën: $ a ^ 2 + 9a-36 \u003d 0 $.
$ (a + 12) (a-3) \u003d 0 $.
$ a_1 \u003d -12 $ dhe $ a_2 \u003d 3 $.
Le të kryejmë ndryshimin e kundërt të ndryshoreve: $ 3 ^ x \u003d -12 $ dhe $ 3 ^ x \u003d 3 $.
Në mësimin e fundit, mësuam se shprehjet eksponenciale mund të marrin vetëm vlera pozitive, mos harroni grafikun. Prandaj, ekuacioni i parë nuk ka zgjidhje, ekuacioni i dytë ka një zgjidhje: $ x \u003d 1 $.
Përgjigje: $ x \u003d 1 $.
Le të bashkojmë një listë kontrolli për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale:
1. Metoda grafike. Ne përfaqësojmë të dy anët e ekuacionit në formën e funksioneve dhe ndërtojmë grafikët e tyre, gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve. (Ne e përdorëm këtë metodë në mësimin e fundit).
2. Parimi i barazisë së treguesve. Parimi bazohet në faktin se dy shprehje me baza të njëjta janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse shkallët (treguesit) e këtyre bazave janë të barabarta. $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ $ f (x) \u003d g (x) $.
3. Metoda e ndryshimit të zëvendësimit. Kjo metodë duhet të përdoret nëse ekuacioni, kur ndryshon ndryshoret, thjeshton formën e tij dhe është shumë më i lehtë për t'u zgjidhur.
Shembull.
Zgjidh sistemin e ekuacioneve: $ \\ start (raste) (27) ^ y * 3 ^ x \u003d 1, \\\\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12. \\ fundi (rastet) $.
Vendimi.
Merrni parasysh të dy ekuacionet e sistemit veç e veç:
$ 27 ^ y * 3 ^ x \u003d 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x \u003d 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) \u003d 3 ^ 0 $.
$ x + 3y \u003d 0 $.
Merrni parasysh ekuacionin e dytë:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) \u003d 12 $.
Le të përdorim metodën e ndryshimit të variablave, le të $ y \u003d 2 ^ (x + y) $.
Atëherë ekuacioni do të marrë formën:
$ y ^ 2-y-12 \u003d 0 $.
$ (y-4) (y + 3) \u003d 0 $.
$ y_1 \u003d 4 $ dhe $ y_2 \u003d -3 $.
Duke kaluar te ndryshoret fillestare, nga ekuacioni i parë marrim $ x + y \u003d 2 $. Ekuacioni i dytë nuk ka zgjidhje. Atëherë sistemi ynë fillestar i ekuacioneve është ekuivalent me sistemin: $ \\ start (raste) x + 3y \u003d 0, \\\\ x + y \u003d 2. \\ fundi (rastet) $.
Duke zbritur të dytin nga ekuacioni i parë, marrim: $ \\ filloni (raste) 2y \u003d -2, \\\\ x + y \u003d 2. \\ fundi (rastet) $.
$ \\ filloni (rastet) y \u003d -1, \\\\ x \u003d 3. \\ fundi (rastet) $.
Përgjigje: $ (3; -1) $.
Pabarazitë eksponenciale
Le të kalojmë te pabarazitë. Gjatë zgjidhjes së pabarazive, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje bazës së diplomës. Ekzistojnë dy skenarë të mundshëm për zgjidhjen e pabarazive.Teorema. Nëse $ a\u003e 1 $, atëherë pabarazia eksponenciale $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (g (x)) $ është ekuivalente me pabarazinë $ f (x)\u003e g (x) $.
Nëse 0 $
Shembull.
Zgjidh pabarazitë:
a) $ 3 ^ (2x + 3)\u003e 81 $.
b) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0.3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0.3) ^ (4x + 15) $ ...
Vendimi.
a) $ 3 ^ (2x + 3)\u003e 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)\u003e 3 ^ 4 $.
Pabarazia jonë është e barabartë me pabarazinë:
$ 2x + 3\u003e 4 $.
$ 2x\u003e 1 $.
$ x\u003e 0,5 $.
B) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Në ekuacionin tonë, baza është më pak se 1, atëherë kur zëvendësoni një pabarazi me një ekuivalente, shenja duhet të ndryshohet.
$ 2x-4\u003e 2 $.
$ x\u003e 3 $.
C) Pabarazia jonë është e barabartë me pabarazinë:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Le të përdorim metodën e zgjidhjes së intervalit:
Përgjigje: $ (- ∞; -5) U)