Основні поняття систем числення

Система числення – це сукупність правил і прийомів запису чисел за допомогою набору цифрових знаків. Кількість цифр, необхідні запису числа у системі, називають основою системи числення. Основа системи записується праворуч числа в нижньому індексі: ; ; і т.д.

Розрізняють два типи систем числення:

позиційні, коли значення кожної цифри числа визначається її позицією запису числа;

непозиційні, коли значення цифри у числі залежить від її місця у записі числа.

Прикладом непозиційної системи числення є римська: числа IX, IV, XV тощо. Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується повсякденно.

Будь-яке ціле число у позиційній системі можна записати у формі багаточлена:

де S - основа системи числення;

Цифри числа, записаного у цій системі числення;

n – кількість розрядів числа.

приклад. Число запишеться у формі багаточлена наступним чином:

Види систем числення

Римська система числення є непозиційною системою. У ньому для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту. У цьому буква I завжди означає одиницю, буква - V п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, C - сто, D - п'ятсот, M - тисячу тощо. Наприклад, число 264 записується як CCLXIV. При записі чисел у римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, що до нього входять. При цьому цифри в записі числа слідують, як правило, в порядку зменшення їх значень, і не дозволяється записувати поряд більше трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з великим значеннямслід цифра з меншим, її внесок у значення числа загалом є негативним. Типові приклади, що ілюструють загальні правила запису чисел у римській системі числення, наведені в таблиці.

Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення

Недоліком римської системи є формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій з багатозначними числами. Через незручність і велику складність в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація розділів), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін), в декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків.

Десятичня система числення – нині найвідоміша і використовувана. Винахід десяткової системи числення відноситься до головних здобутків людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, тим більше виникнути сучасна техніка. Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Люди звикли рахувати в десятковій системі числення, бо мають по 10 пальців на руках.

Давнє зображення десяткових цифр (рис. 1) невипадково: кожна цифра позначає число за кількістю кутів у ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, 2 – два кути і т.д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася у XVI столітті.

Десяткова система вперше з'явилася в Індії приблизно у VI столітті нової ери. Індійська нумерація використовувала дев'ять числових символів та нуль для позначення порожньої позиції. У ранніх індійських рукописах, що дійшли до нас, цифри записувалися у порядку - найбільш значуща цифра ставилася справа. Але незабаром стало правилом розташовувати таку цифру з лівого боку. Особливого значення надавалося нульовому символу, який вводився для позиційної системи позначень. Індійська нумерація, включаючи нуль, дійшла до нашого часу. У Європі індуські прийоми десяткової арифметики набули поширення на початку ХIII ст. завдяки роботам італійського математика Леонардо Пізанського (Фібоначчі). Європейці запозичили індійську систему числення в арабів, назвавши її арабською. Це історично неправильна назваутримується і досі.

Десяткова система використовує десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9, а також символи “+” та “–” для позначення знака числа та кому або точку для поділу цілої та дробової частин числа.

У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, її основа - число 2. Для запису чисел у цій системі використовують лише дві цифри - 0 і 1. Всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами ЕОМ, а математиками та філософами задовго до появи комп'ютерів, ще у ХVII – ХIХ століттях. Перше опубліковане обговорення двійкової системи числення належить іспанському священику Хуану Карамюелю Лобковіцу (1670). Загальну увагу до цієї системи привернула стаття німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца, опублікована в 1703 р. У ній пояснювалися двійкові операції складання, віднімання, множення та поділу. Лейбніц не рекомендував використовувати цю систему для практичних обчислень, але наголошував на її важливості для теоретичних досліджень. Згодом двійкова система числення стає добре відомою і набуває розвитку.

Вибір двійкової системи для застосування в обчислювальної технікипояснюється тим, що електронні елементи - тригери, у тому числі складаються мікросхеми ЕОМ, можуть бути лише у двох робочих станах.

За допомогою двійкової системи кодування можна зафіксувати будь-які дані та знання. Це легко зрозуміти, якщо згадати принцип кодування та передачі інформації за допомогою абетки Морзе. Телеграфіст, використовуючи лише два символи цієї абетки – крапки та тире, може передати практично будь-який текст.

Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими і важко записувати і запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли знадобиться перевести назад, але всі ці трудомісткі переклади. Тому застосовуються системи числення, споріднені двійковою – вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-теричній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі Латинські букви. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.

Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення

Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.

1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:

Таблиця 4. Ступені числа 2

приклад. Число перевести до десяткової системи числення.

2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:

Таблиця 5. Ступені числа 8

Для перекладу чисел з однієї системи числення в іншу необхідно володіти основними відомостями про системи числення та форму представлення чисел у них.

Кількість s різних цифр, що використовуються в системі числення, називається основою, або базою системи числення. У випадку позитивне число Xу позиційній системі з основою sможе бути представлено у вигляді полінома:

де s- база системи числення; - цифри, допустимі в даній системі числення. Послідовність утворює цілу частину X, а послідовність - дробову частину X.

У обчислювальній техніці найбільше застосування знайшли двійкова (BIN - binary), та двійково кодовані системи числення: вісімкова (OCT - octal), шістнадцяткова (HEX - hexadecimal) та двійково-кодована десяткова (BCD - binary coded decimal).

Надалі для позначення використовуваної системи числення число полягатиме в дужки, а в індексі зазначено основу системи. Число Xна підставі sбуде позначено.

Двійкова система числення

Підставою системи числення служить число 2 ( s= 2) і для запису чисел використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Щоб уявити будь-який розряд двійкового числа, достатньо мати фізичний елемент із двома чітко різними стійкими станами, одне з яких зображує 1, а інше 0.

Перш ніж зайнятися переведенням із будь-якої системи числення в двійкову, потрібно уважно вивчити приклад запису числа в двійковій системі числення:

Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .

Вісімкова та шістнадцяткова системи числення

Ці системи числення відносяться до двійково-кодованих, в яких основа системи числення є цілим ступенем двійки: - для вісімкової і - для шістнадцяткової.

У восьмеричній системі числення ( s= 8) використовуються 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перш ніж зайнятися переведенням з будь-якої системи числення у вісімкову, потрібно уважно вивчити приклад запису числа у вісімковій системі:

У шістнадцятковій системі числення ( s= 16) використовуються 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Приклад запису числа у шістнадцятковій системі:

Широке застосування вісімкової та шістнадцяткової систем числення обумовлено двома факторами.

По-перше, ці системи дозволяють замінити запис двійкового числа компактнішим уявленням (запис числа у вісімковій і шістнадцятковій системах буде відповідно в 3 і 4 рази коротше двійкового запису цього числа). По-друге, взаємне перетворення чисел між двійковою системою з одного боку та восьмеричною та шістнадцятирічною – з іншого здійснюється порівняно просто. Дійсно, оскільки для вісімкового числа кожен розряд представляється групою з трьох двійкових розрядів (тріад), а для шістнадцяткового - групою з чотирьох двійкових розрядів (зошит), то для перетворення двійкового числа достатньо об'єднати його цифри в групи по 3 або 4 розряди відповідно, просуваючись від розділової коми вправо та вліво. При цьому, у разі потреби, додають нулі ліворуч від цілої частини та/або праворуч від дробової частини та кожну таку групу - тріаду або зошит - замінюють евівалентною восьмеричною або шістнадцятковою цифрою (див. таблицю).

Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .

Для зворотного перекладу кожна OCT або HEX цифра замінюється відповідно тріадою або зошитом двійкових цифр, причому нулі, що незначні, зліва і праворуч відкидаються.

Для розглянутих раніше прикладів це виглядає так:

Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .

Двійково-десяткова система числення

У двійково-десятковій системі вага кожного розряду дорівнює ступеню 10, як у десятковій системі, а кожна десяткова цифра кодується чотирма двійковими цифрами. Для запису десяткового числа в BCD-системі достатньо замінити кожну десяткову цифру еквівалентною чотирирозрядною двійковою комбінацією:

Будь-яке десяткове число можна представити в двійково-десятковому записі, але слід пам'ятати, що це не двійковий еквівалент числа. Це видно з наступного прикладу:

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Нехай X- Число в системі числення з основою s, яке потрібно представити в системі з основою h. Зручно розрізняти два випадки.

У першому випадку і, отже, при переході до основи hможна використовувати арифметику цієї системи. Метод перетворення полягає у поданні числа у вигляді багаточлена за ступенями s, а також у обчисленні цього багаточлена за правилами арифметики системи числення з основою h. Так, наприклад, зручно переходити від двійкової або вісімкової системи числення до десяткової. Описаний прийом ілюструють такі приклади:

.

.

В обох випадках арифметичні дії виконуються за правилами обчислення з підставою 10.

У другому випадку () зручніше користуватися арифметикою на основі s. Тут слід враховувати, що переклад цілих чисел і правильних дробів провадиться за різними правилами. При перекладі змішаних дробів ціла і дробова частини переводяться кожна за своїми правилами, після чого отримані числа записуються через кому.

Переклад цілих чисел

Правила перекладу цілих чисел стає ясним із загальної формули запису числа у довільній позиційній системі. Нехай число у вихідній системі числення sмає вигляд . Потрібно отримати запис числа в системі числення з основою h:

.

Для знаходження значень розділимо цей багаточлен на h:

.

Як видно, молодший розряд, тобто дорівнює першому залишку. Наступний значний розряд визначається поділом приватного на h:

.

Інші також обчислюються шляхом поділу приватних до того часу, поки стане рівним нулю.

Для перекладу цілого числа з s-їчної системи числення в h-ічну необхідно послідовно ділити це число та одержувані приватні на h (за правилами системи числення з основою h) до тих пір, поки приватне не стане рівним нулю. Старшою цифрою в записі числа з основою h служить останній залишок, а наступні за нею цифри утворюють залишки від попередніх поділів, що виписуються в послідовності, зворотній їхньому отриманню.

Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел не повинна перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи в іншу, введіть вихідне число в перше поле, основу вихідної системи числення в друге та основу системи числення, в яку потрібно перевести число, в третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".

Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ой системі числення.

Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.

Отримати запис

Виконано перекладів: 3036712

Також може бути цікаво:

• Калькулятор таблиці істинності. СДНФ. СКНФ. Поліном Жегалкіна

Системи числення

Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.

Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво починаючи з нуля:

Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.

Приклад 2. Розглянемо дійсне десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:

Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Найбільш простим способомпереведення числа з однієї системи числення в іншу, є переведення числа спочатку в десяткову систему числення, а потім отриманого результату в необхідну систему числення.

Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення числа з будь-якої системи числення в десяткову достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд зліва від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2.

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення

Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно переводити окремо.

Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.

3. Перевести число 273 10 у восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершено. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат збігся. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8

Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.

Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з основою N потрібно послідовно множити число на N до тих пір, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, тому що послідовно заноситься до результату.

4. Перевести число 0.125 10 у двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2

Люди не одразу навчилися рахувати. Первісне суспільство орієнтувалося на незначну кількість предметів - один чи два. Все, що було більше, за умовчанням найменувалося "багато". Саме це вважається початком сучасної системи обчислення.

Коротка історична довідка

У процесі розвитку цивілізації людей стала виникати необхідність розділяти невеликі сукупності предметів, об'єднані загальними ознаками. Стали виникати відповідні поняття: "три", "чотири" тощо до "семи". Однак це був закритий, обмежений ряд, останнє поняття в якому продовжувало нести смислове навантаження більш раннього "багато". Яскравим прикладом цього є народний фольклор, який дійшов до нас у первозданному вигляді (наприклад, прислів'я "Сім разів відміряй - один раз відріж").

Виникнення складних способів рахунку

З часом життя та всі процеси діяльності людей ускладнювалися. Це призвело, своєю чергою, до виникнення більш складної системи обчислення. При цьому люди використовували для наочності виразу найпростіші інструменти рахунку. Знаходили вони їх навколо себе: вони креслили палички на стінах печери підручними засобами, робили зарубки, викладали цікаві для них числа з палиць і каміння - ось лише невеликий список існуючого тоді різноманіття. Надалі сучасними вченими даному видубуло присвоєно унікальну назву "унарна система числення". Її суть полягає у записі числа із застосуванням єдиного виду знаків. Сьогодні це найбільш зручна система, що дозволяє візуально зіставляти кількість предметів та знаків. Найбільшого поширення вона набула у початкових класах шкіл (лічильні палички). Спадком "камешкового рахунки" можна сміливо вважати сучасні апарати в різних модифікаціях. Цікаво і виникнення сучасного слова "калькуляція", коріння якого йде від латинського calculus, що перекладається не інакше як "камінчик".

Рахунок на пальцях

В умовах вкрай убогого словникового запасу первісної людини жести досить часто служили важливим доповненням до переданої інформації. Перевага пальців була в їхній універсальності та постійному знаходженні з об'єктом, який хотів передати інформацію. Однак тут є й суттєві недоліки: значна обмеженість та короткочасність передачі. Тому весь рахунок людей, які користувалися "пальцевим способом", обмежувався цифрами, кратними кількості пальців: 5 - відповідає кількості пальців однією руці; 10 - на обох руках; 20 - загальна кількість на руках та ногах. Завдяки порівняно повільному розвитку числового запасу дана системапроіснувала досить довгий часовий проміжок.

Перші вдосконалення

З розвитком системи обчислення і розширенням можливостей і потреб людства максимальним числом, що використовується в культурах багатьох народів стало 40. Під ним також розумілося невизначене (не піддається рахунку) кількість. На Русі стала вельми поширеною набув вираз " сорок сороків " . Його сенс зводився до кількості предметів, які неможливо порахувати. Наступний ступінь розвитку - це поява числа 100. Далі почався розподіл на десятки. Згодом стали з'являтися числа 1000, 10 000 і так далі, кожне з яких несло смислове навантаження, аналогічне семи та сорока. У світі кордону кінцевого рахунку не визначено. На сьогоднішній день запроваджено універсальне поняття "нескінченність".

Цілі та дробові числа

Сучасні системи обчислення за найменше предметів приймають одиницю. Найчастіше вона є неподільною величиною. Однак при більш точних вимірах вона також дробиться. Саме з цим пов'язане поняття дробового числа, що з'явилося на певному етапі розвитку. Наприклад, вавілонська система грошей (ваг) становила 60 хв, що дорівнювало 1 талану. У свою чергу 1 міна прирівнювалася до 60 шекелів. Саме на основі цього вавілонська математика широко застосовувала шістдесяткове дроблення. Широко використовуються в Росії дроби прийшли до нас від давніх греків та індійців. При цьому самі записи ідентичні індійським. Незначна відмінність становить відсутність у останніх дробової межі. Греки зверху прописували чисельник, а знизу знаменник. Індійський варіант написання дробів набув широкого розвитку в Азії та Європі завдяки двом ученим: Мухаммеду Хорезмському та Леонардо Фібоначчі. Римська система обчислення прирівнювала 12 одиниць, званих унціями, до цілого (1 ас), відповідно, в основі всіх обчислень лежали дванадцятирічні дроби. Разом із загальноприйнятими досить часто застосовувалися й спеціальні поділки. Так, наприклад, астрономами до XVII століття застосовувалися так звані шістдесятирічні дроби, які були згодом витіснені десятковими (вживав Симон Стевін - учений-інженер). Через війну подальшого прогресу людства виникла потреба у значно більшому розширенні числового ряду. Так з'явилися негативні, ірраціональні і знайомий всім нуль з'явився відносно недавно. Він почав застосовуватися при введенні в сучасні системиобчислення негативних чисел.

Використання непозиційного алфавіту

Що таке алфавіт? Для цієї системи обчислення характерно, що значення цифр не змінюється від їхнього розміщення. Непозиційному алфавіту властива наявність необмеженої кількості елементів. В основі систем, що будуються на базі цього виду алфавіту, лежить принцип адитивності. Іншими словами, загальне значення числа складається із суми всіх цифр, які включає запис. Виникнення непозиційних систем сталося раніше за позиційні. Залежно від способу рахунку загальне значення числа визначається як різницю чи суму всіх цифр, що входять до складу числа.

Існують недоліки таких систем. Серед основних слід виділяти:

• запровадження нових цифр для формування великого числа;
• неможливість відобразити негативні та дробові числа;
• складність виконання арифметичних процесів.

У історії людства застосовувалися різні системи обчислення. Найбільш відомими вважаються: грецька, римська, алфавітна, унарна, давньоєгипетська, вавілонська.

Один із найбільш поширених способів рахунку

Збереглася донині практично у незмінному вигляді, є однією з найвідоміших. За її допомогою позначаються різні дати, ювілейні зокрема. Також вона знайшла широке застосування у літературі, науці та інших сферах життя. У римській системі обчислення використовуються лише сім літер кожна з яких відповідає певному числу: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; З = 100; D = 500; M = 1000.

Виникнення

Саме походження римських цифр незрозуміле, історія не зберегла точних даних їх появи. При цьому безперечним є факт: значний вплив на римську нумерацію мала п'ятирічна система обчислення чисел. Однак у латинській мові відсутні згадки про неї. На цій підставі виникла гіпотеза про запозичення давніми римлянами своєї системи в іншого народу (імовірно, у етрусків).

Особливості

Запис усіх цілих чисел (до 5000) провадиться за допомогою повторення описаних вище цифр. Ключовою особливістює розташування знаків:

• додавання відбувається за умови, що більше стоїть перед меншим (XI = 11);
• віднімання відбувається, якщо менша цифра стоїть перед більшою (IX = 9);
• той самий знак не може стояти поспіль більше трьох разів (наприклад, 90 записується ХС замість LXXXX).

Недоліком є ​​незручність виконання арифметичних дій. При цьому вона проіснувала досить довго і перестала використовуватися в Європі як основна система обчислення порівняно недавно - у 16 ​​столітті.

Римська система обчислення не вважається абсолютно непозиційною. Пов'язано це з тим, що у ряді випадків відбувається віднімання меншої цифри з більшої (наприклад, IX = 9).

Спосіб рахунку у Стародавньому Єгипті

Третє тисячоліття до нашої ери вважається моментом виникнення системи обчислення у Стародавньому Єгипті. Суть її полягала у записі спеціальними знакамицифр 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107. Усі інші числа записувалися як комбінації даних вихідних знаків. При цьому існувало обмеження - кожна цифра мала повторюватися не більше дев'яти разів. В основі цього способу рахунку, який сучасні вчені називають "непозиційною десятковою системою обчислення", лежить простий принцип. Сенс його у тому, що написане число дорівнювало сумі всіх цифр, у тому числі воно складалося.

Унарний спосіб рахунку

Система обчислення, у якій під час запису чисел використаний один знак - I - називається унарной. Кожне наступне число виходить у результаті додавання нової I до попереднього. При цьому кількість таких I дорівнює значенню записаного за допомогою них числа.

Вісімкова система обчислення

Це позиційний спосіб рахунку, на основі якого лежить число 8. Для відображення чисел використовується цифровий ряд від 0 до 7. Широке застосування дана система отримала у виробництві та використанні цифрових пристроїв. Основною її перевагою є легке переведення чисел. Їх можна перетворити на і назад. Дані маніпуляції здійснюються завдяки заміні чисел. З восьмирічної системи вони перетворюються на двійкові триплети (наприклад, 28 = 0102, 68 = 1102). Цей спосібрахунки був поширений у галузі комп'ютерного виробництва та програмування.

Шістнадцяткова система обчислення

Останнім часом у комп'ютерній сферіцей спосіб рахунку використовується досить активно. У корені даної системи лежить основа - 16. Система обчислення, що базується на ньому, передбачає використання цифр від 0 до 9 і ряду букв латинського алфавіту (від А до F), які застосовуються для позначення інтервалу від 1010 до 1510. вже було відзначено, використовується при виробництві програмного забезпеченнята документації, пов'язаної з комп'ютерами та їх складовими. Засноване це на властивостях сучасного комп'ютера, основною одиницею якого є 8-бітна пам'ять. Її зручно перетворювати та записувати за допомогою двох шістнадцятирічних цифр. Основоположником такого процесу стала система IBM/360. Документація для неї була вперше перекладена цим способом. Стандарт Юнікод передбачає запис будь-якого символу в шістнадцятковому вигляді з використанням не менше 4 цифр.

Способи запису

Математичне оформлення способу рахунку ґрунтується на зазначенні його в нижньому індексі у десятковій системі. Наприклад, число 1444 записується у вигляді 144410. Мови програмування для запису шістнадцятирічних систем мають різні синтаксиси:

Висновок

Як вивчаються Інформатика – основна дисципліна, в рамках якої здійснюється накопичення даних, процес їх оформлення у зручний для споживання вигляд. Із застосуванням спеціальних інструментів відбувається оформлення та переклад усієї доступної інформації в мову програмування. Він надалі використовується при створенні програмного забезпечення та комп'ютерної документації. Вивчаючи різні системи обчислення, інформатика передбачає використання, як було зазначено вище, різних інструментів. Багато з них сприяють здійсненню швидкого перекладучисел. Одним із таких "інструментів" є таблиця систем обчислення. Користуватися нею досить зручно. За допомогою даних таблиць можна, наприклад, швидко перевести число з шістнадцяткової системи в двійкову, не маючи при цьому спеціальних наукових знань. Сьогодні можливість здійснювати цифрові перетворення є практично у кожної зацікавленої у цьому людини, оскільки необхідні інструментипропонуються користувачам на відкритих ресурсах. Крім того, існують і програми онлайн-перекладу. Це значно полегшує завдання перетворення чисел і скорочує час операцій.

Коли займаєшся налаштуваннями мереж різного масштабу і щодня стикаєшся з обчисленнями – то такі шпаргалки заводити не обов'язково, все й так робиться на безумовному рефлексі. Але коли в мережах колупаєшся дуже рідко, то не завжди згадаєш яка там маска в десятковій формі для префікса 21 або яка адреса мережі при цьому ж префіксі. У зв'язку з цим я і вирішив написати кілька маленьких статей-шпаргалок щодо переведення чисел у різні системи числення, мережевим адресам, маскам і т.п. У цій частині йтиметься про переведення чисел до різних систем числення.

1. Системи обчислень

Коли ви займаєтеся чимось пов'язаним з комп'ютерними мережамита ІТ, ви по будь-якому зіткнетеся з цим поняттям. І як тямущий ІТ-шник вам потрібно розбиратися в цьому хоча б трохи навіть якщо на практиці ви це будете застосовувати дуже рідко.
Розглянемо переклад кожної цифри з IP-адреси 98.251.16.138 у такі системи обчислень:

• Двійкова
• Вісімкова
• Десяткова
• Шістнадцяткова

1.1 Десяткова

Так як цифри записані в десятковій, переклад з десяткової в десяткову пропустимо 🙂

1.1.1 Десяткова → Двійкова

Як ми знаємо двійкова система числення використовується практично у всіх сучасних комп'ютерахта багатьох інших обчислювальних пристроях. Система дуже проста – у нас є лише 0 та 1.
Для перетворення числа з десятиною в двійкову форму потрібно використовувати розподіл за модулем 2 (тобто цілечисленне розподіл на 2) в результаті чого ми завжди матимемо в залишку або 1, або 0. При цьому результат записуємо праворуч наліво. Приклад все поставить на свої місця:

Малюнок 1.1 – Переведення чисел із десяткової до двійкової системи

Малюнок 1.2 – Переведення чисел із десяткової до двійкової системи

Опишу розподіл числа 98. Ми ділимо 98 на 2, в результаті маємо 49 і залишок 0. Далі продовжуємо розподіл і ділимо 49 на 2, в результаті маємо 24 з залишком 1. І таким же чином добираємося до десятки або десятка в ділимо. Потім результат записуємо праворуч наліво.

1.1.2 Десятичне → Вісімкове

Восьмерична система – це цілочислова система числення з основою 8. Тобто. всі числа в ній представлені діапазоном 0 - 7 і для перекладу з десяткової системи необхідно використовувати поділ за модулем 8.

Малюнок 1.3 – Переведення чисел із десяткової у вісімкову систему

Розподіл аналогічно 2-чної системи.

1.1.3 Десяткова → Шістнадцяткова

Шістнадцяткова система майже повністю витіснила вісімкову систему. Вона має основу 16, але використовуються десяткові цифри від 0 до 9 + латинські літери від A(число 10) до F(число 15). З нею ви стикаєтеся щоразу, коли перевіряєте налаштування мережевого адаптера— це МАС-адреса. Також, коли використовується IPv6.

Малюнок 1.4 – Переведення чисел із десяткової до шістнадцяткової системи

1.2 Двійкова

У попередньому прикладі ми перевели всі десяткові числа до інших систем числення, одна з яких двійкова. Тепер переведемо кожне число з двійкової форми.

1.2.1 Двійкова → Десятична

Для переведення чисел із двійкової форми до десяткової потрібно знати два нюанси. Перший - у кожного нуліка і одиниці є множник 2 в n-го ступеня, При якому n збільшується праворуч наліво рівно на одиницю. Другий – після перемноження усі числа потрібно скласти і ми отримаємо число у десятковій формі. У підсумку ми матимемо формулу такого виду:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Де,
D – це число у десятковій формі, яке ми шукаємо;
n– кількість символів у двійковому числі;
a – число у двійковій формі на n-ї позиції(тобто перший символ, другий, і т.п.);
p - коефіцієнт, рівний 2,8 або 16 у ступені n(залежно від системи числення)

Наприклад, візьмемо число 110102. Дивимося на формулу і записуємо:

• Число складається з 5 символів ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (оскільки переводимо з двійкової до десяткової)

У результаті маємо:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Хто звик записувати праворуч на ліво, форму виглядатиме так:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Але, як знаємо, від перестановки доданків сума змінюється. Давайте тепер переведемо наші числа до десяткової форми.

Рисунок 1.5 – Переведення чисел із двійкової до десяткової системи

1.2.2 Двійкова → Вісімкова

При перекладі нам потрібно двійкове число розбити на групи по три символи праворуч наліво. Якщо остання групане складається з трьох символів, то ми просто відшкодовуємо недостатні біти нуліками. Наприклад:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Кожна група бітів – це одне із вісімкових чисел. Щоб дізнатися, яке потрібно використовувати написану вище формулу 1.2.1 для кожної групи бітів. В результаті ми отримаємо.

Малюнок 1.6 – Переведення чисел із двійкової у вісімкову систему

1.2.3 Двійкова → Шістнадцяткова

Тут нам потрібно двійкове число розбивати на групи по чотири символи праворуч наліво з наступним доповненням бітів групи, що відсутні, ноликами, як писалося вище. Якщо остання група складається з нуликів, їх потрібно ігнорувати.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Кожна група бітів – це одне із шістнадцяткових чисел. Використовуємо формулу 1.2.1 кожної групи бітів.

Малюнок 1.7 – Переведення чисел із двійкової до шістнадцяткової системи

1.3 Вісімкова

У цій системі у нас можуть виникнути складності тільки при переведенні в 16-річну систему, оскільки решта перекладу проходить гладко.

1.3.1 Вісімкова → Двійкова

Кожне число у вісімковій системі – це група із трьох бітів у двійковій системі, як писалося вище. Для перекладу нам потрібно скористатися табличкою-шпаргалкою:

Малюнок 1.8 – Шпора з переведення чисел із вісімкової системи

Використовуючи цю табличку, переведемо наші числа в двійкову систему.

Рисунок 1.9 – Переведення чисел із вісімкової до двійкової системи

Трохи опишу висновок. Перше число у нас 142, отже, буде три групи по три біти в кожній. Юзаємо шпору і бачимо, що цифра 1 це 001, цифра 4 це 100 і цифра 2 це 010. У результаті маємо число 001100010.

1.3.2 Восьмирічна → Десятична

Тут ми використовуємо формулу 1.2.1 лише з коефіцієнтом 8 (тобто p = 8). В результаті маємо

Малюнок 1.10 – Переведення чисел із вісімкової до десятичної системи

• Число складається з 3 символів ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (оскільки переводимо з вісімкової в десяткову)

В результаті маємо:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Вісімкова → Шістнадцяткова

Як писалося раніше, для перекладу нам потрібно спочатку перевести числа в двійкову систему, потім з двійковою в шістнадцяткову, поділивши на групи по 4 біти. Можна використовувати наступну шпору.

Малюнок 1.11 – Шпора з перекладу чисел із шістнадцяткової системи

Ця табличка допоможе перевести з двійкової до шістнадцяткової системи. Тепер переведемо наші числа.

Малюнок 1.12 – Переведення чисел із вісімкової до шістнадцяткової системи

1.4 Шістнадцяткова

У цій системі та сама проблема, при переведенні у вісімкову. Але про це згодом.

1.4.1 Шістнадцяткова → Двійкова

Кожне число у шістнадцятковій системі – це група з чотирьох бітів у двійковій системі, як писалося вище. Для перекладу нам можна скористатися табличкою-шпаргалкою, яка знаходиться вище. В результаті:

Малюнок 1.13 – Переведення чисел із шістнадцяткового в двійкову систему

Візьмемо перше число – 62. Використовуючи табличку (рис. 1.11) бачимо, що 6 це 0110, 2 це 0010, у результаті маємо число 01100010.

1.4.2 Шістнадцяткова → Десятична

Тут ми використовуємо формулу 1.2.1 лише з коефіцієнтом 16 (тобто p=16). В результаті маємо

Малюнок 1.14 – Переведення чисел із шістнадцяткової до десятичної системи

Візьмемо перше число. Виходячи з формули 1.2.1:

• Число складається з 2 символів ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (оскільки переводимо з шістнадцяткової в десяткову)

У результаті маємо.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Шістнадцяткова → Вісімкова

Для переведення у вісімкову систему потрібно спочатку перевести в двійкову, потім розбити на групи по 3 біти і скористатися табличкою (рис. 1.8). В результаті:

Малюнок 1.15 – Переведення чисел із шістнадцяткової у вісімкову систему

Піде мова про IP-адреси, маски і мережі.