"М'які" обчислення. Нейронні мережі та нечітка логіка. Способи інтеграції нечітких та нейронних систем Інтеграція з інтелектуальними парадигмами
Нейронечіткі або гібридні системи, що включають нечітку логіку, нейронні мережі, генетичні алгоритми та експертні системи, є ефективним засобом при вирішенні великого кола завдань реального, світу.
Кожен інтелектуальний метод має свої індивідуальні особливості (наприклад, можливість навчання, здатність пояснення рішень), які роблять його придатним лише на вирішення конкретних специфічних завдань.
Наприклад, нейронні мережі успішно застосовуються у розпізнаванні моделей, вони неефективні у поясненні способів досягнення своїх рішень.
Системи нечіткої логіки, які пов'язані з неточною інформацією, усно застосовуються при поясненні своїх рішень, але не можуть автоматично поповнювати систему правил, необхідних прийняття цих рішень.
Ці обмеження послужили поштовхом до створення інтелектуальних гібридних систем, де два чи більше методів об'єднуються у тому, щоб подолати обмеження кожного методу окремо.
Гібридні системи відіграють важливу роль при вирішенні завдань у різних прикладних областях. У багатьох складних областях існують проблеми, пов'язані з окремими компонентами, кожен із яких може вимагати своїх методів обробки.
Нехай у складній прикладній області є дві окремі підзавдання, наприклад задача обробки сигналу і завдання виведення рішення, тоді нейронна мережа та експертна система будуть використані відповідно для цих окремих завдань.
Інтелектуальні гібридні системи успішно застосовуються в багатьох областях, таких як управління, технічне проектування, торгівля, кредит, медична діагностика і когнітивне моделювання. Крім того, діапазон застосування цих систем безперервно зростає.
У той час, як нечітка логіка забезпечує механізм логічного виведення з когнітивної невизначеності, обчислювальні нейронні мережі мають такі помітні переваги, як навчання, адаптація, відмовостійкість, паралелізм і узагальнення.
Щоб система могла обробляти когнітивні невизначеності так, як це роблять люди, потрібно застосувати концепцію нечіткої логіки в нейронних мережах. Такі гібридні системи називаються нечіткими нейронними чи нечітко-нейронними мережами.
Нейронні мережі використовуються для налаштування функцій належать нечітких системах, які застосовуються як системи прийняття рішень.
Нечітка логіка може описувати наукові знання безпосередньо, використовуючи правила лінгвістичних міток, проте багато часу зазвичай займає процес проектування та налаштування функцій належності, які визначають ці мітки.
Навчальні методи нейронних мереж автоматизують цей процес, суттєво скорочуючи час розробки та витрати на отримання даних функцій.
Теоретично нейронні мережі та системи нечіткої логіки рівноцінні, оскільки вони взаємно трансформуються, проте на практиці кожна з них має свої переваги та недоліки.
У нейронних мережах знання автоматично набуваються за рахунок застосування алгоритму виведення зі зворотним ходом, але процес навчання виконується відносно повільно, а аналіз навченої мережі складний ("чорна скринька").
Неможливо отримати структуровані знання (правила) з навченої нейронної мережі, а також зібрати особливу інформацію про проблему для спрощення процедури навчання.
Нечіткі системи знаходять велике застосування, оскільки їхня поведінка може бути описана за допомогою правил нечіткої логіки, таким чином можна керувати, регулюючи ці правила. Слід зазначити, що придбання знань - процес досить складний, у своїй область зраді кожного вхідного параметра необхідно розбивати кілька інтервалів; застосування систем нечіткої логіки обмежено областями, у яких допустимі знання експерта та набір вхідних параметрів досить малий.
Для вирішення проблеми набуття знань нейронні мережі доповнюються властивістю автоматичного отримання правил нечіткої логіки з числових даних.
Обчислювальний процес є використанням наступних нечітких нейронних мереж. Процес починається з розробки "нечіткого нейрона", який ґрунтується на розпізнаванні біологічних нейронних морфології згідно з механізмом навчання. При цьому можна виділити такі три етапи обчислювального процесу нечіткої нейронної мережі:
розробка нечітких нейронних моделей на основі біологічних нейронів;
моделі синоптичних сполук, які вносять невизначеність у нейронні мережі;
розробка алгоритмів навчання (метод регулювання синоптичних вагових коефіцієнтів).
На рис. П1.1 та П1.2 представлені дві можливі моделі нечітких нейронних систем.
Отримане лінгвістичне твердження інтерфейсний блок нечіткої логіки перетворює на вхідний вектор багаторівневої нейронної мережі. Нейронна мережа може бути навчена виробляти необхідні вихідні команди чи рішення
Багаторівнева нейронна мережа запускає інтерфейсний механізм нечіткої логіки.
Основні елементи нейронної мережі, що обробляються, називають штучними нейронами, або просто нейронами. Сигнал із нейронних входів xj вважається односпрямованим, напрямок позначено стрілкою, те саме стосується нейронного вихідного сигналу
Мал. П1.2.Друга модель нечіткої нейронної системи
Проста нейронна мережа представлена на рис. П1.3. Всі сигнали та ваги задаються речовими числами.
Вхідні нейрони не змінюють вхідний сигнал, тому вихідні та вхідні параметри збігаються.
При взаємодії з ваговим коефіцієнтом w t для сигналу х отримуємо результат p = wi xi, i = 1, …, n. Елементи вхідної інформації pi складаються і дають вхідне значення для нейрона:
Нейрон застосовує свою передатну функцію, яка може бути сигмоїдальною функцією виду:
Для обчислення вихідного значення:
Цю просту нейронну мережу, яка здійснює множення, додавання і обчислює сигмоїдальну функцію, назвемо стандартною нейронною мережею.
Гібридна нейронна мережа- це нейронна мережа з нечіткими сигналами та вагами та нечіткими передатними функціями. Однак: (1) можна об'єднати Xj і w h використовуючи інші безперервні операції; (2) скласти компоненти р1 за допомогою інших безперервних функцій; (3) передатна функція може мати вигляд будь-якої іншої безперервної функції.
Обробний елемент гібридної нейронної мережі називається нечіткимнейроном.
Слід зазначити, що всі вхідні, вихідні параметри і ваги гібридної нейронної мережі є речові числа з інтервалу .
Мал. П.4. Передатна функція гібридної нейронної мережі
П1.2. Нечіткі нейрони
Визначення 1 – нечіткий нейрон І.Сигнали х і w об'єднуються оператором максимуму і дають:
Елементи вхідної інформації р об'єднуються за допомогою оператора мінімуму і в результаті дають вихідну інформацію нейрона:
Визначення 2 - нечіткий нейрон АБО. Сигнал х, і вага w, об'єднуються оператором мінімуму:
Елементи вхідної інформації р об'єднуються за допомогою оператора максимуму і в результаті дають вихідну інформацію нейрона:
Сигнал х,і вага w, об'єднуються оператором множення:
Нечіткі нейрони І та АБО здійснюють стандартні логічні операції над значеннями множини. Роль з'єднань полягає в тому, щоб розрізнити конкретні рівні впливу, які можуть бути окремими вхідними параметрами на результат їх об'єднання.
Відомо, що стандартні мережі є універсальними апроксиматорами, тобто вони можуть апроксимувати будь-яку безперервну функцію на компактній множині з будь-якою точністю. Завдання з таким результатом; неконструктивною і не дає інформації про те, як побудувати цю мережу.
Гібридні нейронні мережі використовуються для реалізації правил нечіткої логіки IF-THEN конструктивним шляхом.
Хоча гібридні нейронні мережі не здатні використовувати безпосередньо стандартний алгоритм виведення зі зворотним ходом, вони можуть бути навчені методами якнайшвидшого спуску розпізнавати параметри функцій приналежності, що становлять лінгвістичні терміни в правилах
Нечітка логіка та нейронні мережі
Вступ
Нечітка логіка (англ. fuzzy logic)- розділ математики, що є узагальненням класичної логіки і теорії множин, що базується на понятті нечіткої множини, вперше введеної Лотфі Заде в 1965 як об'єкта з функцією приналежності елемента до множини, що приймає будь-які значення в інтервалі , а не тільки 0 або 1. На основі цього поняття вводяться різні логічні операції над нечіткими множинами і формулюється поняття лінгвістичної змінної, як значення якої виступають нечіткі множини.
Предметом нечіткої логіки вважається вивчення міркувань за умов нечіткості, розмитості, подібних з міркуваннями у звичному значенні, та його застосування у обчислювальних системах.
Напрями досліджень нечіткої логіки
В даний час існує, принаймні, два основні напрямки наукових досліджень у галузі нечіткої логіки:
Нечітка логіка у сенсі (теорія наближених обчислень);
Нечітка логіка у вузькому значенні (символічна нечітка логіка).
Символічна нечітка логіка
Символічна нечітка логіка ґрунтується на понятті t-норми. Після вибору деякої t-норми (а її можна ввести декількома різними способами) з'являється можливість визначити основні операції над змінними змінними: кон'юнкцію, диз'юнкцію, імплікацію, заперечення та інші.
Неважко довести теорему про те, що дистрибутивність, яка присутня в класичній логіці, виконується тільки у випадку, коли як t-норма вибирається t-норма Геделя.
Крім того, через певні причини, як імплікацію найчастіше вибирають операцію, звану residium (вона, взагалі кажучи, також залежить від вибору t-норми).
Визначення основних операцій, перерахованих вище, призводить до формального визначення базисної нечіткої логіки, яка має багато спільного з класичною булевозначною логікою (точніше, з обчисленням висловлювань).
Існують три основні базові нечіткі логіки: логіка Лукасевича, логіка Геделя і імовірнісна логіка (англ. product logic). Цікаво, що об'єднання будь-яких двох із трьох перерахованих вище логік призводить до класичної булевозначної логіки.
Характеристична функція
Для простору міркування та цієї функції приналежності 
нечітка множина визначається як
Функція приналежності кількісно градуює приналежність елементів фундаментального безлічі простору міркування нечіткої множини. Значення означає, що елемент не включений у нечіткість, описує повністю включений елемент. Значення між ними і характеризують нечітко включені елементи.
Нечітка безліч і класична, чітка ( crisp) безліч
Приклади нечітких множин
1. Нехай Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М =. Нечітку безліч «Кілька» можна визначити так:
"Кілька" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; його характеристики: висота = 1, носій = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки переходу - {3, 8}.
2. Нехай Е = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Нечітку безліч «Малий» можна визначити:
3. Нехай Е= (1, 2, 3, . . ., 100) і відповідає поняттю «Вік», тоді нечітка множина «Молодий» може бути визначена за допомогою
Нечітка безліч «Молодий» на універсальній множині Е"= (ІВАНІВ, ПЕТРІВ, СИДОРІВ,...) задається за допомогою функції приналежності μ Молодий ( x) на Е =(1, 2, 3, . . ., 100) (вік), званої по відношенню до Е"функцією сумісності, при цьому:
де х- Вік СИДОРОВА.
4. Нехай Е= (ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,… ) – безліч марок автомобілів, а Е"= - Універсальна безліч «Вартість», тоді на Е"ми можемо визначити нечіткі множини типу:
Мал. 1.1. Приклади функцій приладдя
"Для бідних", "Для середнього класу", "Престижні", з функціями приналежності виду рис. 1.1.
Маючи ці функції та знаючи вартості автомобілів з Ев даний момент часу ми тим самим визначимо на Е"нечіткі множини з цими ж назвами.
Так, наприклад, нечітка множина «Для бідних», задана на універсальній множині Е =(ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,...), виглядає так, як показано на рис. 1.2.
Мал. 1.2. Приклад завдання нечіткої множини
Аналогічно можна визначити нечітку множину «Швидкісні», «Середні», «Тихохідні» тощо.
5. Нехай Е- безліч цілих чисел:
Е= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.
Тоді нечітке підмножина чисел, за абсолютною величиною близьких до нуля, можна визначити, наприклад, так:
А ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.
Логічні операції
Увімкнення.Нехай Аі У- нечіткі множини на універсальній множині е.Кажуть що Аміститься в В,якщо
Позначення: А⊂ Ст.
Іноді використовують термін домінування,тобто. у випадку, коли А⊂ В,кажуть що Удомінує А.
Рівність.А і В рівні, якщо
Позначення: А = В.
Доповнення.Нехай М = , Аі У– нечіткі множини, задані на Є. Аі Удоповнюють один одного, якщо
Позначення:
Очевидно, що 
(додаток визначено для М= , але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого М).
Перетин. А⋂ У- найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в Аі В:
Об'єднання.A∪У- найменше нечітке підмножина, що включає як А,так і В,з функцією приналежності:
Різниця. 
з функцією приналежності:
Диз'юнктивна сума
А ⊕ У = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ (̅A ⋂ B)
з функцією приналежності:
приклади. Нехай
Тут:
1) А ⊂ В,тобто А міститься в Bабо Bдомінує АЗ незрівнянноні з A, ні з В,тобто. пари ( А, С) та ( А, С) - пари недомінованих нечітких множин.
2) A≠ B ≠ C
3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .
4) А⋂ В = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /х 4 .
5) A∪ У= 0,7/x 1+ 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .
6) А - В= А⋂̅В = 0,3/x 1 + 0,l/ x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;
У- А = ̅А⋂ У= 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/ x 3 + 0/x 4 .
7) А⊕ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .
Наочне уявлення логічних операцій над нечіткими множинами. Для нечітких множин можна будувати візуальну виставу. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення μ А(х),на осі абсцис у довільному порядку розташовані елементи Е(Ми вже використовували таке уявлення в прикладах нечітких множин). Якщо Еза своєю природою впорядковано, цей порядок бажано зберегти у розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості логічні операції над нечіткими множинами (див. рис. 1.3).
Мал. 1.3. Графічна інтерпретація логічних операцій:
α
- нечітка безліч А; б- нечітка безліч ̅А, в - А⋂̅А; г-A∪ ̅А
На рис. 1.3α заштрихована частина відповідає нечіткому множині Аі, якщо говорити точно, зображує область значень Аі всіх нечітких множин, що містяться в А.На рис. 1.3 б, в, гдані ̅ А, А ⋂ ̅A,A U ̅А.
Властивості операцій ∪ і ⋂
Нехай А, В, С- нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості:
На відміну від чітких множин, для нечітких множин загалом
A ⋂ ̅A ≠ ∅, A ∪ ̅A ≠ E
(що, зокрема, проілюстровано вище з прикладу наочного уявлення нечітких множин).
Зауваження . Введені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max min. Теоретично нечітких множин розробляються питання побудови узагальнених, параметризованих операторів перетину, об'єднання та доповнення, що дозволяють врахувати різноманітні смислові відтінки відповідних їм зв'язок «і», «або», «ні».
Трикутні норми та конорми
Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає в їх визначенні класі трикутних норм та конорм.
Трикутною нормою (t-нормою)називається бінарна операція (двомісна дійсна функція)
1. Обмеженість: .
2. Монотонність: .
3. Комутативність: .
4. Асоціативність: .
Приклади трикутних норм
min( μ A ,μ B)
твір, добуток μ A ·μ B
max(0, μ A +μ B - 1).
Трикутною конормою(скорочено-конормою) називається двомісна дійсна функція
що задовольняє наступним умовам:
1. Обмеженість: .
2. Монотонність: .
3. Комутативність: .
4. Асоціативність: .
Трикутна конормає архімедовоїякщо вона безперервна
і для будь-кого нечіткої множинивиконано нерівність .
Вона називається строгою, якщо функціясуворо зменшується за обома аргументами.
Приклади t-конорм
max( μ A ,μ B)
μ A + μ B - μ A · μ B
min(1, μ A +μ B).
Прикладами трикутних конорм є такі оператори:
Трикутна норма Tта трикутна конорма Sназиваються додатковими бінарними операціями, якщо
T( a,b) + S(1 − a,1 − b) = 1
Найбільшою популярністю теорії Заде користуються три пари додаткових трикутних норм і конорм.
1) Перетин та об'єднання по Заді:
T Z(a,b) = min( a,b}, S Z(a,b) = max( a,b}.
2) Перетин та об'єднання по Лукасевичу:
3) Імовірнісний перетин та об'єднання:
Оператори доповнення
В теорії нечітких множиноператор доповнення не єдиний.
Крім загальновідомого
існує цілийнабір операторів доповнення нечіткої множини.
Нехай поставлене деяке відображення
.
Це відображеннябуде називатися оператором заперечення в теорії нечітких множин, якщо виконуються такі умови:
Якщо крім цього виконуються умови:
(3) - суворо спадаюча функція
(4) - безперервна функція
то вона називається суворим запереченням.
Функціяназивається сильним запереченнямабо інволюцією, якщо поряд з умовами (1) та (2) для неї справедливо:
(5) 
.
Наведемо приклади функції заперечення:
Класичне заперечення: .
Квадратичне заперечення: 
.
Заперечення Сугено: .
Доповнення порогового типу: 
.
Будемо називати будь-яке значення, для котрого , рівноважною точкою. Для будь-якого безперервного заперечення існує єдина рівноважна точка.
Нечіткі числа
Нечіткі числа- нечіткі змінні, визначені числової осі, тобто. нечітка кількість визначається як нечітка множина Ана безлічі дійсних чисел ℝ з функцією належності μ А(х) ϵ , де х- дійсне число, тобто. х ϵ ℝ.
Нечітка кількість А нормально,якщо тах μ А(x) = 1; опукле,якщо для будь-яких х ≤ у ≤ zвиконується
μ А (х) ≥ μ А(у) ˄ μ A(z).
Безліч α -рівня нечіткого числа Авизначається як
Аα = {x/μ α (x) ≥ α } .
Підмножина S A⊂ ℝ називається носієм нечіткого числа А,якщо
S A = { x/μ A (x)> 0 }.
Нечітка кількість А унімодально,якщо умова μ А(х) = 1 справедливо лише однієї точки дійсної осі.
Випукло нечітке число Аназивається нечітким нулем,якщо
μ А (0) = sup ( μ A(x)).
Нечітка кількість А позитивно,якщо ∀ xϵ S A , х> 0 та негативно,якщо ∀ х ϵ S A , х< 0.
Нечіткі числа (L-R)-Типу
Нечіткі числа (L-R)-типу - це різновид нечітких чисел спеціального виду, тобто. що задаються за певними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції належності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід'ємних дійсних чисел функцій дійсного змінного L( x) та R( x), що задовольняють властивостям:
а) L(- x) = L ( x), R(- x) = R( x);
б) L(0) = R(0).
Очевидно, що до класу (L-R)-функцій відносяться функції, графіки яких мають вигляд, наведений на рис. 1.7.
Мал. 1.7. Можливий вид (L-R)-функцій
Прикладами аналітичного завдання (L-R)-функцій можуть бути
Нехай L( у)і R( у) - функції (L-R)-типу (конкретні). Унімодальна нечітка кількість Аз модою а(Тобто. μ А(а) = 1) за допомогою L( у)і R( у) задається наступним чином:
де а – мода; α > 0, β > 0 - лівий та правий коефіцієнти нечіткості.
Таким чином, при заданих L( у)і R( у) нечітке число (унімодальне) задається трійкою А = (а, α, β ).
Толерантне нечітке число задається відповідно четвіркою параметрів А = (a 1 , а 2 , α, β ), де а 1 та а 2 – межі толерантності, тобто. у проміжку [ a 1 , а 2] значення функції власності дорівнює 1.
Приклади графіків функцій належності нечітких чисел (L-R)-типу наведено на рис. 1.8.
Мал. 1.8. Приклади графіків функцій належності нечітких чисел (L-R)-типу
Зазначимо, що у конкретних ситуаціях функції L (у), R (у),а також параметри а, β нечітких чисел (а, α, β ) та ( a 1 , а 2 , α, β ) повинні підбиратися таким чином, щоб результат операції (додавання, віднімання, поділу і т.д.) був точно або приблизно дорівнює нечіткому числу з тими ж L (у)та R (у),а параметри α" і β" результату не виходили за межі обмежень на ці параметри для вихідних нечітких чисел, особливо якщо результат надалі братиме участь в операціях.
Зауваження. Розв'язання задач математичного моделювання складних систем із застосуванням апарату нечітких множин вимагає виконання великого обсягу операцій над різного роду лінгвістичними та іншими нечіткими змінними. Для зручності виконання операцій, а також для введення-виведення та зберігання даних, бажано працювати з функціями приналежності стандартного виду.
Нечіткі множини, якими доводиться оперувати в більшості завдань, є, як правило, унімодальними та нормальними. Одним із можливих методів апроксимації унімодальних нечітких множин є апроксимація за допомогою функцій (L-R)-типу.
Приклади (L-R)-уявлень деяких лінгвістичних змінних наведено в табл. 1.2.
Таблиця 1.2. Можливе (L-R)-подання деяких лінгвістичних змінних
Нечіткі відносини
Нечіткі відносиниграють фундаментальну роль теорії нечітких систем. Апарат теорії нечітких відносинвикористовується під час побудови теорії нечітких автоматів, при моделюванні структури складних систем, під час аналізу процесів прийняття рішень.
Основні визначення
Теорія нечітких відносинзнаходить також додатоку завданнях, у яких зазвичай застосовується теорія традиційних (чітких) відносин. Як правило, апарат теорії чітких відносин використовується при якісному аналізі взаємозв'язків між об'єктами досліджуваної системи, коли зв'язки мають дихотомічний характер і можуть бути інтерпретовані в термінах " зв'язокприсутній", " зв'язоквідсутня", або коли методи кількісного аналізу взаємозв'язків з яких-небудь причин непридатні і взаємозв'язки штучно призводять до дихотомічного вигляду. Наприклад, коли величина зв'язку між об'єктами набуває значення з рангової шкали, вибір порога на силу зв'язку дозволяє перетворити зв'язокдо потрібного вигляду. Однак, подібний підхід, дозволяючи проводити якісний аналізсистем призводить до втрати інформації про силу зв'язків між об'єктами або вимагає проведення обчислень при різних порогах на силу зв'язків. Цього недоліку позбавлені методи аналізу даних, що ґрунтуються на теорії нечітких відносин, які дозволяють проводити якісний аналізсистем з урахуванням відмінності у силі зв'язків між об'єктами системи.
Звичайне нерозмите - арне ставленнявизначається як підмножинадекартова твори множин
Подібно до нечіткої множини, нечітке ставлення можна встановити за допомогою його функції приладдя
де в загальному випадку вважатимемо, що - це повна дистрибутивна решітка. Таким чином, - це частково впорядкована множина, в якій будь-яка непуста підмножинамає найбільшу нижню та найменшу верхню граніі операції перетинута об'єднання задовольняють законам дистрибутивності. всі операціїнад нечіткими відносинамивизначаються з допомогою цих операцій з . Наприклад, якщо взяти обмежену кількість речових чисел, то операціями перетину і об'єднання будуть, відповідно, операціїі , і ці операціїбудуть визначати та операціїнад нечіткими відносинами.
Якщо безлічіі кінцеві, нечітке ставленняміж і можна уявити за допомогою його матриці відносини, першому рядку та першому стовпцю якої ставляться у відповідність елементи множин і , а на перетині рядка та стовпця міститься елемент (див. табл.2.1).
| Таблиця 2.1. | ||||
| 0,5 | 0,8 | |||
| 0,7 | 0,6 | 0,3 | ||
| 0,7 | 0,4 |
У випадку, коли безлічіі збігаються, нечітке ставленняназивають нечітким ставленням на безлічі X.
У разі кінцевих чи рахункових універсальних множиночевидна інтерпретація нечіткого відношенняу вигляді зваженого графа, в якому кожна пара вершин з'єднується ребром з вагою.
приклад. Нехай 
і 
тоді нечіткий граф, зображений на рис. 2.1, задає деяке нечітке ставлення .
Мал. 2.1.
Властивості нечітких відносин
Різні типи нечітких відносинвизначаються за допомогою властивостей, аналогічних властивостям звичайних відносин, причому нечітких відносинможна вказати різні способи узагальнення цих властивостей.
1. Рефлексивність:
2. Слабка рефлексивність:
3. Сильна рефлексивність:
4. Антирефлексивність:
5. Слабка антирефлексивність:
6. Сильна антирефлексивність:
7. Симетричність:
8. Антисиметричність:
9. Асиметричність:
10. Сильна лінійність:
11. Слабка лінійність:
12. Транзитивність:
Проекції нечітких відносин
Важливу роль теорії нечітких множин грає поняття проекції нечіткого відношення. Дамо визначення проекції бінарного нечіткого відношення.
Нехай - функція приналежності нечіткого відношенняв. Проекції і відносини на і - є безлічів і з функцією приналежності виду
Умовною проекцією нечіткого відношенняна, при довільному фіксованому, називається безліч з функцією належності виду.
Аналогічно визначається умовна проекціяна при заданому:
З цього визначення видно, що проекції не впливають на умовні проекції і відповідно. Дамо далі визначення, що враховує їхній взаємозв'язок.
Розглянемо деякі методи "м'яких" обчислень, які наразі не отримали широкого поширення в бізнесі. Алгоритми та параметри цих методів значно менше детерміновані порівняно з традиційними. Поява концепцій "м'яких" обчислень була викликана спробами спрощеного моделювання інтелектуальних та природних процесів, які багато в чому мають випадковий характер.
Нейронні мережі використовують сучасне уявлення про будову та функціонування мозку. Вважається, що мозок складається з найпростіших елементів - нейронів, з'єднаних між собою синапсами, через які вони обмінюються сигналами.
Основна перевага нейронних мереж полягає у здатності вчитися на прикладах. Найчастіше навчання є процес зміни вагових коефіцієнтів синапсів за певним алгоритмом. При цьому зазвичай потрібно багато прикладів і багато циклів навчання. Тут можна провести аналогію з рефлексами собаки Павлова, у якої слиновиділення по дзвінку теж почало з'являтися не відразу. Зазначимо лише, що найскладніші моделі нейронних мереж набагато порядків простіше мозку собаки; та циклів навчання потрібно значно більше.
Застосування нейронних мереж виправдано тоді, коли неможливо побудувати точну математичну модель об'єкта, що досліджується, або явища. Наприклад, продажі у грудні, як правило, більше, ніж у листопаді, але немає формули, за якою можна порахувати, наскільки вони будуть більшими цього року; для прогнозування обсягу продажів можна навчити нейронну мережу на прикладах попередніх років.
Серед недоліків нейронних мереж можна назвати: тривалий час навчання, схильність до підстроювання під навчальні дані та зниження узагальнюючих здібностей із зростанням часу навчання. Крім того, неможливо пояснити, яким чином мережа приходить до того чи іншого розв'язання задачі, тобто нейронні мережі є системами категорії "чорна скринька", тому що функції нейронів та ваги синапсів не мають реальної інтерпретації. Тим не менш, існує маса нейромережевих алгоритмів, в яких ці та інші недоліки так чи інакше нівельовані.
У прогнозуванні нейронні мережі використовуються найчастіше за найпростішою схемою: як вхідні дані в мережу подається попередньо оброблена інформація про значення прогнозованого параметра за кілька попередніх періодів, на виході мережа видає прогноз на наступні періоди - як у вищезгаданому прикладі з продажами. Існують і менш очевидні методи отримання прогнозу; нейронні мережі - дуже гнучкий інструмент, тому існує безліч кінцевих моделей самих мереж та варіантів їх застосування.
Ще один метод – генетичні алгоритми. У основі лежить спрямований випадковий пошук, тобто спроба моделювання еволюційних процесів у природі. У базовому варіанті генетичні алгоритми працюють так:
1. Розв'язання задачі подається у вигляді хромосоми.
2. Створюється випадковий набір хромосом – це початкове покоління рішень.
3. Вони обробляються спеціальними операторами репродукції та мутації.
4. Проводиться оцінка рішень та його селекція з урахуванням функції придатності.
5. Виводиться нове покоління рішень і цикл повторюється.
В результаті з кожною епохою еволюції знаходяться досконаліші рішення.
При використанні генетичних алгоритмів аналітик не потребує апріорної інформації про природу вихідних даних, про їхню структуру тощо.
У прогнозуванні генетичні алгоритми рідко використовуються безпосередньо, оскільки складно вигадати критерій оцінки прогнозу, тобто критерій відбору рішень, - при народженні неможливо визначити, ким стане людина - космонавтом або алконавтом. Тому зазвичай генетичні алгоритми є допоміжним методом - наприклад, при навчанні нейронної мережі з нестандартними активаційними функціями, при яких неможливе застосування градієнтних алгоритмів. Тут як приклад можна назвати MIP-мережі, що успішно прогнозують, здавалося б, випадкові явища - кількість плям на сонці та інтенсивність лазера.
Ще один метод - нечітка логіка, що моделює процеси мислення. На відміну від бінарної логіки, що вимагає точних та однозначних формулювань, нечітка пропонує інший рівень мислення. Наприклад, формалізація затвердження "продажу минулого місяця були низькими" в рамках традиційної двійкової або "бульової" логіки вимагає однозначного розмежування понять "низькі" (0) та "високі" (1) продажі. Наприклад, продажі рівні або більші за 1 мільйон шекелів - високі, менші - низькі.
Постає питання: чому продажі на рівні 999 999 шекелів вже вважаються низькими? Вочевидь, що це зовсім коректне твердження. Нечітка логіка оперує м'якшими поняттями. Наприклад, продажі на рівні 900 тис. шекелів будуть вважатися високими з рангом 0,9 і низькими з рангом 0,1.
У нечіткій логіці завдання формулюються в термінах правил, що складаються з сукупностей умов та результатів. Приклади найпростіших правил: "Якщо клієнтам дали скромний термін кредиту, то продаж буде так собі", "Якщо клієнтам запропонували пристойну знижку, то продаж буде непоганий".
Після постановки завдання у термінах правил чіткі значення умов (термін кредиту на днях і розмір знижки у відсотках) перетворюються на нечітку форму (великий, маленький тощо. буд.). Потім проводиться їх обробка за допомогою логічних операцій та зворотне перетворення до числових змінних (прогнозований рівень продажу в одиницях продукції).
Порівняно з ймовірнісними методами нечіткі дозволяють різко скоротити обсяг обчислень, але зазвичай не підвищують їх точність. Серед недоліків таких систем можна назвати відсутність стандартної методики конструювання, неможливість математичного аналізу традиційними методами. Крім того, у класичних нечітких системах зростання числа вхідних величин призводить до експоненційного зростання числа правил. Для подолання цих та інших недоліків, як і у разі нейронних мереж, існує безліч модифікацій нечітко-логічних систем.
В рамках методів "м'яких" обчислень можна виділити так звані гібридні алгоритми, що включають кілька різних складових. Наприклад, нечітко-логічні мережі, або нейронні мережі, що вже згадувалися, з генетичним навчанням.
У гібридних алгоритмах, як правило, має місце синергетичний ефект, при якому недоліки одного методу компенсуються перевагами інших, і підсумкова система показує результат, недоступний жодному компоненту окремо.
fuzzy logics systems) можуть оперувати з неточною якісною інформацією та пояснювати прийняті рішення, але не здатні автоматично засвоювати правила їх виведення. Внаслідок цього, дуже бажана їхня кооперація з іншими системами обробки інформації для подолання цього недоліку. Подібні системи зараз активно використовуються в різних галузях, таких як контроль технологічних процесів, конструювання, фінансові операції, оцінка кредитоспроможності, медична діагностика та ін Нейронні мережі використовуються тут для налаштування функцій належності нечітких систем прийняття рішень. Така їхня здатність особливо важлива при вирішенні економічних та фінансових завдань, оскільки внаслідок їх динамічної природи функції належності неминуче повинні адаптуватися до умов, що змінюються.Хоча нечітка логіка може явно використовуватися для подання знань експерта за допомогою правил для лінгвістичних зміннихзазвичай потрібно дуже багато часу для конструювання та налаштування функцій приналежності, які кількісно визначають ці змінні. Нейромережні методи навчання автоматизують цей процес і суттєво скорочують час розробки та витрати на неї, покращуючи при цьому параметри системи. Системи, які використовують нейронні мережі визначення параметрів нечітких моделей, називаються нейронными нечіткими системами. Найважливішою властивістю цих систем є їх інтерпретованість у термінах нечітких правил if-then.
Подібні системи називаються також кооперативними нейронними нечіткими системами і протиставляються конкурентним нейронним нечітким системам, у яких нейронні мережі та нечіткі системи працюють разом над рішенням однієї й тієї ж завдання, не взаємодіючи одна з одною. При цьому нейронна мережа зазвичай використовується для передобробки входів або для постобробки виходів нечіткої системи.
Крім них є також нечіткі нейронні системи. Так називаються нейронні мережі, що використовують методи нечіткості для прискорення навчання та покращення своїх характеристик. Це може досягатися, наприклад, використанням нечітких правил зміни темпу навчання або ж розглядом нейронних мереж з нечіткими значеннями входів.
Існує два основних підходи до управління темпом навчання персептрону методом зворотного розповсюдження помилки. При першому цей темп одночасно і поступово зменшується для всіх нейронів мережі залежно від одного глобального критерію - досягнутої середньоквадратичної похибки на вихідному шарі. При цьому мережа швидко навчається на початковому етапі навчання та уникає осциляцій помилки на пізньому. У другому випадку оцінюються зміни окремих міжнейронних зв'язків. Якщо двох наступних кроках навчання інкременти зв'язків мають протилежний знак, то розумно зменшити відповідний локальний темп - інакше його слід збільшити. Використання нечітких правил може забезпечити акуратніше управління локальними темпами модифікації зв'язків. Зокрема це може бути досягнуто, якщо в якості вхідних параметрів цих правил використовувати послідовні значення градієнтів помилки. Таблиця відповідних правил може мати, наприклад, такий вигляд:
| Попередній градієнт | Поточний градієнт | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| NB | NS | Z | PS | PB | |
| NB | PB | PS | Z | NS | NB |
| NS | NS | PS | Z | NS | NB |
| Z | NB | NS | Z | NS | NB |
| PS | NB | NS | Z | PS | NS |
| PB | NB | NS | Z | PS | PB |
Лінгвістичні змінні Темп Навчання та Градієнт приймають в таблиці, що ілюструється, нечіткому правилі адаптації наступні значення: NB - великий негативний; NS – малий негативний; Z – близький до нуля; PS – малий позитивний; PB – великий позитивний.
Нарешті, в сучасних гібридних нейронних нечітких системах нейронні мережі та нечіткі моделі комбінуються в єдину гомогенну архітектуру. Такі системи можуть інтерпретуватися або як нейронні мережі з нечіткими параметрами або як паралельні розподілені нечіткі системи.
Елементи нечіткої логіки
Центральним поняттям нечіткої логіки є поняття лінгвістичної змінної. Відповідно до Лотфі Заде лінгвістичною називається змінна, значеннями якої є слова чи речення природної чи штучної мови. Прикладом лінгвістичної змінної є, наприклад, падіння виробництва, якщо вона набуває не числові, а лінгвістичні значення, такі як, наприклад, незначне, помітне, суттєве та катастрофічне. Очевидно, що лінгвістичні значення нечітко характеризують існуючу ситуацію. Наприклад, падіння виробництва на 3% можна розглядати і як певною мірою незначне, і як певною мірою помітне. Інтуїтивно ясно, що міра того, що дане падіння є катастрофічним, має бути дуже малим.
В основі нечіткої логікилежить теорія нечітких множин, викладена серії робіт Л. Заде в 1965-1973 роках. Математична теорія нечітких множин (fuzzy sets) та нечітка логіка (fuzzy logic) є узагальненнями класичної теорії множин та класичної формальної логіки. Основною причиною появи нової теорії стала наявність нечітких і наближених міркувань в описах людиною процесів, систем, об'єктів.
Л. Заде, формулюючи це головне властивість нечітких множин, базувався на працях попередників. На початку 1920-х років польський математик Лукашевич працював над принципами багатозначної математичної логіки, в якій значеннями предикатів могли бути не лише «істина» чи «брехня». У 1937 році ще один американський вчений М. Блек вперше застосував багатозначну логіку Лукашевича до списків як множин об'єктів і назвав такі множини невизначеними.
Нечітка логіка як науковий напрямок розвивалася непросто, не уникла вона і звинувачень у лженауковості. Навіть у 1989 році, коли приклади успішного застосування нечіткої логіки в обороні, промисловості та бізнесі обчислювалися десятками, Національне наукове товариство США обговорювало питання про вилучення матеріалів з нечітких множин з інститутських підручників.
Перший період розвитку нечітких систем (кінець 60-х – початок 70-х рр.) характеризується розвитком теоретичного апарату нечітких множин. У 1970 році Беллман разом із Заде розробили теорію прийняття рішень у нечітких умовах.
У 70-80 роки (другий період) з'являються перші практичні результати в галузі нечіткого керування складними технічними системами (парогенератор з нечітким керуванням). І. Мамдані в 1975 році спроектував перший контролер, що функціонує на основі алгебри Заде, керуючий паровою турбіною. Одночасно почала приділяти увагу питанням створення експертних систем, побудованих на нечіткій логіці, розробці нечітких контролерів. Нечіткі експертні системи для підтримки прийняття рішень знайшли широке застосування у медицині та економіці.
Нарешті, у третьому періоді, що триває з кінця 80-х років і триває нині, з'являються пакети програм для побудови нечітких експертних систем, а сфери застосування нечіткої логіки помітно розширюються. Вона застосовується в автомобільній, аерокосмічній та транспортній промисловості, у галузі виробів побутової техніки, у сфері фінансів, аналізу та прийняття управлінських рішень та багатьох інших. Крім того, чималу роль у розвитку нечіткої логіки відіграв доказ знаменитої теореми FAT (Fuzzy Approximation Theorem) Б. Коско, в якій стверджувалося, що будь-яку математичну систему можна апроксимувати системою на основі нечіткої логіки.
Інформаційні системи, що базуються на нечітких множинах та нечіткій логіці, називають нечіткими системами.
Перевагинечітких систем:
· функціонування в умовах невизначеності;
· Оперування якісними та кількісними даними;
· Використання експертних знань в управлінні;
· Побудова моделей наближених міркувань людини;
· Стійкість при впливі на систему різноманітних обурень.
Недолікаминечітких систем є:
· Відсутність стандартної методики конструювання нечітких систем;
· Неможливість математичного аналізу нечітких систем існуючими методами;
· Застосування нечіткого підходу в порівнянні з імовірнісним не призводить до підвищення точності обчислень.
Теорія нечітких множин.Головна відмінність теорії нечітких множин від класичної теорії чітких множин полягає в тому, що якщо для чітких множин результатом обчислення характеристичної функції можуть бути тільки два значення - 0 або 1, то для нечітких множин ця кількість нескінченна, але обмежена діапазоном від нуля до одиниці.
Нечітка безліч.Нехай U - так зване універсальне безліч, з елементів якого утворені всі інші множини, що розглядаються в даному класі завдань, наприклад, безліч всіх цілих чисел, безліч всіх гладких функцій і т.д. Характеристична функція множини – це функція , значення якої вказують, чи є елементом множини A:
Теоретично нечітких множин характеристична функція називається функцією приналежності, та її значення – ступенем приналежності елемента x нечіткому множині A.
Суворіше: нечітким безліччю A називається сукупність пар
де – функція власності, тобто 
Нехай, наприклад, U = (a, b, c, d, e), . Тоді елемент a не належить множині A, елемент b належить йому малою мірою, елемент c більш-менш належить, елемент d належить значною мірою, e є елементом множини A.
приклад. Нехай Універсум U є безліч дійсних чисел. Нечітка множина A, що позначає множину чисел, близьких до 10, можна задати наступною функцією приналежності (рис. 21.1):
,
