დასაკეცი სუპერპოზიციის ფუნქცია. ფუნქციების სუპერპოზიცია. მონოტონური ლოგიკური ფუნქციები
ფუნქცია f, რომელსაც მხარს უჭერს ფუნქცია f 1 , f 2 ... f n არგუმენტების ჩანაცვლების და გადარქმევის დამატებითი ოპერაციით, ე.წ. სუპერპოზიცია ფუნქციები.
ნებისმიერი ფორმულა, რომელიც გამოხატავს ფუნქციას, როგორც სხვა ფუნქციების სუპერპოზიცია, განსაზღვრავს მისი გამოთვლის მეთოდს, ასე რომ ფორმულა შეიძლება გამოითვალოს მისი ქვეფორმულების მნიშვნელობების გამოთვლით. ფორმულის მნიშვნელობები შეიძლება გამოითვალოს ორმაგი მნიშვნელობების მოცემული ნაკრების გამოყენებით.
კანის ფორმულის მიხედვით, შეგიძლიათ განაახლოთ ლოგიკური ფუნქციების ცხრილი, მაგრამ შეცდომით, იმიტომ კანის ლოგიკური ფუნქციები შეიძლება გამოვლინდეს სხვადასხვა ფორმულებში სხვადასხვა ბაზაში
F i და F j ფორმულები, რომლებიც წარმოადგენს ერთსა და იმავე ლოგიკურ ფუნქციას f i ეწოდება ექვივალენტი . ასე რომ, ექვივალენტური ფორმულებით:
1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);
2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= u(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);
3. f 8 (x 1 ; x 2) = (x 1 × x 2) = u (x 1 Úx 2) = (x 1 x 2);
4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;
5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×` x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 "x 2);
6. f 13 (x 1 ;x 2) = (`x 1 Úx 2) = (x 1 ®x 2).
თუ ფორმულა F არის F i ქვეფორმულა, მაშინ F i ეკვივალენტური F j-ით ჩანაცვლება არ ცვლის F ფორმულის მნიშვნელობას ლოგიკური ვექტორების რომელიმე ნაკრებისთვის, არამედ ცვლის მისი აღწერის ფორმას. ფორმულა F' კვლავ განისაზღვრება F ფორმულის ექვივალენტურად.
ლოგიკური ფუნქციის ალგებრის რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად, შეერთება ექვივალენტური გარდაქმნები , ლოგის ალგებრის ვიკორისტური კანონები ჩანაცვლების წესები і ცვლილება ,
ბულის ალგებრის ფორმულების წერისას გახსოვდეთ:
· მარცხენა მკლავების რაოდენობა უდრის მარჯვენა მკლავების რაოდენობას,
· ორი ლოგიკური კავშირი არ არსებობს, ამიტომ მათ შორის ფორმულაა დამნაშავე,
· არ არის ორი შეკვეთა ვარტიჩის ფორმულებიმაშინ მათ შორის არის ლოგიკური კავშირი,
· ლოგიკური კავშირი "×" უფრო ძლიერია ვიდრე ლოგიკური კავშირი "Ú",
· თუ „ù“ დაემატება ფორმულას (F 1 ×F 2) ან (F 1 Ú F 2), მაშინ უპირველეს ყოვლისა დე მორგანის კანონის დამახინჯება: ù(F 1 ×F 2) = `F 1 Ú ` F 2 ან ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;
· Ოპერაცია " × ” უფრო ძლიერია ვიდრე ”Ú”, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაწიოთ მკლავები.
კონდახი: ფორმულის ვიკონატი ეკვივალენტური გადაწყობა F = x 1 x x 2 x 3 x x 4 Ú x 1 x x 3 Ú x 2 x x 3 Ú x 3 x 4.
· კომუტატიურობის კანონის მიღმა:
F = x 3 × x 1 × x 2 × 4 Úx 3 × 1 Úx 3 × 2 Úx 3 × 4;
· განაწილების კანონის მიღმა:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);
· განაწილების კანონის მიღმა:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);
· განაწილების კანონის მიღმა:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×` x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));
· დე მორგანის კანონის მიღმა:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));
· პროტირიჩის კანონის მიღმა:
ამრიგად x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 1 x x 3 Ú x 2 x x 3 Úx 3 x x 4 = x 3.
კონდახი: Viconati ფორმულის რეფორმულირება
F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2) );
· დე მორგანის კანონის მიღმა
F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ú`x 2) Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Úx 2)×(x 1 2);
· განაწილების კანონის მიღმა:
F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 Úx 1 ×x 2;
· კომუტატიურობისა და განაწილების კანონების მიღმა:
F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);
· პროტირიჩის კანონის მიღმა:
F = x 1 × x 2 Úx 1;
· პორეცკის კანონის მიღმა
ამ თანმიმდევრობით (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 )= (x 2 Úx 1).
კონდახი:ვიკონატი ფორმულის F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2) ფორმულის რეფორმულირება.
· დე მორგანის კანონის მიღმა:
F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);
· დე მორგანის კანონის მიღმა:
F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);
· დე მორგანის კანონის მიღმა:
F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);
· განაწილების კანონის მიღმა:
F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2;
· დაიცავით კანონი:
Ამ გზით?
კონდახი: ვიკონატის ხელახლა შექმნილი ფორმულა:
F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 U`x 4)Ú(x 1 x 2)×ù(x 3 x 4).
1) გადაიყვანეთ ფორმულა ლოგის ალგებრის საფუძვლად:
F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);
2) ჩაწიეთ „`“ ნიშანი ორმაგად:
F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);
3) ფორმულის გარდაქმნა განაწილების კანონის გამოყენებით:
F = x 1 × x 2 × x 3 Úx 1 × x 2 × x 4 Ú x 1 × x 2 × x 3 Ú x 1 × x 2 × x 4;
4) დაადანაშაულეთ მშვილდი `x2 განაწილების კანონში:
F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 x`x 4);
5) გარდაქმნას იგი განაწილების კანონის მიხედვით:
F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));
6) vikoristovyvat protirіchchya კანონი:
F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)
ლოგიკური ფუნქციების ძალა
კვება ხშირად ჩნდება: შეიძლება თუ არა ლოგიკური ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს f 0 , f 1, .. f 15 ფორმულების სუპერპოზიციით? ამ ფორმულების სხვა სუპერპოზიციის მიღმა რაიმე ლოგიკური ფუნქციის ფორმირების შესაძლებლობის შესაფასებლად აუცილებელია მათი ძალა და გონებრივი სიცოცხლისუნარიანობის ფუნქციურად შეფასება. ახალი სისტემები.
თვითმავალი ლოგიკური ფუნქციები
თვითმავალი , თუ f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…` x n).
მაგალითად, ფუნქციები f 3 (x 1 ;x 2) = x 1 , f 5 (x 1 ; x 2) = x 2 , f 10 (x 1 ; x 2) = `x 2 და f 12 (x 1 ; x 2)=`x 1 არის თვითმყოფადი, რადგან როდესაც თქვენ ცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას, ისინი იცვლიან მნიშვნელობას.
ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც გამოყოფილია სუპერპოზიციის დამატებითი მოქმედებით თვითგაორმაგებული ლოგიკური ფუნქციებით, თავისთავად გაორმაგებულია. ამიტომ, თვითშეზღუდული ლოგიკური ფუნქციების არარსებობა არ იძლევა თვითშეზღუდული ფუნქციების ფორმირების საშუალებას.
მონოტონური ლოგიკური ფუნქციები
ფუნქცია f(x 1; x 2; … x n) ეწოდება ერთფეროვანი , რადგან კანისთვის s 1i £s 2i ლოგიკური ვექტორებისთვის (s 11 ; s 12 ;……; s 1n) i (s 21 ;s 22 ;……; ;s 1i ;…;s 1n) £f(s 21 ; s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).
მაგალითად, ფუნქციისთვის f(x 1 ; x 2) მონოტონური ფუნქციები e:
თუ (0; 0) £ (0; 1), მაშინ f(0; 0) £ f (0; 1),
თუ (0; 0) £ (1; 0), მაშინ f(0; 0) £ f(1; 0),
თუ (0; 1) £ (1; 1), მაშინ f(0; 1) £ f(1; 1),
თუ (1; 0) £ (1; 1), მაშინ f(1; 0) £ f(1; 1).
ასეთი გონება კმაყოფილია შემდეგი ფუნქციებით:
f 0 (x 1; x 2) = 0; f 1 (x 1 ; x 2) = (x 1 × x 2); f 3 (x 1; x 2) = x 1; f 5 (x 1; x 2) = x 2; f 7 (x 1; x 2) = (x 1 Úx 2); f 15 (x 1; x 2) = 1.
არის თუ არა ფუნქცია გამოყოფილი მონოტონური ლოგიკური ფუნქციების სუპერპოზიციის დამატებითი მოქმედებით, თავისთავად მონოტონურია. ამიტომ, ერთფეროვანი ფუნქციების არარსებობა არ იძლევა არაერთფეროვანი ფუნქციების ჩამოყალიბების საშუალებას.
წრფივი ლოგიკური ფუნქციები
ჟეგალკინის ალგებრა, რომელიც ფართოვდება F 4 = (×; Å; 1) საფუძველზე, საშუალებას აძლევს ნებისმიერი ლოგიკური ფუნქცია იყოს წარმოდგენილი მრავალწევრით, რომლის წევრი არის ლოგიკური ვექტორის I ლოგიკური ცვლადების შეერთება 0£i-ს შორის. £ n:
P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 j j k £ n b j ×x j ×x k Å…… 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... ×x n.
მაგალითად, ლოგიკური ფუნქციებისთვის f 8 (x 1 ; x 2)
ჟეგალკინის პოლინომი ასე გამოიყურება: P(x 1 ; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2 .
ჟეგალკინის ალგებრის უპირატესობები მდგომარეობს ლოგიკური ფორმულების „არითმეტიზაციაში“, ხოლო ნაკლოვანებები მდგომარეობს სირთულეში, განსაკუთრებით ორმაგი ცვლილებების დიდი რაოდენობით.
ჟეგალკინის პოლინომები, რომლებიც ცვლიან ორგანზომილებიანი ცვლადების შეერთებას, მაშინ. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n სახელი ხაზოვანი .
მაგალითად, f 9 (x 1 ; x 2) = 1Åx 1 Åx 2 ან f 12 (x 1 ; x 2) = 1Åx 1.
მოდულ 2-ში დამატებული ოპერაციის ძირითადი სიმძლავრე მითითებულია ცხრილში 1.18.
ვინაიდან ლოგიკური ფუნქცია მოცემულია ცხრილით და კანის საფუძვლის ფორმულით, მაშინ. ლოგიკური ფუნქციის მნიშვნელობის გათვალისწინებით ლოგიკური ცვლადების სხვადასხვა ნაკრებისთვის, მაშინ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ყველა
ჟეგალკინის მრავალწევრის b i კოეფიციენტები, რომელიც აერთიანებს წოდებების სისტემას ორმაგი ცვლადების ყველა ცნობილი სიმრავლისთვის.
კონდახი: მოცემულია ლოგიკური ფუნქცია f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2 . ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ჩანს ლოგიკური ცვლადების ყველა კომპლექტში.
F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;
ნიშნები ცნობილია b 0 = 0; b 1 = 1; b 2 = 1; b 3 =1.
ასევე, (x 1 Úx 2) = x 1 x 2 x 1 x 2, მაშინ დისიუნქცია არის არაწრფივი ლოგიკური ფუნქცია.
კონდახი: მოცემულია ლოგიკური ფუნქცია f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). ამ ფუნქციების მნიშვნელობა ასევე იგივეა ორმაგი შემცვლელების ყველა ნაკრებისთვის.
F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;
f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;
ვარსკვლავები ცნობილია b 0 = 1; b 1 = 1; b 2 = 0; b 3 =1.
ოტჟე, (x 1 ®x 2) = 1Å x 2 Å x 1 ×x 2.
ცხრილი 1.19 გვიჩვენებს ჟეგალკინის მრავალწევრებს ლოგიკური ფუნქციების ძირითადი წარმომადგენლებისთვის ცხრილიდან 1.15.
მას შემდეგ, რაც ლოგიკური ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატულება და მისი უცნობი მნიშვნელობა იქნება მოცემული ორმაგი ცვლადების სხვადასხვა სიმრავლისთვის, მაშინ შესაძლებელია ჟეგალკინის პოლინომის აგება, რომელიც სპირალურად გადადის შეკავშირებულ ალგებრაზე ლოგიკური საფუძველზე F 2 =(` ; ×):
მოდით f(x 1 ; x 2) = (x 1 Úx 2).
ტოდი (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=
(x 1 x 2 x 1 x 2).
მოდით f(x 1 ;x 2) = (x 1 ®x 2).
ტოდი (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1 = =(1Åx 1Åx 1×x2).
მოდით f(x 1; x 2) = (x 1 "x 2).
ტოდი (x 1 “x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=((( ( x 1 Å1) × (x 2 Å1)) Å1) × × (x 1 × x 2 Å) Å1 = (x 1 × x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1) × (x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 × x 2 Åx 1 × x 2 Åx 1 × x 2 Åx 1 Å
x 1 × x 2 Åx 2 Å1 = (1Åx 1 Åx 2).
ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც გამოყოფილია სუპერპოზიციის დამატებითი მოქმედებით წრფივი ლოგიკური ფუნქციებისაგან, თავისთავად წრფივია. ამიტომ, წრფივი ფუნქციების არარსებობა არ იძლევა არაწრფივი ფუნქციების ფორმირების საშუალებას.
1.5.6.4. ფუნქციები, რომლებიც შენახულია "0"
ფუნქციას f(x 1 ; x 2 ;...x n) ეწოდება შენახვა „0“, როდესაც დაყენებულია ორმაგი ცვლილების მნიშვნელობა (0; 0;...0), ფუნქცია იღებს f(0 მნიშვნელობას. ; 0;…0)=0.
მაგალითად, f 0 (0; 0) = 0, f 3 (0; 0) = 0, f 7 (0; 0) = 0 და in.
ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც ამოღებულია დამატებითი სუპერპოზიციის ოპერაციით ფუნქციით, რომელიც ინახავს „0“-ს, თავისთავად არის ფუნქცია, რომელიც ინახავს „0“-ს. ამიტომ, არცერთ ფუნქციას, რომელიც ინახავს „0“-ს, არ არის დაშვებული ფუნქციების ფორმატირება, რომლებიც არ ინახავს „0“-ს. ".
1.5.6.5. ფუნქციები, რომლებიც შენახულია "1"
ფუნქცია f(x 1 ; x 2 ;…x n) ეწოდება შენახვა „1“, რადგან ორმაგი ცვლილების მნიშვნელობების აკრეფით (1; 1;…1) ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას f(1;1;… 1)=1.
მაგალითად, f 1 (1; 1) = 1, f3 (1; 1) = 1, f 5 (1; 1) = 1 და in.
ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც გამოყოფილია სუპერპოზიციური ოპერაციით ფუნქციით, რომელიც ინახავს "1"-ს, ინახავს "1". ნებისმიერ ფუნქციას, რომელიც ინახავს "1"-ს, არ აქვს უფლება ჩამოაყალიბოს ფუნქციები, რომლებიც არ ინახავს "1".
ცალმხრივი (რომელიც არ ცვლის მეხსიერების ელემენტებს) დისკრეტული ლოგიკური მოწყობილობები გამოსავალზე ახორციელებენ ლოგიკური ალგებრის ფუნქციების გარკვეულ კომპლექტს. `F m =(ფ 1 ,ფ 2 ,…,F m), რომელიც ნებისმიერ დროს უნდა იყოს მხოლოდ შენობის შესასვლელის გარეთ x n =(x 1 , x 2 ,…, x n): `F m = `F m(`x n). პრაქტიკაში, ასეთი მოწყობილობები შექმნილია და დამზადებულია მრავალი განუყოფელი ელემენტისგან, რათა განხორციელდეს ერთი აკრეფის (სისტემა) ( ვ) ალგებრის ელემენტარული ფუნქციები ზოგიერთი ელემენტის გამოსავლების სხვათა შეყვანის შეერთებით.
აბაზანის დიზაინის დროს ლოგიკური მოწყობილობებიაქტუალურია კვება.
1. მითითებულია ელემენტარული ფუნქციების სისტემა ( ვ). რა არის გამომავალი ფუნქციები? ფ იშეგიძლიათ ამოიღოთ vikory ფუნქციები ( ვ}?
2. გამომავალი ლოგიკური ფუნქციები არ არის მითითებული ( ფ) (ზოკრემი, ტოლია ალგებრის ლოგიკის ყველა უპიროვნო ფუნქციასთან რ 2). რა არის ელემენტარული ფუნქციების გამომავალი სისტემა ( ვ), რომელიც უზრუნველყოფს გამრავლების ფუნქციიდან გამოსავლის ამოღების შესაძლებლობას ( ფ}?
ამ კვების წყაროსთან დაკავშირებული მიკროსქემისთვის გამოიყენება ფუნქციების სისტემების სუპერპოზიციის, დახურვისა და განმეორების ცნებები.
ვიზნაჩენნია.მოდით შევხედოთ უაზრო ლოგიკურ კავშირებს ( ფ), რომელიც მიუთითებს სიმღერის სისტემის ფუნქციაზე ( ვ} . სუპერპოზიცია დასრულდა{ვ) ეწოდება ფუნქციას j, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს ფორმულით მეტი ( ფ}.
სხვა სუპერპოზიცია შესაძლებელია ფუნქციის ჩანაცვლების შედეგად ( ვ) რადგან ფუნქციის არგუმენტები სრულიად უპიროვნოა.
კონდახი 1. მოდით შევხედოთ ფუნქციების სისტემას ( ვ} = {ვ 1 (X) =`x, f 2 (x, y)= X&y, f 3 (x, y)=XÚ y). ფუნქციის ჩანაცვლება ვ 3 (x, y) პირველი არგუმენტის ნაცვლად Xფუნქცია ვ 1 (X), მეორეს ჩანაცვლება - ვ 2 (x, y), ვაუქმებთ სუპერპოზიციას თ(x, y)=ვ 3 (ვ 1 (X), ვ 2 (x, y))=`xÚ X& ზე. ჩანაცვლების ფიზიკური განხორციელება მოცემულია ნახ. 1.18.
ვიზნაჩენნია.Წავედით მ- ლოგიკის ალგებრის უპიროვნო ფუნქციების ათწლეული ( პ 2). დასრულდა ყველა სუპერპოზიციის უპიროვნება მდაურეკა ჩაიბურტყუნაუპიროვნება მდა მითითებულია [ მ]. ოტრიმანია [ მ]გამომავალი ფაქტორის უკან მდაურეკა დახურვის ოპერაცია. ბეზლიჩი მდაურეკა ფუნქციურად დახურული კლასი, იაკშო [ მ] = მ. ქვემრავალჯერადი მÍ მდაურეკა ფუნქციურად ახალი სისტემა მ, იაკშო [ მ] = მ.
ზამიკანნია [ მ] არის ყველა უპიროვნო ფუნქცია, რომლიდანაც შეიძლება აღმოიფხვრას მსუპერპოზიციის მოქმედების გზით, მაშინ. ყველა შესაძლო ჩანაცვლება.
პატივისცემა. 1.ცხადია, იქნება ეს ფუნქციების სისტემა ( ვ) თავისთავად ფუნქციურად სრულია.
2 . სიძლიერის კომპრომისის გარეშე, მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რა არის იგივე ფუნქცია ვ(X)=x, რომელიც არ ცვლის ცვლილებების ჭეშმარიტების მნიშვნელობას, თავდაპირველად შედის ფუნქციების ნებისმიერი სისტემის საწყობში.
კონდახი 2. ქვემოთ განხილული ფუნქციების სისტემებისთვის ( ვ) ვიკონატი ასეთი ქმედებები:
1) იცოდე ხმა [ ვ],
2) z'yasuvati, chi იქნება სისტემა ( ვ) დახურული კლასი,
3) იცოდე ყველა სისტემის ფუნქციონალობა ( ვ}.
გადაწყვეტილება.
ᲛᲔ. ( ვ}={0} . იმ საათში, როდესაც ფუნქცია დაინსტალირებულია ( ვº 0) მაშინ ამას ჩემს თავს წავართმევ. ახალი ფუნქციები არ იქმნება. ვარსკვლავი ყვირის: [ ვ] = {ვ). სისტემა განიხილება, როგორც ფუნქციურად დახურული კლასი. სისტემა მასში არის ფუნქციურად ახალი და თანამედროვე მთელს ( ვ}.
ІІ. ( ვ} = {0,Ø } . ჩანაცვლება Ø (Ø X) იძლევა იგივე ფუნქციას, მაგრამ ფორმალურად არ აფართოებს გამომავალ სისტემას. თუმცა, Ø (0) ჩანაცვლებისას გამოვაკლებთ ერთსა და იმავე ერთეულს - ახალი ფუნქცია, რომელიც გამომავალ სისტემას არ გააჩნდა: Ø (0)=1 . სხვა პარამეტრების შეჩერებამ არ უნდა გამოიწვიოს ახალი ფუნქციების გამოჩენა, მაგალითად: ØØ 0 = 0, 0 (Ø X)=0.
ამგვარად, სუპერპოზიციის ოპერაციის დამყარებამ შესაძლებელი გახადა გარე უპიროვნო ფუნქციიდან მეტი თანაბარი ნაწილების ამოღება [ ვ]=(0,Ø ,1). Zvidsi viplyaet suvore შესვლა: ( ვ} Ì [ ვ]. ვიხიდნა სისტემა ( ვ) არ არის ფუნქციურად დახურული კლასი. თავად სისტემის კრემი ( ვ) მას არ გააჩნია სხვა ფუნქციურად მოწინავე სისტემები, მხოლოდ რამდენიმე მათგანი ასრულებს ერთ ფუნქციას f= 0-ის გამოკლება შეუძლებელია ჩანაცვლებით და იგივე ნულის გამოკლება შეუძლებელია იმავე ფუნქციიდან.
ІІІ. ( ვ) = (& ,Ú ,Ø ).ამ სისტემის დახურვა ყველა ალგებრული ლოგიკის ფუნქციაა. პ 2, ვინაიდან რომელიმე მათგანის ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს DNF ან CNF სახით, რომლებსაც აქვთ ელემენტარული ფუნქციები ( ვ) = (& ,Ú ,Ø). ეს ფაქტი განხილული ფუნქციების სისტემის სისრულის კონსტრუქციული დასტურია პ 2: [ვ]=P 2 .
ოსკოლკიში პ 2 ტარდება სხვა ფუნქციების გარეშე, დაქვემდებარებული ( ვ) = (& ,Ú ,Ø ), მაშინ შედეგი არის შემდეგი: ( ვ}Ì[ ვ]. სისტემა აღარ არის ფუნქციურად დახურული კლასი.
თავად სისტემის გარდა, ფუნქციურად მას ექნება ქვესისტემები ( ვ) 1 = (& ,Ø ) რომ ( ვ) 2 = (Ú, Ø). ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ დე მორგანის დამატებითი წესების გამოყენებით, ლოგიკური შეკრების ფუნქცია შეიძლება გამოიხატოს (& ,Ø) და ლოგიკური გამრავლების ფუნქციის & - მეშვეობით (Ú, Ø):
(X & ზე) = Ø (` XÚ` ზე), (X Ú ზე) = Ø ( X &`ზე).
სხვა ფუნქციურად მოწინავე ქვესისტემები ( ვ) არა.
ფუნქციის ქვესისტემის სისრულის შემოწმება ( ვ) 1 М ( ვ) მთელი სისტემისთვის ( ვ) შეიძლება შეირჩეს ნახვის გზით ( ვ) 1 მეორის წინ, აშკარად ისევ ( ვ) სისტემა.
ქვესისტემის შეუსაბამობა ( ვ) 1 in ( ვ) შეიძლება დადასტურდეს ჩანაწერის შევსებით [ ვ 1 ] М [ ვ].
ვიზნაჩენნია.ქვემრავალჯერადი მÍ მზარი ფუნქციური საფუძველი(საფუძველი)M სისტემა, იაკშო [ მ] = მდა მისგან რაიმე ფუნქციის გამორთვის შემდეგ, მისი ხელახლა გადაჭრა შეუძლებელია მ .
პატივისცემა. ფუნქციების სისტემის საფუძვლები (ვ)ყველა მათგანი ფუნქციურად მოწინავე ქვესისტემაა (ვ) 1, რომლის შეცვლა შეუძლებელია ფულის დახარჯვის გარეშე (ვ).
კონდახი 3. დანართ 2-ში განხილული ყველა სისტემისთვის შეგიძლიათ იცოდეთ საფუძველი.
გადაწყვეტილება.1 და 2 ტიპებში ფუნქციონირება განსხვავებულია, გარდა თავად სისტემებისა და მათი ჟღერადობა შეუძლებელია. ისე, ბაზის სუნი ასდის.
მე-3 შემთხვევაში არის ორი ფუნქციურად ახალი ( ვ) ქვესისტემები ( ვ) 1 = (&,Ø) და ( ვ) 2 =(Ú,Ø), რომლის დაჩქარება შეუძლებელია დროის დაკარგვის გარეშე. სუნი იქნება სისტემის საფუძველი ( ვ} = {&,Ú,Ø}.
ვიზნაჩენნია.გაუშვით სისტემა ( ვ) არის დახურული კლასი. ეს ქვედანაყოფი ( ვ) 1 М ( ვ) სახელი პირველი კლასი{ვ), იაკშჩო ( ვ) 1 არა ზუსტად ( ვ} ([ვ 1 ] М [ ვ]), და სისტემის ნებისმიერი ფუნქციისთვის ( ვ), არ შეხვიდეთ სანამ ( ვ) 1 (jО( ვ} \ {ვ) 1) მართალია: [ ჯÈ { ვ} 1 ] = [ვ], მაშინ. დამატება jk ( ვ) 1 ისევ იმუშაო ( ვ} .
ზავდანნია
1. შეამოწმეთ მულტიპლიკატორების დახურულობა ფუნქციებით:
ა) (Ø); ბ) (1, Ø); გ) ((0111); (10)); დ) ((11101110); (0110)); დ) ((0001); (00000001);
2. შეამოწმეთ სისტემის ფუნქციების სისრულე პ 2:
ა) (0,Ø); ბ) ((0101), (1010)); V) (?); დ) ((0001), (1010)).
3. გაარკვიეთ ფუნქციების სისტემის დახურვა და მისი საფუძველი:
ა) (0, 1, Ø); ბ) ((1000), (1010), (0101)); გ) ((0001), (1110), (10)); დ) ((1010), (0001), (0111)).
1.10.2 ფუნქციები, რომლებიც ინახავს მუდმივებს. კლასი T 0 და T 1
ვიზნაჩენნია.ფუნქცია ვ(`x n) ზოგავს 0, იაკშო ვ(0,..., 0) = 0. ფუნქცია ვ(`x n) ზოგავს 1, იაკშო ვ(1, ... , 1) = 1.
უპიროვნო ფუნქცია ნცვლადები, რომლებიც ზოგავს 0 და 1 ნიშნავს, ცხადია, თ 0 ნі თ 1 ნ. ლოგიკური ალგებრის ფუნქციების ყველა სიმრავლე, რომელიც ინახავს 0 და 1-ს , ნიშნავს თ 0 і თ 1 . კოჟნა ზ მნოჟინ თ 0 რომ თ 1 є დახურული წინა კლასი რ 2 .
ელემენტარული ფუნქციებით თ 0 რომ თ 1 შეიტანეთ ერთდროულად, მაგალითად, і Ú. ნებისმიერი ფუნქციის კუთვნილება კლასებში თ 0 , თ 1, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ვექტორის მნიშვნელობის პირველი და დარჩენილი მნიშვნელობები ჭეშმარიტების ცხრილში ან ფორმულაში ნულების და ერთის შეცვლით ანალიტიკურად მითითებული ფუნქციით.
ვიზნაჩენნია.Ორმაგიამას ეწოდება ჩანაცვლება, თუ ბევრი დამოუკიდებელი ცვლადის ნაცვლად, თქვენ ჩაანაცვლებთ იმავე ცვლადს ფუნქციაში. კომპლექტებში ცვლილებების სიდიდის გათვალისწინებით, რომლებიც ადრე ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად იძენენ მნიშვნელობებს, ახლა იგივე იქნება.
ზავდანია
1. შეამოწმეთ კლასების საკუთრება თ 0 і T 1ფუნქციები:
ა) რეგულარული შეკრება, ბ) რეგულარული გამრავლება, გ) მუდმივები, დ) xyÚ yzდ) X® ზე® xy, ე) XÅ ზედა) ( X 1 Å … Å Xო) ® ( წ 1 Å … Å წმ) ზე ნ,მÎ ნ.
2. მოიყვანეთ კანის სიახლოვე კლასებიდან თ 0 і თ 1 .
3. მოიტანე რაც გინდა ვ(`x n) Ï თ 0, შემდეგ მასთან ერთად, დუბლიკატი ჩანაცვლების გზის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოაკლოთ მუდმივი 1 ან ცვლა.
4. მოიყვანე რასაც გულისხმობ ვ(`x n) Ï თ 1 შემდეგ მასთან ერთად, დუბლიკატი ჩანაცვლების გზის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოკლოთ მუდმივი 0 ან ჩამოთვლა.
5. კანის ტონის გაუმჯობესება თ 0 і თ 1 (მაგალითად, განახლებული სისტემის განახლება ( ვ} = {& ,Ú ,Ø }).
6. იცოდე კლასების სიძლიერე თ 0 ნі თ 1 ნ.
თემა: „ფუნქცია: ცნებები, განხორციელების მეთოდები, ძირითადი მახასიათებლები. კარიბჭის ფუნქცია. ფუნქციების სუპერპოზიცია.
გაკვეთილის ეპიგრაფი:
„ახლავე ფრთა და არ ინერვიულო
vivchenim - აბსოლუტურად დაჩრდილულია.
თვინიერი ქიმოსზე გადახვევის გარეშე
წინასწარ აზროვნების საგანი -
კონფუცი.
მეტა და ფსიქოლოგიური და პედაგოგიური ინსტრუქციები გაკვეთილზე:
1) კულისებში განათება (ნორმატიული) მეტა: გაიმეორეთ მოსწავლეებთან ერთად ფუნქციების მნიშვნელობა და ძალა.გაეცანით ფუნქციების სუპერპოზიციის ცნებას.
2) მათემატიკური განვითარების დეპარტამენტი სტუდენტებისთვის: არასტანდარტულ ელემენტარულ-მათემატიკურ მასალაზე გააგრძელეთ სტუდენტების გონებრივი ცოდნის განვითარება, მათი მათემატიკური ინტელექტის შემეცნებითი სტრუქტურის ჩანაცვლება, მათ შორის ლოგიკურ-დედუქციური და ინდუქციური, ანალიტიკური და სინთეზური ეთიკური საპირისპირო აზროვნების დიაპაზონი, ალგებრული დაზუსტებამდე. რეფლექსია და დამოუკიდებლობა, როგორც სტუდენტების მეტაკოგნიტური უნარი; გააგრძელოს წერილობითი და ზეპირი კომუნიკაციის კულტურის, როგორც ელემენტარულ-მათემატიკური ინტელექტის ფსიქოლოგიური მექანიზმების განვითარება.
3) ვიხოვნი ზავოდნია: განაგრძეთ განსაკუთრებით მოსწავლეებში მათემატიკის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის აღძვრა, კომპეტენცია, ვალდებულების გრძნობა, აკადემიური დამოუკიდებლობა, კომუნიკაციური უნარები, ჯგუფთან, სტუდენტთან და თანატოლებთან მუშაობა; ავტოგოგიური წარმოშობა ზმაგალნიმდე ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები, ლოცვა მაღალი და დიდი შედეგებისთვის (აკმეიკური მოტივი)
გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის დანერგვა; მყარი მათემატიკური კურსის კრიტერიუმისთვის - პრაქტიკული გაკვეთილი; საგანმანათლებლო და პროდუქტის ინფორმაციული ურთიერთქმედების ტიპის კრიტერიუმის მიხედვით – გაკვეთილი განათლებაში.
გაკვეთილის ინსტრუქცია:
1. ძირითადი ლიტერატურა:
1) კუდრიავცევის მათემატიკური ანალიზი: ხელმძღვანელი. უნივერსიტეტებისა და უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის. U 3 t. T. 3. - მე-2 ვერსია, შესწორებული. დაამატე. - მ.: ვიშჩ. სკოლა, 1989. - 352გვ. : ავად.
2) დემიდოვიჩი პასუხისმგებელია მათემატიკური ანალიზზე. - მე-9 ტიპი. - მ.: ვიდავნიცვო "მეცნიერება", 1977 წ.
2. ილუსტრაციები.
გაკვეთილის პროგრესი.
1. გაოგნებული იმით და გაკვეთილის მთავარი განათებით; სტიმულირება მოსწავლეთა ვალდებულების, ავთენტურობისა და ინტერესის გრძნობით, როდესაც მომზადება სესიის წინ.
2.მასალის გამეორება საკვებთან ერთად.
ა) ფუნქციის მინიჭების თარიღები.
ერთ-ერთი მთავარი მათემატიკური გაგება არის ფუნქციების ცნება. ფუნქციის ცნება დაკავშირებულია ორი მულტიპლიკატორის ელემენტებს შორის დადგენილ პოზიციასთან.
მივცეთ ორი უაზრო ფაქტორი და . ტიპი f, რადგან კანის ელემენტი შედგება ერთი და მხოლოდ ერთი ელემენტისგან ფუნქცია იწერება y = f(x). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქცია f ასახავს უპიროვნო უპიროვნოზე.
https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> ე.წ. უაზროფუნქცია f აღინიშნება E(f)-ით.
ბ) რიცხვითი ფუნქციები. ფუნქციის გრაფიკი. ფუნქციების დაყენების მეთოდები.
მიეცით ფუნქცია.
თუ სიმრავლის ელემენტები ათწილადი რიცხვებია, მაშინ f ფუნქციას უწოდებენ რიცხვითი ფუნქცია . Zminna x რომლითაც მას უწოდებენ არგუმენტიან დამოუკიდებელი ცვალებადი და y – ფუნქციაან კიდევ შემორჩენილი ხორცი(ნახვა x). როგორც ჩანს, მნიშვნელობები x და y თავად არის ფუნქციური პოზიცია.
ფუნქციის გრაფიკი y = f(x) გამოძახებულია Oxy სიბრტყის ყველა წერტილის გარეშე, რომელთაგან თითოეული x არის არგუმენტის მნიშვნელობა, ხოლო y არის ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობა.
y = f(x) ფუნქციის დასაყენებლად, თქვენ უნდა მიუთითოთ წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ, იცოდეთ x, იპოვოთ მსგავსი მნიშვნელობები y-სთვის.
ყველაზე ხშირად ფუნქციის შესრულების სამი გზა არსებობს: ანალიტიკური, ცხრილი, გრაფიკული.
ანალიტიკური მეთოდი: ფუნქცია მითითებულია ერთი ან რამდენიმე ფორმულის ან განტოლების სახით.
Მაგალითად:
ვინაიდან y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობის არე არ არის მინიჭებული, ის გადატანილია ისე, რომ თავიდან იქნას აცილებული არგუმენტი ყოველგვარი მნიშვნელობის გარეშე, რისთვისაც შესაბამისი ფორმულა აქვს აზრი.
ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური მეთოდი ყველაზე საფუძვლიანია, ვინაიდან მათემატიკური ანალიზის ადრე გამოყენებული მეთოდები საშუალებას გვაძლევს სრულად მივაკვლიოთ ფუნქცია y = f(x).
გრაფიკული მეთოდი: ფუნქციების განრიგი დაყენებულია.
გრაფიკული დიზაინის უპირატესობა მისი სიზუსტეა და არა იმდენად არაზუსტი.
ტაბულური მეთოდი: ფუნქცია მითითებულია ცხრილით არგუმენტების მნიშვნელობების მწკრივით და დაქვემდებარებული ფუნქციის მნიშვნელობებით. მაგალითად, ცხრილები შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და ლოგარითმული ცხრილების მნიშვნელობებს.
გ) ფუნქციის ძირითადი მაჩვენებლები.
1. ფუნქცია y = f(x), რომელიც გამოითვლება D მულტიპლიკატორზე, ეწოდება ორთქლის ოთახები როგორ ვიფიქროთ ამაზე f(-x) = f(x); დაუწყვილებელი როგორ ვიფიქროთ ამაზე f(-x) = -f(x).
დაწყვილებული ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის გასწვრივ, ხოლო დაუწყვილებელი ფუნქციის სიმეტრიულია კოორდინატების გასწვრივ. მაგალითად, – მამრობითი ფუნქციები; და y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" - ფუნქციები მოუთმენლად ველოდები, მაშინ ისინი არ არიან ბიჭები და ისინი არ არიან ბიჭები.
2. ფუნქცია y = f(x) გამოვთვალოთ D გამრავლებით და გავუშვათ. როგორიც არ უნდა იყოს არგუმენტების მნიშვნელობა უთანასწორობიდან, უთანასწორობა ჩნდება: 
, მაშინ ფუნქცია გამოიძახება მზარდი
უპიროვნებაზე; იაკშო 
, მაშინ ფუნქცია გამოიძახება არ ჩამოვარდნილი
https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" ხმის ფუნქციაზე. ჩაცხრება
ზე; 
- გაუაზრებელი
.
მზარდი, არამდგრადი, კლებადი და უცვლელი ფუნქციები D მულტიპლიკატორზე არის მნიშვნელობები (x+T)D და გამოითვლება ტოლობა f(x+T) = f(x).
პერიოდული ფუნქციის გრაფიკის შესაქმნელად, საკმარისია T პერიოდმა გააღვიძოს იგი ნებისმიერი სეგმენტისთვის T-მდე და პერიოდულად გააფართოვოს იგი მთელ დანიშნულ ფართობზე.
პერიოდული ფუნქციის ძირითადი ძალა მნიშვნელოვანია.
1) პერიოდული ფუნქციების ალგებრული ჯამი, რომელიც მოიცავს T იმავე პერიოდს, არის პერიოდული ფუნქცია T პერიოდით.
2) ვინაიდან ფუნქცია f(x) არის პერიოდი T, მაშინ ფუნქცია f(ax) არის პერიოდი T/a.
დ) ფუნქცია შეფუთულია.
დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს მოცემული მნიშვნელობით D რეგიონით და უცვლელი მნიშვნელობით E. ეს ფუნქცია z(y) ე.წ. კარიბჭე
f(x) ფუნქციაზე და იწერება შემდეგი სახით: 
. y = f(x) და x = z(y) ფუნქციების შესახებ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ისინი ურთიერთშებრუნებულია. y = f(x) ფუნქციაში ჩასმული x = z(y) ფუნქციის გასაგებად, საკმარისია გამოვთვალოთ განტოლება f(x) = y x-მდე.
გამოიყენეთ იგი:
1. y = 2x ფუნქციისთვის საპირისპირო ფუნქცია არის x = y ფუნქცია;
2. ფუნქციისთვის 
დაბრუნების ფუნქცია არის ფუნქცია.
ვიბივას ფუნქციების მანკიერი ენერგიულობა, ფუნქციები y = f (x) შეიძლება იყოს ხილული, თუ ეს არის გონებრივად ცალსახა ადამიანი, ბევრი დ I e. Zvidsey, იყოს ბლუმი. მკაცრად მონოტონურ ფუნქციას აქვს უკუქცევა . ამ შემთხვევაში, როგორც ფუნქცია იზრდება (იცვლება), მაშინ იზრდება (იცვლება) დაბრუნების ფუნქციაც.
3. ახალი მასალის გაცნობა.
დასაკეცი ფუნქცია.
ფუნქცია y = f(u) მიენიჭოს D მულტიპლიკატორს და ფუნქცია u = z(x) მულტიპლიკატორს და ამავე დროს. 
. შემდეგ მულტიპლიკატორი განისაზღვრება ფუნქციით u = f(z(x)), რომელიც ე.წ დასაკეცი ფუნქცია
ხედი x (ან სუპერპოზიცია
ფუნქციური დავალებები, ან ფუნქცია, როგორც ფუნქცია
).
მნიშვნელობა u = z(x) ეწოდება შუალედური არგუმენტიდასაკეცი ფუნქციები.
მაგალითად, ფუნქცია y = sin2x არის ორი ფუნქციის y = sinu და u = 2x ზედებულება. დასაკეცი ფუნქციას შეუძლია მიიღოს რამდენიმე შუალედური არგუმენტი.
4. დაფისთვის რამდენიმე კონდახის ვერსია.
5. გაკვეთილის რეზიუმე.
1) პრაქტიკული დასაქმების თეორიული და გამოყენებითი ჩანთები; დიფერენცირებულიმოსწავლეთა გონებრივი შეფასების დონის შეფასება; მათ მიერ შეძენილი კომპეტენციის დონე, ზეპირი და წერილობითი მათემატიკური ენის ხარისხი; გამოვლენილი შემოქმედების დონე; დამოუკიდებლობისა და რეფლექსიის დონე; ინიციატივის დონე, მცოდნე ინტერესი მათემატიკური აზროვნების სხვა მეთოდების მიმართ; აკადემიური წარმატებულობის მაღალი დონე, ინტელექტუალური შესაძლებლობები, საბაზისო მათემატიკური აქტივობის მაღალ საფეხურებამდე განვითარება და ა.შ.;
2) არგუმენტირებული ჩანაწერების დაბნეულობა, საგაკვეთილო ბურთი.
დაე ფუნქციონირდეს f(x 1 , x 2 , ... , x n) ფუნქცია
ამ ფუნქციას ასევე უწოდებენ ფუნქციის სუპერპოზიცია f(x 1 , x 2 , ... , x n) და ფუნქცია .
სხვა სიტყვებით: მოდით F = ( f j ) - ლოგიკის ალგებრის ფუნქციების ერთობლიობა, არა სავალდებულო. ფუნქციას f ეწოდება ფუნქციის სუპერპოზიცია F გამრავლებით ან ფუნქცია F-ზე, რადგან ის ამოღებულია ფუნქციიდან ერთი ან რამდენიმე შემცვლელი ფუნქციის F მამრავლით ჩანაცვლებით.
კონდახი.
მიეცით მას უპიროვნო ფუნქცია
F = (f 1 (x 1), f 2 (x 1, x 2, x 3), f 3 (x 1, x 2)).
მაშინ F ფუნქციების სუპერპოზიციები იქნება, მაგალითად, ფუნქციები:
j 1 (x 2 x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));
j 2 (x 1, x 2) = f 2 (x 1, f 1 (x 1), f 3 (x 1, x 2)).
დასრულებული DNF - ფუნქციების სუპერპოზიცია სიმრავლით
. ð
ვიზნაჩენნია.
ფუნქციების სისტემა ე.წ ისევსუპერპოზიციის დამატებითი მოქმედების და სისტემის ფუნქციიდან ცვლილებების ჩანაცვლების გამო, ლოგიკის ალგებრის ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება ამოღებულ იქნეს. ð
ჩვენ უკვე გვაქვს ახალი სისტემების ახალი ნაკრები:
;
ასე რომ იაკ 
;
ასე რომ იაკ 
;
(x + y, xy, 1). ð
როგორ ფიქრობთ ამაზე, რისთვის არის სისტემა? დახურული კლასის ცნებები მჭიდროდ არის დაკავშირებული ამ ცნებებთან.
დახურული კლასები.
ალგებრული ლოგიკის უპიროვნო (კლასი) K ფუნქციას უწოდებენ დახურული კლასი, იმისათვის, რომ განთავსდეს ყველა ფუნქცია, რომელიც მოდის K ოპერაციებიდან სუპერპოზიციისა და ცვალებადი ფუნქციების ჩანაცვლებით, და არ ავურიოთ სხვა ფუნქციები.
მოდით K იყოს P2 ფუნქციის ქვესიმრავლე. K-ის დახურვა არის ყველა ლოგიკური ფუნქციის არარსებობის სახელი, რომელიც წარმოდგენილია სუპერპოზიციის დამატებითი მოქმედებით და ალტერნატიული ფუნქციების ჩანაცვლება K-ის მულტიპლიკატორით. K მამრავლის დახურვა მითითებულია [K]-ით.
დახურვის პირობებს შეიძლება ჰქონდეს სხვა დახურვის და ხელახალი გახსნის თარიღები (შაბათ-კვირის ექვივალენტური):
K-დახურვის კლასი, სადაც K = [K];
K არის სრული სისტემა, ვინაიდან [K] = P2.
გამოიყენეთ იგი.
* (0), (1) – დახურული კლასები.
* არსებობს მხოლოდ ერთი ცვალებადი ფუნქცია - დახურული კლასი.
* - დახურული კლასი.
* კლასი (1, x+y) არ არის დახურული კლასი.
მოდით შევხედოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი დახურული კლასების მოქმედებებს.
1. T 0- ფუნქციების კლასი, რომლებიც შენახულია 0.
T 0-ის მეშვეობით მნიშვნელოვანია ლოგიკური ალგებრის ყველა ფუნქციის კლასი f(x 1 , x 2 , ... , x n), რომლებიც ინარჩუნებენ 0-ს მუდმივობას, ისევე როგორც ფუნქციები, რომლებიც f(0, ... , 0) = 0.
ადვილია იმის გარკვევა, თუ რომელი ფუნქციები ეკუთვნის T 0 და ფუნქციები, რომლებიც არ მიეკუთვნება რომელ კლასს:
0, x, xy, xUy, x+y О T 0 ;
რადგან T 0 ნიშნავს, მაგალითად, რომ ის არ შეიძლება გამოიხატოს დისიუნქციისა და კავშირის საშუალებით.
თუ F ფუნქციის ცხრილი T 0 კლასით დაყენებულია 0-ზე პირველ რიგში, მაშინ T 0 ფუნქციისთვის შეგიძლიათ დააყენოთ დამატებითი მნიშვნელობები 2 n - ცვლილებების 1 ნაკრებისთვის, მაშინ
,
დე - არაფუნქციური ფუნქციები, რომლებიც ინახავს 0-ს და ცვალებად n-ს შორისაა.
ვაჩვენოთ, რომ T0 არის დახურული კლასი. თუ xÎT 0, მაშინ დახურვის დასადგენად საკმარისია დახურვის ჩვენება სუპერპოზიციის მოქმედებით, რადგან ალტერნატიული ელემენტების ჩანაცვლების ოპერაცია. ოკრემი ვიპადოკისუპერპოზიცია x ფუნქციით.
Გაუშვი. საკმარისია იმის ჩვენება, თუ რა. დანარჩენი ეჭვიანობის მშვილდიდან მოედინება
2. T 1- შენახული ფუნქციების კლასი 1.
T-ის მეშვეობით მნიშვნელოვანია ლოგიკური ალგებრის ყველა ფუნქციის I კლასი f(x 1, x 2, ... , x n), რომლებიც ინარჩუნებენ მუდმივ 1-ს, აგრეთვე ფუნქციებს f(1, ... , 1) = 1.
ადვილია იმის გარკვევა, თუ რომელი ფუნქციები ეკუთვნის T 1 და ფუნქციები, რომლებიც არ მიეკუთვნება ამ კლასს:
1, x, xy, xÚy, xºy О T 1 ;
0, , x+y Ï T 1 .
იმის გამო, რომ x + y Ï T 0 ნიშნავს, მაგალითად, რომ x + y არ შეიძლება გამოიხატოს დისიუნქციისა და კავშირის საშუალებით.
შედეგები T0 კლასის შესახებ ტრივიალურად გადადის T1 კლასში. ამ გზით გთხოვთ:
T 1 – დახურული კლასი;
.
3. ლ- ხაზოვანი ფუნქციების კლასი.
L-ის მეშვეობით მნიშვნელოვანია ლოგიკური ალგებრის ყველა ფუნქციის კლასი f(x 1 , x 2 , ... , x n), რომლებიც წრფივია:
ადვილია იმის გარკვევა, თუ რომელი ფუნქციები ეკუთვნის L-ს და ფუნქციები, რომლებიც არ მიეკუთვნება რომელ კლასს:
0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;
დავამტკიცოთ, მაგალითად, რომ xÚy Ï L.
არ მივიღოთ. xÚy-ის მარტივი გამოხატულება ჰგავს წრფივ ფუნქციას უმნიშვნელო კოეფიციენტებით:
x = y = 0-ზე შეიძლება გვქონდეს a = 0,
x = 1, y = 0 შეიძლება გვქონდეს b = 1,
x = 0, y = 1 შეიძლება გვქონდეს g = 1,
ასევე, x = 1, y = 1-ისთვის შეგვიძლია გამოვიყენოთ 1Ú 1 ¹ 1 + 1, რაც ფუნქციას xÚy ხდის არაწრფივი.
წრფივი ფუნქციების კლასის დახურულობის მტკიცებულება სრულიად აშკარაა.
დარჩენილი წრფივი ფუნქცია ცალსახად ენიჭება a 0 კოეფიციენტის მოცემულ მნიშვნელობებს n+1, a n არის ხაზოვანი ფუნქციების რაოდენობა L (n) კლასის ფუნქციებში, რომლებიც მდებარეობს n ცვლადის ფარგლებში 2 n+1. .
.
4. ს- თვითფუნქციური ფუნქციების კლასი.
თვით-ორმაგი ფუნქციების კლასი ეფუძნება ეგრეთ წოდებულ ორმაგობას და ორმაგ ფუნქციებს.
ფუნქცია, რომელიც ეჭვიანობაზე მიუთითებს, ე.წ ორმაგი ფუნქციონირებისთვის .
ცხადია, ორმაგი ფუნქციის ცხრილი (მნიშვნელობების სიმრავლეების სტანდარტული თანმიმდევრობის შეცვლით) მოდის cob ფუნქციის ცხრილიდან და ინვერტირდება (0-ის 1-ით და 1-ით 0-ით ჩანაცვლებით) ფუნქციის მნიშვნელობის შესატყვისად. თა იოგო თავდაყირა.
მარტივი baciti, scho
(x 1 Ú x 2)* = x 1 ? x2,
(x 1 ? x 2)* = x 1 Ú x 2 .
მნიშვნელობა ნიშნავს, რომ (f*)* = f, ამიტომ ფუნქცია f არის f*-ის ორმაგი.
დაე, ფუნქცია გამოიხატოს დამატებითი სუპერპოზიციით სხვა ფუნქციების მეშვეობით. საჭმელი სამარხვოა, ფორმულას როგორ მიიღებთ, რას ახორციელებს? მნიშვნელოვნად = (x 1, ..., x n) ყველა სხვადასხვა სიმბოლოებიცვალებადი, კომპლექტების მსგავსად.
თეორემა 2.6.ვინაიდან j ფუნქცია განისაზღვრება, როგორც f, f 1, f 2, ..., f m ფუნქციების სუპერპოზიცია, მაშინ
ფუნქცია, რომელიც შეიძლება გაფართოვდეს სუპერპოზიციაზე, არის ორი ფუნქციის სუპერპოზიცია.
დასრულდა.
j*(x 1,...,x n) = `f(`x 1 ,...,` x n) =
თეორემა დადასტურდა. ð
თეორემა ემყარება ორმაგობის პრინციპს: თუ ფორმულა A ახორციელებს ფუნქციას f(x 1 , ... , x n), მაშინ A-ს გამოკლებული ფორმულა დუალზე მყოფი ფუნქციის ჩანაცვლებით ახორციელებს ორმაგ ფუნქციას. f*(x 1 , ... , xn).
მნიშვნელოვნად S-ის მეშვეობით ყველა თვითგაორმაგებული ფუნქციის კლასი P 2-ით:
S = (f | f * = f)
ადვილია იმის გარკვევა, თუ რომელი ფუნქციები ეკუთვნის S-ს და რომელი ფუნქციები არ ეკუთვნის კლასს:
0, 1, xy, xÚy Ï S.
თვითგაორმაგების ფუნქციისა და ფუნქციის ნაკლებად ტრივიალური კონდახი
h(x, y, z) = xy U xz U yz;
ვიკორისტის თეორემა ფუნქციის შესახებ, რომელიც ვრცელდება სუპერპოზიციაზე
h * (x, y, z) = (x U y) = (x U z) = (y = z) = x y U x z Ú y z; h = h *; თ О ს.
თვითგაორმაგების ფუნქციისთვის იგივე ეხება
რაც შეეხება კომპლექტებს 
და, როგორც ჩვენ ვუწოდებთ პროტრატილებს, თვითგაორმაგება ფუნქცია იძენს გაჭიანურებულ მნიშვნელობებს. გამოდის, რომ თვითმყოფადი ფუნქცია მთლიანად განისაზღვრება მისი მნიშვნელობებით სტანდარტული ცხრილის რიგების პირველ ნახევარში. მაშასადამე, S(n) კლასის ფუნქციების თვითგაორმაგება ფუნქციების რაოდენობა, რომლებიც ცვალებად n-ს შორისაა, უძველესია:
.
ახლა დავამტკიცოთ, რომ S კლასი იხურება. ნამსხვრევები xÎS, დახურვის პრაიმინგისთვის, აჩვენებს დახურვას სუპერპოზიციის მოქმედებამდე, რადგან სუპერპოზიციის მონაცვლეობითი და მიმდებარე ნაწილების x ფუნქციით ჩანაცვლების ოპერაცია. Გაუშვი. საკმარისია იმის ჩვენება, თუ რა. დანარჩენი პირდაპირ დამონტაჟებულია:
5. მ- მონოტონური ფუნქციების კლასი.
უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული ლოგიკის მონოტონური ფუნქციის ცნების გასაგებად, აუცილებელია შევიტანოთ მოწესრიგებული ურთიერთობები სიმრავლეთა და ცვალებადი უპიროვნებაზე.
როგორც ჩანს, აკრეფა აკრეფამდეა 
(ან „არა მეტი“, ან „ნაკლები ან მეტი“) და დააყენეთ მნიშვნელობები, რადგან a i £ b i ყველა i = 1, ... , n. თუ ასეა, მაშინ ჩვენ ვიტყვით, რომ კომპლექტი სუვორო წინ უსწრებს კომპლექტს (ან "სუვორო ნაკლები" ან "ნაკლები" ნაკრების მიმართ) და ვიკორისტოვავთ აღნიშვნას. სიმრავლეებს უწოდებენ თანაბარს, ან თუ ისინი არ არიან თანმიმდევრული, სიმრავლეებს უწოდებენ შეუსწორებელს. მაგალითად, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), მაგრამ კომპლექტები (0, 1, 1, 0) და (1, 0, 1, 0) არ არის ტოლი. დრო თავისთავად არის მიმართება £ (ხშირად უწოდებენ წინსვლის პოზიციას) ნაწილობრივი წესრიგით n სიმრავლეზე. ქვემოთ მოცემულ დიაგრამებზე ნაჩვენებია ხშირად შეკვეთილი ფაქტორები 2, 3 და 4.
 |
 |
დაინერგა კერძო შეკვეთა - მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ მნიშვნელოვანია ჩვენი კურსის საზღვრებს შორს წასვლა.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მონოტონური ფუნქციის კონცეფცია.
ალგებრის ლოგიკური ფუნქცია ე.წ ერთფეროვანინებისმიერი ორი კომპლექტისთვის, რომ შეიძლება იყოს უთანასწორობა 
. ლოგიკის ალგებრის ყველა მონოტონური ფუნქციის სია აღინიშნება M-ით, ხოლო ყველა მონოტონური ფუნქციის სია, რომლებიც დგანან n ცვლილებას შორის - M-ით (n).
ადვილია იმის გარკვევა, თუ რომელი ფუნქციები ეკუთვნის M-ს და რომელი ფუნქციები არ ეკუთვნის კლასს:
0, 1, x, xy, xÚy О M;
x+y, x®y, xºy Ï M.
ვაჩვენოთ, რომ მონოტონური ფუნქციების კლასი M არის დახურული კლასი. ასე რომ, როგორც xÎM, მაშინ დახურვის დასადგენად საკმარისია დახურვის ჩვენება სუპერპოზიციის მოქმედებამდე, რადგან ცვლადების ჩანაცვლების ოპერაციას ემატება x ფუნქციას სუპერპოზიციის დამატება.
Გაუშვი. საკმარისია იმის ჩვენება, თუ რა.
წინ წადით - ცვალებადი ფუნქციების სიმრავლე, ცხადია, j, f 1 , ... , f m , და ცვალებადი ფუნქციების გარეშე j შედგება ამ და ნაკლებად ცვალებადი ფუნქციებისგან, რომლებიც ვიწროვდება f 1 , ... , f m ფუნქციებით. ნება მომეცით მქონდეს ცვალებადი მნიშვნელობების ერთი ან ორი ნაკრები. qi კომპლექტი ნიშნავს კომპლექტს 
ცვლილებების მნიშვნელობა 
, ისე რა 
. f 1 , ... , f m ფუნქციების ერთფეროვნების მეშვეობით
და f ფუნქციის ერთფეროვნების მეშვეობით
ვარსკვლავების ამოღება შესაძლებელია
მონოტონური ფუნქციების რაოდენობა, რომლებიც დევს n ცვლადებს შორის, სრულიად უცნობია. თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ამოიღოთ რეიტინგი ქვემოთ:
სადაც არის n/2-ის მთელი ნაწილი.
ასე რომ, ადვილია მხეცის გამოსვლა და შეფასება:
ამ შეფასებების დაზუსტება უფრო მნიშვნელოვანია და მნიშვნელოვანია მიმდინარე კვლევის ჩასატარებლად.
შევსების კრიტერიუმი
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ და განვავითაროთ განმეორების კრიტერიუმი (პოსტის თეორემა), რაც ნიშნავს, რომ საკმარისი ინტელექტია საჭირო ფუნქციების სისტემის სისრულისთვის. წინასწარ, განმეორების კრიტერიუმის ჩამოყალიბება და დადასტურება მთელი რიგი აუცილებელი ლემებით, რომლებიც შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ინტერესი.
ლემა 2.7.ლემა თვითშეფასებული ფუნქციის შესახებ.
თუ f(x 1 , ... , x n) S, მაშინ მუდმივი შეიძლება გამოვიდეს მისგან x და `x ფუნქციების ჩანაცვლებით.
დასრულდა. თუ თქვენ დატოვებთ fÏS, მაშინ იპოვით მნიშვნელობების ერთობლიობას
=(a 1 ,...,a n) ისეთი, რომ
f(`a 1,...,`a n) = f(a 1,...,a n)
შეცვალეთ f ფუნქციის არგუმენტები:
x i შეიცვალა 
,
შემდეგ დავდოთ და შევხედოთ ფუნქციას
ჩვენ თვითონ ვიპოვეთ მუდმივი (მართალია, გაუგებარია როგორი მუდმივია: 0 და 1). ð
ლემა 2.8.ლემა არამონოტონური ფუნქციის შესახებ.
ვინაიდან ფუნქცია f(x 1 ,...,x n) არაერთფეროვანია, f(x 1 ,...,x n) M, მაშინ შესაძლებელია მიმდევრობის აღმოფხვრა ცვლილებების ჩანაცვლებით და 0 და 1 მუდმივების ჩანაცვლებით.
დასრულდა. ფრაგმენტები f(x 1,...,x n) Ï M, შემდეგ ჩვენ ვიპოვით მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც იცვლება, 
, 
, ასე რომ, და ერთი მნიშვნელობისთვის მინდა მოვათავსო i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:
x i შეიძლება შეიცვალოს 
ასეთი ჩანაცვლების შემდეგ ამოღებულია ერთი ცვლადის ფუნქცია j(x), რისთვისაც:
ეს ნიშნავს, რომ j(x)=`x. ლემა დასრულებულია. ð
ლემა 2.9.ლემა არაწრფივი ფუნქციის შესახებ.
თუ f(x 1 ,...,x n) L, მაშინ მასთან ერთად 0, 1 მუდმივების და ვიკარიური ფუნქციის `x ჩანაცვლების გზა შეიძლება გამოყენებულ იქნას x 1 &x 2 ფუნქციის მისაღებად.
დასრულდა. წარმოიდგინეთ f DNF-ის (მაგალითად, საფუძვლიანი DNF) და სწრაფი ურთიერთობის სახით:
კონდახი. ორი კონდახი მივიტანოთ მაგიდასთან და გადავამუშაოთ.
ამგვარად, ფუნქცია იწერება დისუნქციური ნორმალური ფორმით, ურთიერთობების მნიშვნელობების სტაგნაციის, მკლავების გახსნის და ალგებრის უხერხული გარდაქმნების შემდეგ, ის გადადის mod 2 პოლინომში (ჟეგალკინის პოლინომი):
სადაც A 0 არის მუდმივი, ხოლო A i არის ცვლადი რიცხვების შეერთება x 1, ..., x n, i = 1, 2, ..., r.
ვინაიდან კანის შეერთება A i შედგება მხოლოდ ერთი ცვლადისაგან, მაშინ f არის წრფივი ფუნქცია, რომლის გაგებაც შესანიშნავია გონებაში.
ასევე, ჟეგალკინის პოლინომში f ფუნქციისთვის არის ტერმინი, რომელიც შეიცავს სულ მცირე ორ კონგენერს. სირთულის შეზღუდვის გარეშე, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ამ ფაქტორებიდან არის ცვლილებები x 1 და x 2. ეს მრავალწევრი შეიძლება გადაიწყოს შემდეგნაირად:
f = x 1 x 2 f 1 (x 3, ..., x n) + x 1 f 2 (x 3, ..., x n) + x 2 f 3 (x 3, ..., x n) + f 4 (x 3, ..., x n),
de f 1 (x 3, ..., x n) ¹ 0 (წინააღმდეგ შემთხვევაში, მრავალწევრი არ შეიცავს კავშირს x 1 x 2-ის შესათავსებლად).
მოდით (a 3,...,a n) ისე, რომ f 1 (a 3,...,a n) = 1.
j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,
სადაც a, b, g არის მუდმივები, ტოლი 0 ან 1.
ისეთი სწრაფი მოქმედების გამოყენებით, როგორიც გვაქვს, მოდით შევხედოთ ფუნქციას y(x 1,x2), რომელიც მოდის j(x 1,x2)-დან ასე:
y(x1, x2) = j(x1+b, x2+a)+ab+g.
ცხადია
y(x 1,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.
ოტიე,
y(x1, x2) = x1x2.
ლემა სრულად არის დადასტურებული. ð
ლემა 2.10.მთავარი პრინციპი ემყარება განმეორების კრიტერიუმს.
ლოგიკის ალგებრის კლასში F = (f) ფუნქციებში არის ფუნქციები, რომლებიც არ ინახავს ერთს, არ ინახავს 0-ს, არის თვითკმარი და არაერთფეროვანი:
შემდეგ, სისტემის ფუნქციიდან, მუდმივები 0, 1 და ფუნქცია შეიძლება ამოღებულ იქნეს სუპერპოზიციისა და ჩანაცვლების ოპერაციების გამოყენებით.
დასრულდა. მოდით შევხედოთ ფუნქციას. თოდი
.
არსებობს ორი შესაძლო ტიპის მიმდინარე შეხედულებები; შემდეგ განხილვაში ისინი მითითებულია როგორც 1) და 2).
1). ფუნქცია ერთ კომპლექტში იძენს მნიშვნელობას 0:
.
ყველაფერი გამოსაცვლელია ცვალებადი ფუნქციებიცვალებადი x. ეს ფუნქცია
დიახ, მეტი
і 
.
ავიღოთ ფუნქცია, რომელიც არ არის თვითკმარი. ვინაიდან ფუნქცია უკვე წავშალეთ, მაშინ ლემის მიხედვით არასაკუთარი ფუნქციის შესახებ (lema 2.7. ) შეიძლება გამოვიტანოთ მუდმივიდან. კიდევ ერთი მუდმივი შეიძლება იყოს მიღებული პირველი, ვიკორისტური ფუნქციიდან. ისე, პირველს, რომელსაც შევხედე, ჰქონდა მუდმივი, რომელიც გადაკვეთილია. . კიდევ ერთი საკითხი და ამავდროულად მთავარი პრობლემა სისრულის, სისრულის კრიტერიუმთან დაკავშირებით. ð
თეორემა 2.11.ალგებრის ლოგიკის ფუნქციების სისტემების სისრულის კრიტერიუმი (პოსტის თეორემა).
იმისათვის, რომ F = (f i ) ფუნქციების სისტემა იყოს სრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ იგი მთლიანად არ შეესაბამებოდეს თითოეულ დახურულ კლასს T 0 , T 1 , L , S , M , ისე რომ თითოეული კლასი T 0, T 1, L, S, M F-ში არის მინიმუმ ერთი ფუნქცია, რომელიც არ ეკუთვნის ამ კლასს.
აუცილებლობა. მოდით F იყოს სისტემა. მისაღებია, რომ F მდებარეობს მნიშვნელობის ერთ-ერთ კლასში, რაც მნიშვნელოვანია K-ს მეშვეობით. F Í K. დარჩენა შეუძლებელია, K-ის ფრაგმენტები არის დახურული კლასი, რომელიც არ არის სრული სისტემა.
ხელმისაწვდომობა. მოდით, F = (f i) ფუნქციის სისტემა მთლიანად არ ჯდება ხუთ დახურულ კლასში T 0 , T 1 , L , S , M. აღებული F ფუნქციიდან:
ტოდი დაფუძნებულია მთავარ ლემაზე (ლემა 2.10 ) ფუნქციით, რომელიც არ ინახავს 0-ს, ფუნქციით, რომელიც არ ინახავს 1-ს, არათვითმართული და არამონოტონური ფუნქცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას მუდმივების 0, 1 და ჩამოთვლის ფუნქციის მოსაშორებლად:
.
სადგამზე არის ლემა არაწრფივი ფუნქციის შესახებ (ლემა 2.9 ) არაწრფივი ფუნქციაში ჩასმული მუდმივებიდან შეგვიძლია გამოვყოთ კავშირი:
.
ფუნქციონალური სისტემა 
- სრული სისტემა თეორემის მიღმა ალგებრის ლოგიკის ნებისმიერი ფუნქციის წარმოდგენის შესაძლებლობის შესახებ სრულიად განცალკევებული ნორმალური ფორმის სახით (რა თქმა უნდა, დისიუნქცია შეიძლება გამოიხატოს შეერთებით და გამოხატვის სახით. 
).
თეორემა დეტალურად არის ნაჩვენები. ð
გამოიყენეთ იგი.
1. ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია f(x,y) = x|y ხელახლა ქმნის სისტემას. მოდით შევქმნათ x½y ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი:
| x | წ | x|y |
f(0,0) = 1, შემდეგ, x | yÏT 0.
f(1,1) = 0, შემდეგ, x | თ 1.
f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, შემდეგ, x | yÏM.
f(0,1) = f(1,0) = 1 - ყველაზე დაბალ ნაკრებებზე x | y ზრდის მის მნიშვნელობას, შემდეგ x | დიახ .
გაარკვიეთ რას ნიშნავს ფუნქციის არაწრფივობა
x | წ.
გამეორების კრიტერიუმის გამოყენებით შეგვიძლია დავადასტუროთ, რომ f(x,y) = x | მე აღვადგენ სისტემას. ð
2.
ვაჩვენოთ, რომ ფუნქციების სისტემა 
მე აღვადგენ სისტემას.
მართალია,.
ჩვენი სისტემის ფუნქციების შუაში აღმოვაჩინეთ: ფუნქცია, რომელიც არ ინახავს 0-ს, ფუნქცია, რომელიც არ ინახავს 1-ს, არათვითკონტროლირებადი, არაერთფეროვანი და არაწრფივი ფუნქციები. განმეორების კრიტერიუმის საფუძველზე შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციების სისტემა მე აღვადგენ სისტემას. ð
ისე შევურიგდით, რომ განმეორების კრიტერიუმი იძლევა კონსტრუქციულ და ეფექტური მეთოდიალგებრული ლოგიკური ფუნქციების სისტემების სისრულის ახსნა.
ახლა ჩამოვაყალიბოთ სამი შედეგი განმეორების კრიტერიუმიდან.
ნასლედოკი 1. ალგებრული ლოგიკის ფუნქციების ნებისმიერი დახურული კლასი, რომლის თავიდან აცილება შეუძლებელია ალგებრული ლოგიკის ყველა უპიროვნო ფუნქციით (K¹P 2), განთავსდება ერთ-ერთ საჭირო დახურულ კლასში.
ვიზნაჩენნია.დახურვის კლასს K ეწოდება წინ, ვინაიდან K არის ახალი და ნებისმიერი f ფუნქციისთვის K კლასი K È (f) - ახალი.
აზრი ნათელია, რომ კლასი დახურულია.
ნასლიდოკი 2.ლოგიკის ალგებრაში არის მხოლოდ ხუთი ძირითადი კლასი და თავად: T0, T1, L, M, S.
დასკვნის დასადასტურებლად აუცილებელია იმის შემოწმება, რომ ამ კლასებიდან ერთ-ერთი არ ჯდება მეორეში, რაც დასტურდება, მაგალითად, ფუნქციების სხვადასხვა კლასების კუთვნილების შემდეგი ცხრილით:
| T0 | T 1 | ლ | ს | მ | |
| + | - | + | - | + | |
| - | + | + | - | + | |
| - | - | + | + | - |
ნასლიდოკი 3.ნებისმიერი სრული სისტემის ფუნქციისთვის, შეგიძლიათ მას უწოდოთ ახალი ქვესისტემა, რომელიც შეიცავს სამზე მეტ ფუნქციას.
განმეორების კრიტერიუმის მტკიცებულება გვიჩვენებს, რომ შეიძლება დაინახოს სამზე მეტი ხუთ ფუნქცია. მთავარი არგუმენტის მტკიცებულებიდან (ლემა 2.10
) ვიპები რომ 
ან არ არის თვითკონტროლი, ან არ შველის და არ არის ერთფეროვანი. ამას რამდენიმე ფუნქციაზე ცოტა მეტი სჭირდება.