ცვლილების ჩანაცვლების მეთოდი და მისი სტაგნაციის თავისებურება. ინტეგრაცია ჩანაცვლების გზასთან (ჩანაცვლების მეთოდი). ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის აპლიკაციები

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავეცნობით ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან და ყველაზე გავრცელებულ ტექნიკას, რომელიც იბლოკება უმნიშვნელო ინტეგრალების გაზრდის პროცესში - ცვლადის ჩანაცვლების გზა. მასალის წარმატებით ათვისებისთვის საჭიროა საბაზისო ცოდნა და ინტეგრაციის უნარები. თუ ინტეგრალურ გამოთვლაში ცარიელ სავსე ქვაბად გეჩვენებათ, მაშინ პირველ რიგში გაეცანით მასალას, სადაც ხელმისაწვდომი ფორმით ავხსნი, რომ ასევე მაქვს ინტეგრირებული და მკაფიოდ გამოვყოფ ძირითადი კონდახები დასაწყისისთვის.

ტექნიკურად, ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი ამოუცნობ ინტეგრალში ხორციელდება ორი გზით:

- წარმოდგენილი ფუნქციები დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ;
- ვლასნას შეცვლა ცვლილება.

არსებითად, იგივეა, მაგრამ გადაწყვეტილების დიზაინი განსხვავებულად გამოიყურება.

ეს უფრო მეტია, ვიდრე უბრალო გამოხტომა.

წარდგენილი ფუნქციები დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ

Კლასში არაღირებულებითი ინტეგრალი. გამოიყენეთ თქვენი გადაწყვეტილებაჩვენ დავიწყეთ დიფერენციალის გახსნა, ვფიქრობ, კონდახზე, რომელზეც მივუთითე:

ასე რომ, გახსენით დიფერენციალი - ეს ფორმალურად იგივეა, რაც შეგიძლიათ გაიგოთ.

კონდახი 1

ვიკონატი ხელახლა გადაამოწმეთ.

ინტეგრალების ცხრილის დათვალიერებისას, არსებობს მსგავსი ფორმულა: . მაგრამ პრობლემა მდგომარეობს იმაში, რომ სინუსის ქვეშ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ რთული გამოხატულება. რა არის მორცხვი?

მოდით დავაყენოთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

დიფერენციალური მრუდის გახსნის შემდეგ, ადვილია იმის შემოწმება, რომ:

რეალურად ი - ეს ერთი და იგივეს ჩანაწერია.

პროტე, საჭმელი დაგვრჩა და როგორც გვეგონა, პირველ რიგში ჩვენი ინტეგრალი ასე უნდა ჩავწეროთ: ? რატომ არის ეს ასე და რატომ არა სხვაგვარად?

ფორმულა (და ყველა სხვა ცხრილის ფორმულა) სამართლიანობა და სტაგნაცია არა მხოლოდ ცვალებადი, არამედ ნებისმიერი დასაკეც ვირუსისთვისაა, გარდა B არგუმენტის ფუნქციისა(- ჩვენი უკანალი) І ვირაზი დიფერენციალური ბულის ნიშნის ქვეშ ᲐᲛᲐᲕᲔ ᲓᲠᲝᲡ .

მაშასადამე, აშკარაა, რომ დაშლა უმაღლეს დონეზე შეიძლება განვითარდეს დაახლოებით ასე: „არ არის საჭირო ინტეგრალის გაზრდა. მაგიდას დავხედე და ფორმულა ვიპოვე . მაგრამ მე მაქვს რთული არგუმენტი და უბრალოდ ფორმულით სწრაფად ვერ ვახერხებ. თუმცა, თუ მოვაშორებ და დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ყველაფერი კარგად იქნება. თუ დავწერ, მაშინ. თუმცა, გამომავალ ინტეგრალს არ აქვს მულტიპლიკატორი-სამმაგი, ამიტომ ინტეგრალური ფუნქცია არ იცვლება, თუ არ გამრავლდება. დაახლოებით ასეთი აშკარა გაქრობის დროს კეთდება შემდეგი ჩანაწერი:

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცხრილის ფორმულა :

მზადაა

ერთიანობა, ჩვენ არ გვაქვს ასო "X", მაგრამ ჩამოშლილი გამოხატულება.

მოდით შევამოწმოთ. აქ მოცემულია მსგავსებისა და განსხვავებების ცხრილი:

გამომავალი ინტეგრალური ფუნქცია ამოღებულია და ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ხელახალი შემოწმების დროს ჩვენ ვიკორსტავულოვებთ დასაკეცი ფუნქციის დიფერენცირების წესს . არსებითად, ფუნქციები განლაგებულია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ - არსებობს ორი ურთიერთგამომრიცხავი წესი.

კონდახი 2

გავაანალიზოთ ინტეგრალური ფუნქცია. აქ გვაქვს განსხვავება და ნიშანში არის წრფივი ფუნქცია („X“-ით, როგორც პირველი სამყარო). ინტეგრალების ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ ვპოულობთ უახლოეს მსგავსებას: .

მოდით დავაყენოთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

მათ, ვისაც გამრავლების საჭიროების დროს უჭირს ნივთების სწრაფად მოშორება, შეუძლიათ სწრაფად გახსნან დიფერენციალი: . დიახ, ეს ნიშნავს, რომ არაფერი შეიცვალოს, არ მჭირდება ინტეგრალის გამრავლება.
ქვემოთ მოცემულია ცხრილის ფორმულა: :

გადამოწმება:


გამომავალი ინტეგრალური ფუნქცია ამოღებულია და ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

კონდახი 3

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი. ვიკონატი ხელახლა გადაამოწმეთ.

კონდახი 4

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი. ვიკონატი ხელახლა გადაამოწმეთ.

ცე კონდახი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. დავამთავროთ გაკვეთილი.

როდესაც სიმღერა ინტეგრალების სრულყოფილებას მიაღწევს, მსგავსი კონდახები მსუბუქად ჟღერს და ბარდავით იკეცება:

ამ აბზაცის დასასრულს ასევე მინდა აღვნიშნო „თავისუფალი“ ვარიანტი, თუ წრფივ ფუნქციაში ცვლილება ხდება ერთი კოეფიციენტიდან, მაგალითად:

მკაცრად რომ ვთქვათ, გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

როგორც ხედავთ, დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციების გადაცემა იყო „უმტკივნეულო“, ყოველგვარი დამატებების გარეშე. ამიტომ, პრაქტიკაში, ასეთი გრძელვადიანი გადაწყვეტილებები ხშირად ძნელია დაუყოვნებლივ ჩაწერა, ასე რომ . საჭიროების შემთხვევაში, მოემზადეთ ახსნათ გამოთვლები, თუ როგორ გამოთვალეთ ისინი! ცხრილში არ არის ინტეგრალის ფრაგმენტები.

ამოუცნობ ინტეგრალში ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი

მოდით გადავიდეთ გვერდითი დამატებაზე - ცვლადების ჩანაცვლების მეთოდი ხელმოუწერელ ინტეგრალში.

კონდახი 5

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

კონდახად ავიღე ის ინტეგრალი, რომელსაც გაკვეთილის დასაწყისში ვუყურებდით. როგორც უკვე ვთქვით, ვერტიკალური ინტეგრალისთვის გვაქვს ცხრილის ფორმულა , და ყველას, ვინც მარჯვნივ არის, სურს მისკენ მიგიყვანოთ.

ჩანაცვლების მეთოდის იდეა არის შეცვალეთ გამოთქმა (ან ფუნქცია) ერთი ასოთი.
ვიღაც ეკითხება:
სხვა მწერლის პოპულარობისთვის შემცვლელი არის მწერალი.
პრინციპში შესაძლებელია სხვა ლიტერატურის მიბაძვა, მაგრამ მაინც ტრადიციის დაცვა.

სხვა:
ჩანაცვლებისას ჩვენ დავკარგავთ მას! როგორც წესი, ვინც მიხვდა, რომ ხდება გადასვლა ახალ ცვლილებაზე, მაშინ ახალი ინტეგრალი შეიძლება გამოიხატოს ასოს მეშვეობით და დიფერენციალს იქ ადგილი არ აქვს.
ლოგიკური შეჯამება იმისა, რაც გჭირდებათ გარდაქმნას იგი კრეატიულ გზად, რომელიც მხოლოდ დიდხანს გრძელდება.

დია თაკა. მას შემდეგ, რაც ჩვენ შევარჩიეთ ჩანაცვლება, ამ აპლიკაციაში, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ დიფერენციალი. განსხვავებების გათვალისწინებით, ვფიქრობ, ყველას მეგობრობა უკვე დამყარდა.

ოსკოლკი, მაშინ

დიფერენციალური ანალიზის შემდეგ, გირჩევთ, ნარჩენი შედეგი გადაწეროთ რაც შეიძლება მოკლედ:
ახლა, პროპორციის წესების საფუძველზე, ჩვენ განვსაზღვრავთ რა გვჭირდება:

ჩანთაში:
Ამ გზით:

და ეს არის თავად ცხრილის ინტეგრალი (ინტეგრალების ცხრილი, რა თქმა უნდა, ასევე მოქმედებს ცვლადზე).

დღის ბოლოს შეუძლებელი გახდა შემცვლელი. Იცი რა.

მზადაა.

გამოკვლეული კონდახის დასრულებული დიზაინი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

“

შევცვალოთ:

“

არამიმდინარე მათემატიკური მნიშვნელობის ხატი, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შევწყვიტეთ ამონახსნები შემდგომი ახსნისთვის.

კონდახის გაფორმებისას საყელოს გამოცვლის ზედნადების სამკერდე ნიშანი იკერება და არა უბრალო ზეთისხილით ამოტვიფრული.

პატივისცემა!ასეთ კონდახებში დიფერენციალური დიფერენციალი მონიშნულია ანგარიშით და არაფერია შესამჩნევი.

ახლა კი დროა გამოიცნოთ ალუბლის პირველი გზა:

Რა განსხვავებაა? პრინციპში განსხვავება არ არის. ეს რეალურად იგივეა. თუმცა, დიზაინის გარეგნულად, ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი ძალიან მოკლეა..

სწორედ საკვების ბრალია. რადგან პირველი მეთოდი მოკლეა, მაშინ უნდა ავირჩიოთ ჩანაცვლების მეთოდი? მარჯვნივ, დაბალი ინტეგრალებისთვის არც ისე ადვილია ფუნქციის "ადაპტაცია" დიფერენციალურ ნიშანთან.

კონდახი 6

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება: (მნიშვნელოვანია აქ ჩანაცვლება)

როგორც ხედავთ, ჩანაცვლების შედეგად, გამომავალი ინტეგრალი საგრძნობლად მცირდება - ადის თავდაპირველ სტატიკურ ფუნქციამდე. ეს არის იგივე ჩანაცვლების მეთოდი - გაამარტივეთ ინტეგრალი.

ხაზის ადამიანებს შეუძლიათ მარტივად გამოთვალონ ეს ინტეგრალი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის გამოწერით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი გამოსავალი აშკარად არ არის ყველა სტუდენტისთვის. გარდა ამისა, ამ აპლიკაციას უკვე აქვს დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციების დაქვემდებარების განსხვავებული მეთოდი ხელისუფლებასთან დაკარგვის მნიშვნელოვანი რისკი არსებობს.

კონდახი 7

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი. ვიკონატი ხელახლა გადაამოწმეთ.

კონდახი 8

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

Ცვლილება:
დაკარგული z'yasuvati, რა უნდა შეიცვალოს

კარგი, ჩვენ გავარკვიეთ, კიდევ რა არის "X"-თან მუშაობა, რა მოხდება, თუ სამსახური დაკარგე ციფრებით?!
ზოგჯერ ინტეგრალების ამოხსნისას ჩნდება შეურაცხმყოფელი ხრიკი: ეს სწორედ ამ ჩანაცვლებიდან შეგვიძლია გავარკვიოთ!

კონდახი 9

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მაგალითი. დავამთავროთ გაკვეთილი.

კონდახი 10

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

სიმღერით, სიგელები გამოხატავდნენ პატივისცემას, რომ ჩემი წინაპრის სუფრაში არ არსებობს ცვალებადის შეცვლის წესი. ზრობლენო წე სვიდომო. წესი ახსნაში დაბნეულობას მოიტანს, თვალისმომჭრელი კონდახის ფრაგმენტები აშკარა ხედში არ ჩანს.

დადგა დრო, ვისაუბროთ გონების მთავარ ცვლილებაზე და ცვლილების ჩანაცვლების მეთოდზე: ინტეგრალურ გამოსახულებას აქვს იგივე ფუნქცია:(ფუნქციები შეიძლება იყოს ან არ იყოს ხელმისაწვდომი)

ამასთან დაკავშირებით, ინტეგრალების პოვნისას, ხშირად უნდა გადახედოთ მათთან დაკავშირებულ ცხრილს.

მაგალითში აღნიშნულია, რომ რიცხვის დონე სტანდარტულ დონეზე ერთით ნაკლებია. მსგავსებათა ცხრილიდან გვაქვს ფორმულა, რომელიც ამცირებს ეტაპს. ასე რომ, თუ თქვენ დანიშნეთ ხელმომწერად, მაშინ დიდი შანსია, რომ მრიცხველი კარგად აღმოჩნდეს.

მოდით გადავიდეთ გვერდითი დამატებაზე - ცვლადების ჩანაცვლების მეთოდი ხელმოუწერელ ინტეგრალში.

კონდახი 5

Like კონდახი საკმაოდ ინტეგრალურია, რომელსაც გაკვეთილის დასაწყისში გადავხედეთ. როგორც უკვე ვთქვით, ვერტიკალური ინტეგრალისთვის გვაქვს ცხრილის ფორმულა ,

და ყველას მარჯვნივ სურს იცოდეს მის წინაშე.

ჩანაცვლების მეთოდის იდეა არის ჩაანაცვლეთ დასაკეცი ფორმა (ან ფუნქცია) ერთი ასოთი.

ვიღაც ეკითხება:

მეგობარს პოპულარობისთვის წერილის გამოცვლა - მთელი წერილი ზ. პრინციპში შესაძლებელია სხვა ლიტერატურის მიბაძვა, მაგრამ მაინც ტრადიციის დაცვა.

საათამდე გვეწურება შემცვლელები dx! შანტელი, ვინც მიხვდა, რომ ახალ ცვლილებაზე გადასვლა მიმდინარეობს ტ, მაშინ ახალ ინტეგრალში ყველაფერი ასოს საშუალებით შეიძლება გამოიხატოს ტდა დიფერენციალური dxიქ საერთოდ ადგილი არ არის. შემდეგი არის ლოგიკური დასკვნა, რომ dxსაჭირო გარდაქმნას იგი კრეატიულ გზად, რომელიც მხოლოდ დიდხანს გრძელდებატ.

დია თაკა. მას შემდეგ რაც შევარჩიეთ შემცვლელი, ამ აპლიკაციაში უნდა ვიცოდეთ დიფერენციალი dt.

ახლა პროპორციის წესები განსაზღვრავს dx:

.

Ამ გზით:

.

და ეს არის თავად ცხრილის ინტეგრალი

(ინტეგრალების ცხრილი ბუნებრივია და მოქმედებს ცვლადისთვის ტ).

დღის ბოლოს შეუძლებელი გახდა შემცვლელი. Იცი რა.

გამოკვლეული კონდახის დასრულებული დიზაინი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

შევცვალოთ: მაშინ

.

.

არამიმდინარე მათემატიკური მნიშვნელობის ხატი, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შევწყვიტეთ ამონახსნები შემდგომი ახსნისთვის.

კონდახის გაფორმებისას საყელოს გამოცვლის ზედნადების სამკერდე ნიშანი იკერება და არა უბრალო ზეთისხილით ამოტვიფრული.

პატივისცემა!წინა კონდახებზე ახალი შემცვლელი დიფერენციალი არ იქნება მოხსენებული.

გამოიცანით გამოცნობის პირველი გზა:

Რა განსხვავებაა? პრინციპში განსხვავება არ არის. ეს რეალურად იგივეა.

თუმცა, დიზაინის გარეგნულად, ფუნქციის დიფერენციალურ ნიშანზე გადაცემის მეთოდი საკმაოდ მოკლეა.

სწორედ საკვების ბრალია. რადგან პირველი მეთოდი მოკლეა, მაშინ უნდა ავირჩიოთ ჩანაცვლების მეთოდი? მარჯვნივ, დაბალი ინტეგრალებისთვის არც ისე ადვილია ფუნქციის "ადაპტაცია" დიფერენციალურ ნიშანთან.

კონდახი 6

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

.

შევცვალოთ:

;

.

როგორც ხედავთ, ჩანაცვლების შედეგად, გამომავალი ინტეგრალი საგრძნობლად მცირდება - ადის თავდაპირველ სტატიკურ ფუნქციამდე. ეს არის იგივე ჩანაცვლების მეთოდი - გაამარტივეთ ინტეგრალი.

ხაზის ადამიანებს შეუძლიათ მარტივად გამოთვალონ ეს ინტეგრალი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის გამოწერით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი გამოსავალი აშკარად არ არის ყველა სტუდენტისთვის. გარდა ამისა, ამ აპლიკაციას უკვე აქვს დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციების დაქვემდებარების განსხვავებული მეთოდი ხელისუფლებასთან დაკარგვის მნიშვნელოვანი რისკი არსებობს.

კონდახი 7

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი

ვიკონატი ხელახლა გადაამოწმეთ.

კონდახი 8

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

.

გადაწყვეტილება:ჩვენ ვცვლით: .

.

დაკარგული z'yasuvati, რა უნდა შეიცვალოს xdx? ინტეგრალების ამოხსნის შემდეგ გამოჩნდება შემდეგი ხრიკი: xამის გაგება შეგვიძლია:

.

კონდახი 9

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მაგალითი. დავამთავროთ გაკვეთილი.

კონდახი 10

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

სიმღერით, სიგელები გამოხატავდნენ პატივისცემას, რომ წინამორბედთა ცხრილში არ არსებობს ცვალებადი ჩანაცვლების წესი. ზრობლენო წე სვიდომო. წესი ამ გაგების გარკვევამდე მიიყვანდა თაღლითს, საზიზღარი დუნდულების ფრაგმენტები აშკარა ხედში არ ჩანს.

დადგა დრო, ვისაუბროთ გონების მთავარ ცვლილებაზე და ცვლილების ჩანაცვლების მეთოდზე: ინტეგრალურ გამოხატულებას აქვს სასიმღერო ფუნქცია მაგარია. მაგალითად, იაკი : .

ფფუნქციები, რომლებიც შეიძლება იყოს ქმნილებაზე მაღლა, ან სხვას დაქვემდებარებული.

ამასთან დაკავშირებით, ინტეგრალების პოვნისას, ხშირად უნდა გადახედოთ მათთან დაკავშირებულ ცხრილს.

მე-10 შემთხვევაში აღნიშნულია, რომ რიცხვის დონე ერთით ნაკლებია სტანდარტულ დონეზე. მსგავსებათა ცხრილიდან გვაქვს ფორმულა, რომელიც ამცირებს ეტაპს. აბა, რას გულისხმობ ტაღმნიშვნელი, მაშინ არის დიდი შანსები, ისევე როგორც რიცხვი xdxთავი კარგად აჩვენე:

Ცვლილება: .

საუბრის წინ არც ისე რთულია ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოქცევა:

უნდა აღინიშნოს, რომ ფრაქციებისთვის ასეთი ხრიკი აღარ იმუშავებს (უფრო ზუსტად, როგორც ჩანს, საჭირო იქნება არა მხოლოდ ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება).

შეგიძლიათ ისწავლოთ წილადების ინტეგრირება კლასში დასაკეცი გასროლის ინტეგრაცია. ასევე არსებობს რამდენიმე სტანდარტული აპლიკაცია დამოუკიდებელი განვითარებისთვის იმავე მეთოდის გამოყენებით.

კონდახი 11

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი

კონდახი 12

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი

გადაწყვეტილებები გაკვეთილის ბოლოს.

კონდახი 13

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი

.

ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ მსგავსებათა ცხრილში და ვიპოვოთ ჩვენი რკალის კოსინუსი: ჩვენს ინტეგრანდში ფრაგმენტები აღმოჩენილია არკოზინი და ის ამის მსგავსია.

ზაგალნეს წესი:

უკან ტნიშნავს თავად ფუნქციას(არ წახვიდე).

Ამ განყოფილებაში: . კავშირი დაიკარგა, ამიტომ ინტეგრალური გამოხატვის ნაწილი, რომელიც დაკარგულია, გარდაიქმნება.

ვისი კონდახი ზედმეტად არის მოხმარებული დ ტ მოდით დავწეროთ მოხსენება, ფრაგმენტები - დასაკეცი ფუნქცია:

აბო, მოკლედ:

.

პროპორციის წესი განსაზღვრავს ჩვენთვის საჭირო ჭარბს: .

Ამ გზით:

კონდახი 14

იპოვეთ არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი.

.

დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მაგალითი. სიტყვა უკვე ახლოსაა.

ძვირფასო მკითხველებმა შენიშნეს, რომ ჩვენ ვნახეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რამდენიმე გამოყენება. და ეს არ არის დაზიანებული, ფრაგმენტები ქვეშ და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალებიშემოღებული 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7 გაკვეთილების ირგვლივ. უფრო მეტიც, მოცემულია რამდენიმე ძირითადი მითითება შემცვლელი ნაწილის გამოცვლისთვის, რაც განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ჩაიდანისთვის, რისთვისაც დაუყოვნებლივ არ არის ნათელი, რომ თავად ჩანაცვლება უნდა განხორციელდეს რომელიმე სხვა ინტეგრალში. იგივე ტიპის ჩანაცვლება შეგიძლიათ იხილოთ 7.2 მუხლში.

უფრო მოწინავე სტუდენტებს შეუძლიათ ისწავლონ სტანდარტული ჩანაცვლებით ირაციონალური ფუნქციების მქონე ინტეგრალებში

მაგალითი 12: გადაწყვეტილება:

შევცვალოთ:

მაგალითი 14: გადაწყვეტილება:

შევცვალოთ:

ცვლადის ჩანაცვლება ამოუცნობი ინტეგრალისთვის. დიფერენციალური ტრანსფორმაციის ფორმულა. ინტეგრაციის გამოყენება. გამოიყენეთ ხაზოვანი ჩანაცვლება.

ზმისტ

დივ. ასევე: არამნიშვნელოვანი ინტეგრალების ცხრილი
ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები და მათი უფლებამოსილებები

ჩანაცვლების მეთოდი

ცვლადის დამატებით ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მარტივი ინტეგრალები და, ზოგიერთ შემთხვევაში, გაამარტივოთ ნაკეცების გამოთვლა.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ გამომავალი ცვლადის ინტეგრაციიდან, არ მადარდებს x, გადავდივართ შემდეგ ცვლადზე, რომელიც მნიშვნელოვანია როგორც t. ამ შემთხვევაში, ჩვენ პატივს ვცემთ, რომ x და t ცვლილებები დაკავშირებულია x = x ფაქტობრივ ურთიერთობასთან (ტ), ან t = t (x). მაგალითად, x = ტ, x = სინტი, t = 2 x + 1და ა.შ. ჩვენი ამოცანაა ავირჩიოთ ისეთი სიმკვრივე x-სა და t-ს შორის, რათა გამომავალი ინტეგრალი ან დაბრუნდეს ცხრილში, ან გახდეს უფრო მარტივი.

ხორცის ჩანაცვლების ძირითადი ფორმულა

მოდით შევხედოთ გამოხატულებას, რომელიც დგას ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ. იგი შედგება ინტეგრალური ფუნქციის შექმნისგან, რომელიც მნიშვნელოვანია როგორც f (x)და დიფერენციალური dx: . მოდით გადავიდეთ ახალ t ცვლილებაზე x = x ურთიერთობის არჩევით (ტ). შემდეგ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ფუნქცია f (x)და დიფერენციალური dx t ცვლადის მეშვეობით.

ინტეგრალური ფუნქციის დასადგენად f (x) t ცვლილების მეშვეობით თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ x ცვლილება x = x სახით (ტ).

დიფერენციალური შებრუნება გამოითვლება შემდეგნაირად:
.
მაშინ დიფერენციალი dx იგივეა, რაც x დიფერენციალი t დიფერენციალში dt.

თოდი
.

სინამდვილეში, ყველაზე ხშირად არის პრობლემა, რომელშიც ხდება ჩანაცვლება, ახლის არჩევა, როგორც ძველის ფუნქცია: t = t (x). ჩვენ მივხვდით, რომ ინტეგრალური ფუნქცია ჩანს
,
დე ტ' (x)- tse მსგავსია x-ის მაშინ
.

ასევე, ფქვილის ჩანაცვლების ძირითადი ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორ ტიპად.
(1) ,
de x - tse ფუნქცია vіd t.
(2) ,
სადაც t არის x-ის ფუნქცია.

უფრო პატივისცემით

ინტეგრალების ცხრილებში გადასვლის ინტეგრაცია ყველაზე ხშირად აღინიშნება როგორც x. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ცვალებადი ინტეგრაცია შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი ასოთი. და უფრო მეტიც, როგორც ცვალებადი ინტეგრაცია, ეს შეიძლება იყოს.

შევხედოთ ტაბულურ ინტეგრალს კონდახის სახით
.

აქ x შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ცვალებადი ფუნქციით ან ცვალებადი ფუნქციით. კონდახის ღერძი შესაძლებელია:
;
;
.

დანარჩენ აპლიკაციაში შესწორებულია შემდეგი, ისე რომ x ცვლად ინტეგრაციაზე გადასვლისას დიფერენციალი შემდეგნაირად გარდაიქმნება:
.
თოდი
.

რომელ აპლიკაციას აქვს ჩანაცვლებით ინტეგრაციის არსი. მაშინ შეგვიძლია გამოვიცნოთ რა
.
ამის შემდეგ ინტეგრალი მცირდება ცხრილამდე.
.

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ეს ინტეგრალი დამატებითი ჩანაცვლების ფორმულის გამოყენებით (2) . დავდოთ t = x 2+x. თოდი
;
;

.

ინტეგრაციის აპლიკაცია ჩანაცვლებით

1) გამოთვლითი ინტეგრალი
.
ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ (sin x)′ = cos x. თოდი

.
აქ ჩავსვამთ ჩანაცვლებას t = ცოდვა x.

2) გამოთვლითი ინტეგრალი
.
აღვნიშნოთ, რომ... თოდი

.
აქ ჩვენ ვახდენთ ვიკონურ ინტეგრაციას t = ცვლილების ჩანაცვლებით არქტანი x.

3) ინტეგრირებული
.
აღვნიშნოთ, რომ... თოდი

. აქ ინტეგრაციის დროს ხდება t = x ცვლადის ჩანაცვლება 2 + 1 .

ხაზოვანი ჩანაცვლებები

ალბათ ყველაზე ვრცელი არის ხაზოვანი ჩანაცვლება. ეს არის ცვალებადი გარეგნობის ჩანაცვლება
t = ცული + ბ,
დე ა და ბ - მუდმივი. ასეთი ჩანაცვლებისთვის, დიფერენციაციები დაკავშირებულია ერთობლივ ურთიერთობებთან
.

ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის აპლიკაციები

ა)შეაფასეთ ინტეგრალი
.
გადაწყვეტილება.
.

ბ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გადაწყვეტილება.
მას აჩქარებს ჩვენების ფუნქციის ავტორიტეტები.
.
2-ში- ეს არ არის სტატიკური. ინტეგრალი შეიძლება გამოითვალოს.

.

გ)შეაფასეთ ინტეგრალი
.
გადაწყვეტილება.
შევამციროთ კვადრატული წევრი ნიშნიდან კვადრატების ჯამამდე.
.
ინტეგრალი შეიძლება გამოითვალოს.

.

დ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გადაწყვეტილება.
ხსნადი მდიდარი ნაერთი ფესვის ქვეშ.

.
ცვალებადი ჩანაცვლების ინტეგრირებული, სტატიკური მეთოდი.

.
ადრე ჩვენ უარვყავით ფორმულა
.
ზვიდის
.
ამის წარდგენის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გავაუქმოთ ნარჩენი მტკიცებულებები.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ვიციტრალებიდან ინტეგრალების გამოთვლისას მნიშვნელოვანია მკაცრად არ გამოვყოთ დაკავშირებული პრობლემის ეტაპები (პირველადი ინტეგრალური ფუნქციის პოვნა, პირველადის ზრდის პოვნა). ეს მიდგომა, რომელსაც vikorista აკონკრეტებს, ცვლის ფორმულებს და აერთიანებს ნაწილებით ინტეგრალური ინტეგრალისთვის, ამიტომ საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ ამონახსნის ჩაწერა.

თეორემა. მოდით, ფუნქცია φ(t) განუწყვეტლივ გადავიდეს ჭრილში [α,β], а=φ(α), в=φ(β), ხოლო ფუნქცია f(х) არის უწყვეტი კანის x წერტილში x სახით. =φ(t), სადაც t[α,β].

მაშინ ასეთი ეჭვიანობა გამართლებულია:

ამ ფორმულას ეწოდება ინტეგრალში ცვლადის ჩანაცვლების ფორმულა.

უფასურ ინტეგრალთან ადრე არსებული ვითარების მსგავსად, ცვლადის სწრაფი ჩანაცვლება საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ ინტეგრალი და მივახლოვოთ იგი ცხრილთან. დაუფასებელი ინტეგრალის ჩასანაცვლებლად, არ არის საჭირო გამომავალი ცვლადის ინტეგრაციაზე დაბრუნება. საკმარისია ვიცოდეთ α-სა და β-ის ინტეგრაციას შორის t ახალი ცვლილების მიღმა, როგორც გადაწყვეტა t დონის ცვლილების ფ(t)=а და φ(t)=в. ფაქტობრივად, გადასვლის შეცვლისას, ისინი ხშირად იწყებენ ახალი ცვლილების t=ψ(x) შეფარდების მითითებით ძველთან. ამ შემთხვევაში ურთიერთობა t ცვლადის ინტეგრაციას შორის არის: α = ψ (a), β = ψ (c).

მაგალითი 19. გამოთვალეთ

დავდოთ t = 2-ის 2. მაშინ dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. თუ x=0, მაშინ t=2-0 2 =2 და თუ x=1, მაშინ t = 2-1 2 = 1. ოტჟე:

მაგალითი 20. გამოთვალეთ

შესაძლებელია შემცვლელის სწრაფად შეცვლა. თოდი ი. თუ x=0, მაშინ t=1 და თუ x=5, მაშინ t=4. ჩანაცვლების შემდეგ, გაუქმებულია.