მატრიცის სვეტების რიგების წრფივი დამოუკიდებლობასთან კავშირები. მატრიცის რანგი. ირიბი მცირეწლოვანების მეთოდი. მატრიცის მწკრივების (მწკრივების) წრფივი დამოუკიდებლობა. არასრულწლოვანთა ჩარჩოების მეთოდის გამოყენებით, გაარკვიეთ მატრიცის რანგი

მოდით შევხედოთ mxn ზომის საკმაოდ კვადრატულ მატრიცას.

მატრიცის რანგი.

მატრიცული რანგის ცნება დაკავშირებულია მატრიცის მწკრივების (მწკრივების) წრფივი პოზიციის (დამოუკიდებლობის) კონცეფციასთან. მოდით შევხედოთ რიგების კონცეფციას. სტოვტებისთვის - ანალოგიურად.

მნიშვნელოვანია A მატრიცის გადინება:

e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s სადაც a kj =a sj , j=1,2,…,n

არითმეტიკული მოქმედებებიმატრიცის მწკრივებზე (მიმატება, რიცხვით გამრავლება) შემოტანილია ოპერაციები, რომლებიც შესრულებულია ელემენტად ელემენტად: k = (k k, k k, ..., k k);

e k +е s = [(k1 + a s1), (a k2 + a s2), ..., (a kn + a sn)].

რიგს ეძახიან ხაზოვანი კომბინაციასტრიქონები e 1, e 2,..., e k, რადგან არსებობს ამ რიგების შემოქმედების მსგავსი ჯამები დამატებით აქტიურ რიცხვებზე:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

სტრიქონებს e 1, e 2,…, e m ეწოდება წრფივად იტყუება, ვინაიდან არსებობს აქტიური რიცხვები λ 1 , λ 2 ,…, λ m , ყველა არ არის ნულის ტოლი, ამიტომ ამ მწკრივების წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან მწკრივს: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ m e m = 0 დე 0 =(0,0,…,0) (1)

ვინაიდან წრფივი კომბინაცია ნულის ან მეტის ტოლია, თუ ყველა კოეფიციენტი λ i უდრის ნულს (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), მაშინ e 1, e 2,…, e m სტრიქონები ე.წ. წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა 1. იმისათვის, რომ e 1, e 2,..., e m სტრიქონები წრფივად იყოს დატანილი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ მწკრივებიდან ერთ-ერთი იყოს სხვა მწკრივების წრფივი კომბინაცია.

დასრულდა. აუცილებლობა. დატოვეთ რიგები e 1, e 2, ..., e m წრფივი დეპოზიტები. მოდი, მნიშვნელობისთვის (1) λ m ≠0, მაშინ

რომ. მწკრივი არის სხვა რიგების ხაზოვანი კომბინაცია. და ა.შ.

ხელმისაწვდომობა. შეუთავსეთ ერთ-ერთი მწკრივი, მაგალითად, სხვა რიგების ხაზოვანი კომბინაციით. შემდეგ იქნება რიცხვები, რომლებიც უდრის ეჭვიანობას, რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ხედიდან,

მე მინდა კოეფიციენტებიდან 1, (-1), ნულის ტოლი. ტობტო. რიგები ხაზოვანია. და ა.შ.

ვიზნაჩენნია. მცირე kth შეკვეთა mxn ზომის მატრიცას ეწოდება kth რიგის მშობელი ელემენტებით, რომლებიც დევს ნებისმიერი k მწკრივის და A მატრიცის ნებისმიერი k სვეტის ჯვარზე (k≤min(m,n)). .

კონდახი., მინორი 1-ლი რიგი: =, =;

minori მე-2 რიგი: , მე-3 რიგი

მე-3 რიგის მატრიცას აქვს 1-ლი რიგის 9 მინორი, მე-2 რიგის 9 მინორი და მე-3 რიგის 1 მინორი (ამ მატრიცის წარმოშობა).

ვიზნაჩენნია. მატრიცის რანგი Aმატრიცის ნულოვანი შემცვლელი მცირეწლოვანების უმაღლესი რიგი ეწოდება. აღნიშვნა – rg A ან r(A).

ძალა მატრიცის რანგამდე.

1) A nxm მატრიცის რანგი შეირჩევა უფრო მცირე ზომისგან, შემდეგ.

r(A)≤წთ(მ,ნ).

2) r(A)=0 თუ მატრიცის ყველა ელემენტი უდრის 0-ს, მაშინ. A = 0.

3) n-ე რიგის A კვადრატული მატრიცისთვის r(A)=n თუ A არ არის ვიროგენული.

(დიაგონალური მატრიცის წოდება იგივეა, რაც არანულოვანი დიაგონალური ელემენტების რაოდენობა).

4) თუ მატრიცის რანგი უდრის r-ს, მაშინ მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს r რიგის ერთი მინორი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, ხოლო დიდი რიგის ყველა მინორი ნულის ტოლია.

მატრიცული რიგებისთვის შემდეგი ურთიერთობები მოქმედებს:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

5) r(AB)=r(A), რომელიც არის კვადრატული არავირუსული მატრიცა.

6) r(AB) r(A)+r(B)-n, სადაც n არის A მატრიცის რიგების ან B მატრიცის რიგების რაოდენობა.

ვიზნაჩენნია. r(A) რიგის არანულოვანი მინორი ეწოდება ძირითადი მცირე. (მატრიცა A შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ძირითადი მცირე). სტრიქონები და სვეტები, რომელთა ჯვარედინი ზოლზე არის ძირითადი მცირე, ეწოდება დაქვემდებარებული ძირითადი რიგებიі ძირითადი პრინციპები.

თეორემა 2 (ბაზის მინორის შესახებ).ძირითადი რიგები (სტრიქონები) წრფივად დამოუკიდებელია. ნებისმიერი მწკრივი (ნებისმიერი მწკრივი) მატრიცა A არის ძირითადი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია.

დასრულდა. (რიგებისთვის). თუ ძირითადი რიგები წრფივად იყო ცალკე, მაშინ (1) თეორემის თანახმად, ამ მწკრივებიდან ერთ-ერთი იქნება სხვა ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაცია, მაშინ, ძირითადი უმნიშვნელოს მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, ამ მწკრივიდან შეიძლება აიღოთ წრფივი კომბინაცია. მითითებულია და ნულოვანი მწკრივი ამოღებულია, და ეს ნიშნავს, რომ , მაშასადამე, ბაზის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. რომ. ძირითადი რიგები წრფივად დამოუკიდებელია.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი არის ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაცია. იმიტომ რომ მწკრივებში (sovpts) საკმარისი ცვლილებებით, პირველადი ინარჩუნებს ტოლობის ძალას ნულამდე, შემდეგ, ძალაში ჩარევის გარეშე, მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ, რომ ბაზის მინორი არის მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში.

A =,ტობტო. წარმონაქმნები პირველ და პირველ რიგებში. მოდით 1£j£n, 1£i£m. ვაჩვენოთ, რომ პირველადი ცვლადი არის (r+1)-ე რიგი

თუ j£r ან i£r, ეს ცვლადი ნულის ტოლია, რადგან ამ ერთს ექნება ორი ახალი სვეტი ან ორი ახალი მწკრივი.

ვინაიდან j>r და i>r, ეს პირველადი არის A მატრიცის (r+1)-ე რიგის მინორი. მატრიცის რანგი უდრის r-ს, ხოლო უმაღლესი რიგის ნებისმიერი უმნიშვნელო უდრის 0-ს.

დარჩენილი (დამატებული) სტეკის ელემენტების შემდეგ განლაგებით, შეგვიძლია მისი ამოღება

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, სადაც დარჩენილი დანამატი ალგებრაში A ij შერწყმულია საბაზისო მინორთან M r და შესაბამისად A ij = M r ≠0 .

დარჩენილი ელემენტის A ij-ად დაყოფის შემდეგ, შეგვიძლია გამოვხატოთ ელემენტი a ij, როგორც წრფივი კომბინაცია: , de.

მნიშვნელობა i (i>r) ფიქსირდება და მისი ამოღება შესაძლებელია ნებისმიერი j-სთვის (j=1,2,…,n) ელემენტი ისტრიქონები e i წრფივად არის გამოხატული მწკრივების e 1, e 2, ..., e r და ა.შ. მე-ე რიგიძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაციით: . და ა.შ.

თეორემა 3. (აუცილებელია გონებრივი თანასწორობის საკმარისი დონე კოვარიატის ნულამდე).იმისათვის, რომ n-ე რიგის D-ის საწყისი ტოლი იყოს ნულის ტოლი, აუცილებელია და საკმარისია მწკრივი (მწკრივი) წრფივად დატანილი იყოს.

მტკიცებულება (გვ.40). აუცილებლობა. ვინაიდან n-ე რიგის საწყისი D უდრის ნულს, მატრიცის საბაზისო მინორი არის რიგის r.

მათ შორის, ერთი რიგი არის სხვების ხაზოვანი კომბინაცია. თეორემა 1-ის შემდეგ, საწყისი რიგები წრფივია.

ხელმისაწვდომობა. ვინაიდან D სტრიქონები განლაგებულია სწორხაზოვნად, თეორემა 1-ის მიხედვით, A i ერთი მწკრივი არის სხვა მწკრივების წრფივი კომბინაცია. A i მწკრივის ამოღებით ენიჭება წრფივი კომბინაცია, D მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, ნულოვანი მწკრივი იშლება. ისე, დეპუტატების უფლებამოსილების უკან D=0. და ა.შ.

თეორემა 4.ელემენტარული გარდაქმნების დროს იცვლება მატრიცის რანგი.

დასრულდა. როგორც წინაპრების ავტორიტეტების შემოწმების საათში აჩვენეს, როდესაც მათი წინაპრების კვადრატული მატრიცები ხელახლა იქმნება, ისინი ან იცვლებიან, ან მრავლდებიან არანულოვანი რიცხვით, ან იცვლებიან ნიშანს. ამ შემთხვევაში, შენარჩუნებულია გამომავალი მატრიცის ნულზე დაფუძნებული მინორების უმაღლესი რიგი. მატრიცის რანგი არ იცვლება. და ა.შ.

თუ r(A)=r(B), მაშინ i B – ექვივალენტი: A~B.

თეორემა 5.დამატებითი დახმარებისთვის ელემენტარულ ტრანსფორმაციებთან დაკავშირებით, შეგიძლიათ მატრიცა მოიყვანოთ ნაბიჯ-ნაბიჯ ვუყურებ.მატრიცა ეწოდება ეტაპობრივად, როგორც ჩანს:

A=, de a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Umovi r≤k მიიღწევა ტრანსპოზიციებით.

თეორემა 6.ნაბიჯ-ხშირი მატრიცის რანგი არის არანულოვანი რიგების რაოდენობა .

ტობტო. საფეხურების მატრიცის რანგი უფრო ძველია ვიდრე r, რადგან є ნულოვანი მინორის ჩანაცვლება r რიგით:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მატრიცის რიგები და სვეტები შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც განზომილებების არითმეტიკული ვექტორები მі ნაშკარად. ამრიგად, ზომის მატრიცა შეიძლება განიმარტოს, როგორც მთლიანობა მ ნ-მორნიხ ან ნ მ- ამქვეყნიური არითმეტიკული ვექტორები. გეომეტრიული ვექტორების ანალოგიით, ჩვენ წარმოგიდგენთ მატრიცის მწკრივებისა და სვეტების წრფივი თანმიმდევრულობის და ხაზოვანი შეუსაბამობის ცნებებს.

4.8.1. ვიზნაჩენნია. მწკრივი
დაურეკა რიგების ხაზოვანი კომბინაციაკოეფიციენტებით
ვინაიდან ამ სერიის ყველა ელემენტისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი თანასწორობა:

,
.

4.8.2. ვიზნაჩენნია.

რიგები
უწოდებენ წრფივად იტყუება, ვინაიდან ეს არის არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი მწკრივის ტოლი, მაშინ. გამოდის, რომ ყველა რიცხვი არ არის ნულის ტოლი

,
.

4.8.3. ვიზნაჩენნია.

რიგები
უწოდებენ წრფივი დამოუკიდებელი, ვინაიდან მათი ტრივიალური წრფივი კომბინაცია იგივეა, რაც ნულოვანი მწკრივი, მაშინ.

4.8.4. თეორემა. (მატრიცის რიგების წრფივი განლაგების კრიტერიუმი)

იმისათვის, რომ სტრიქონები წრფივად ჩამოყალიბდეს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთი მათგანი იყოს სხვების ხაზოვანი კომბინაცია.

მოგიტანეთ:

აუცილებლობა.გაუშვით რიგები
ხაზოვანი დეპონირებული, მაშინ ეს არის არატრივიალური წრფივი კომბინაცია, რომელიც მსგავსია ნულოვანი მწკრივისა:

სიძლიერის გაცვლის გარეშე, მისაღებია, რომ წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებიდან ნულის ჩანაცვლება (წინააღმდეგ შემთხვევაში რიგების გადანომრვა შესაძლებელია). ამ ურთიერთობის დაყოფის შემდეგ , გაუქმებადი

მაშინ პირველი რიგი არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

საკმარისობა.აიღეთ ერთი რიგი, მაგალითად, და სხვათა წრფივი კომბინაცია, მაგ

მაშინ არის სტრიქონების არატრივიალური ხაზოვანი კომბინაცია
ნულოვანი მწკრივის ტოლია:

ოჰ, რიგები
ხაზოვანი დეპოზიტები, საჭიროებისამებრ დასასრულებლად.

პატივისცემა.

მსგავსი მნიშვნელობები და დადასტურებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს მატრიცის კომპონენტებისთვის.

§4.9. მატრიცის რანგი.

4.9.1. ვიზნაჩენნია. მცირეწლოვანიწესით მატრიცები ზომა
ორდენის ლიდერს უწოდებენ ზურგზე ამოქარგული ელემენტებით რიგები და სტოვპცივ.

4.9.2. ვიზნაჩენნია. ნულოვანი მცირე შეკვეთის გარე ხედი მატრიცები ზომა
დაურეკა ძირითადი მცირეწლოვანივინაიდან მატრიცის ყველა მინორი წესრიგშია
ნულის ტოლი.

პატივისცემა. მატრიცა შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე ძირითად მინორს. ცხადია, ყველა სუნი ერთნაირი რიგის იქნება. ეს ასევე შესაძლებელია, თუ მატრიცა ზომა
მცირე შეკვეთა ნულის გარდა წესრიგშია არასრულწლოვნები
მაშინ არ ვიცი
.

4.9.3. ვიზნაჩენნია. რიგები (სტოუპტები), რომლებიც ქმნიან ძირითად მინორს, ეწოდება ძირითადირიგებში (მწკრივებში).

4.9.4. ვიზნაჩენნია. წოდებამატრიცას ეწოდება საბაზისო მინორის რიგი. მატრიცის რანგი ნიშნავდა
ან კიდევ
.

პატივისცემა.

მნიშვნელოვანია, რომ მშობლის რიგებისა და სვეტების თანასწორობის გამო, მატრიცის რანგი არ იცვლება მისი ტრანსპოზიციის გამო.

4.9.5. თეორემა. (მატრიცის რანგის უცვლელობა ელემენტარული გარდაქმნების გამო)

მატრიცის რანგი არ იცვლება ელემენტარული გარდაქმნების გამო.

დადასტურების გარეშე.

4.9.6. თეორემა. (ძირითადი მინორის შესახებ).

ძირითადი რიგები (სტრიქონები) წრფივად დამოუკიდებელია. მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სტრიქონი) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაციით.

მოგიტანეთ:

მოდით განვახორციელოთ მტკიცებულება მწკრივებისთვის. არგუმენტების დადასტურების დადასტურება შეიძლება განხორციელდეს ანალოგიით.

გაუშვით მატრიცული რანგი ზომა
უფრო უძველესი , ა
− ძირითადი მცირე. სირთულის შეზღუდვის გარეშე, მისაღებია, რომ გაფართოებების ძირითადი მცირე ნაწილი იყოს ზედა მარცხენა კუთხეში (წინააღმდეგ შემთხვევაში, მატრიცა შეიძლება შემცირდეს ამ ფორმამდე დამატებითი ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით):

დავიწყოთ ძირითადი რიგების წრფივი დამოუკიდებლობით. მტკიცებულება განხორციელდება პროტოლეგალური გზით. მისაღებია, რომ საბაზისო რიგები სწორხაზოვნად არის ჩამოყალიბებული. თეორემა 4.8.4-დან გამომდინარეობს, რომ ერთ-ერთი სერია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა ძირითადი სერიების წრფივი კომბინაციის სახით. მაშასადამე, თუ ამ მწკრივს ამოვიღებთ მითითებულ წრფივ კომბინაციას, მაშინ გამოვაკლებთ ნულოვან რიგს, რაც ნიშნავს, რომ მცირე
უდრის ნულს, რაც ნიშნავს საბაზისო მინორის მნიშვნელობას. ამ გზით გამარჯვება მოვიპოვეთ და ამგვარად, ძირითადი რიგების წრფივი დამოუკიდებლობა მიღწეული იქნა.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ მატრიცის თითოეული მწკრივი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაციის სახით. რა არის რიგის ნომერი, რომელსაც უყურებთ? ხედი 1-მდე რ, მაშინ, ცხადია, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტით, რომელიც უდრის ზედიზედ 1-ს და ნულოვანი კოეფიციენტები სხვა რიგებისთვის. მოდით ახლა ვაჩვენოთ რა არის რიგის ნომერი ხედი
ადრე
, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი სტრიქონების წრფივი კომბინაციით. მოდით შევხედოთ უმნიშვნელო მატრიცას
, წარმოშობა ბაზის მინორიდან
რიგის დამატებები და კარგად გაერთე
:

ვაჩვენოთ რა არის ეს არასრულწლოვანი
ხედი
ადრე
და ნებისმიერი სადგურის ნომრისთვის ხედი 1-მდე .

მართალია, რადგან სადგურის ნომერი ხედი 1-მდე რ, მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ არის შედეგი ორი ახალი პრინციპიდან, რომელიც, ცხადია, ნულის ტოლია. რა არის სადგურის ნომერი? ხედი რ+1-მდე და რიგის ნომერი ხედი
ადრე
, ეს
ეს არის უმაღლესი რიგის გამომავალი მატრიცის მინორი, უფრო დაბალი ვიდრე საბაზისო მინორი, და ეს ნიშნავს, რომ საბაზისო მინორის მნიშვნელობა ნულზე მაღალია. ამ წოდებით გაირკვა, რომ არასრულწლოვანმა
უდრის ნულს ნებისმიერი მწკრივის ნომრისთვის ხედი
ადრე
და ნებისმიერი სადგურის ნომრისთვის ხედი 1-მდე . დარჩენილი ნაბიჯების მიხედვით მისი განლაგებით, შეგვიძლია გამოვტოვოთ:

Აქ
− გაფართოებული ალგებრული დამატებები. ძვირფასო შო
, ამიტომაც
• ძირითადი მცირე. ოჟე, რიგის ელემენტები კშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი მწკრივების დამხმარე ელემენტების ერთი შეხედვით წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტებით, ისე რომ ისინი არ იყოს სვეტის ნომრის ქვეშ. :

ამ გზით, ჩვენ მივაღწიეთ, რომ საკმარისი რაოდენობის მატრიცის რიგები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ძირითადი რიგების ხაზოვანი კომბინაციის სახით. თეორემა დადასტურდა.

ლექცია 13

4.9.7. თეორემა. (არაგენერირებული კვადრატული მატრიცის რანგის შესახებ)

იმისათვის, რომ კვადრატული მატრიცა არ გენერირდეს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მატრიცის რანგი ტოლი იყოს მატრიცის ზომისა.

მოგიტანეთ:

აუცილებლობა.მოდით მივიღოთ კვადრატული მატრიცა ზომა ნє გამოუმუშავებელი, მაშინ
ასევე, პირველადი მატრიცა არის ძირითადი მინორი, მაშინ.

საკმარისობა.Წავედით
მაშინ ძირითადი მინორის რიგი შეფარდებითია მატრიცის ზომასთან, შესაბამისად, ძირითადი მინორი არის ორიგინალური მატრიცა , მაშინ.
ბაზის მინორის მნიშვნელობიდან.

გამოძიება.

იმისათვის, რომ კვადრატული მატრიცა არ გენერირდეს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი რიგები იყოს წრფივად დამოუკიდებელი.

მოგიტანეთ:

აუცილებლობა.კვადრატული მატრიცის ფრაგმენტები წარმოქმნილი არ არის და მათი წოდება უდრის მატრიცის ზომას
მაშინ პირველადი მატრიცა არის საბაზისო მინორი. ასევე, 4.9.6 თეორემის შემდეგ ბაზის მინორის შესახებ, მატრიცის რიგები წრფივად დამოუკიდებელია.

საკმარისობა.ვინაიდან მატრიცის ყველა მწკრივი წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მათი რანგი არ არის მატრიცის ზომაზე ნაკლები, რაც ნიშნავს
ასევე, წინა თეორემა 4.9.7-ის შემდეგ, მატრიცა є უცოლო.

4.9.8. ირიბი მცირეწლოვანების მეთოდი მატრიცის რანგის მოსაძებნად.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს მეთოდი უკვე ირიბად არის აღწერილი თეორემის მტკიცებულებაში საბაზისო მინორის შესახებ.

4.9.8.1. ვიზნაჩენნია. მცირეწლოვანი
დაურეკა მოდით ვისაუბროთ ამაზესი მინორის მიხედვით
, როგორც ეს არის აღებული არასრულწლოვანთაგან
გამომავალი მატრიცის ერთი ახალი მწკრივის და ერთი ახალი სვეტის დამატება.

4.9.8.2. მატრიცის რანგის პოვნის პროცედურა არასრულწლოვანთა ჩარჩოების მეთოდის გამოყენებით.

ჩვენ ვიცით, მატრიცის რომელი ზუსტი მინორი განსხვავდება ნულისაგან.

მოდით დავთვალოთ ყველა არასრულწლოვანი, რომელიც უნდა დაიფაროს.

თუ ისინი ნულის ტოლია, მაშინ ნაკადის მინორი არის ძირითადი, ხოლო მატრიცის წოდება უდრის ნაკადის მინორის რიგის.

თუ არასრულწლოვანთა შორის არის ნულის მინიმუმ ერთი ქვედანაყოფი, მაშინ აუცილებელია ზუსტი იყოს და პროცედურა ტრივიალურია.

ჩვენ ვიცით არასრულწლოვანთა მეთოდი, რომელიც განსაზღვრავს მატრიცის რანგს.

ადვილია სხვა რიგის მიმდინარე მინორის მითითება, განსხვავებით ნულისგან, მაგალითად,

მოდით გამოვთვალოთ მინორი, რომელიც უნდა განვსაზღვროთ:

ისე, რადგან ყველა მინორი არის მესამე რიგის, რომელიც ხდება ირიბი და ნულის ტოლი, მაშინ მინორი
¢ ძირითადი, მაშინ

პატივისცემა. კონდახის დათვალიერებიდან ირკვევა, რომ ეს რთული სამუშაოა. ამიტომ, ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდი ხშირად უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე არა.

4.9.9. მატრიცის რანგის ცოდნა ელემენტარული გარდაქმნების გზებით.

თეორემა 4.9.5 შეიძლება დადასტურდეს, რომ მატრიცის რანგი არ იცვლება ელემენტარული გარდაქმნების დროს (მაშინ ეკვივალენტური მატრიცების რიგები ტოლია). ამრიგად, მატრიცის წოდება უდრის ნაბიჯის სიხშირის მატრიცის რანგს, რომელიც განისაზღვრება გამომავალი ელემენტარული გარდაქმნებით. ეტაპობრივი მატრიცის რანგი აშკარად არის არა-ნულოვანი მწკრივების იგივე რაოდენობა.

მატრიცის წოდება მნიშვნელოვანია

ელემენტარული გადამუშავების მეთოდით.

მოდით შევამოწმოთ მატრიცა მხედველობის სიჩქარემდე:

ამოღებული ნაბიჯის სიხშირის მატრიცის არანულოვანი რიგების რაოდენობა არის სამი, შემდეგ

4.9.10. სისტემის რანგი არის წრფივი სივრცის ვექტორი.

მოდით შევხედოთ ვექტორულ სისტემას
რაღაც ხაზოვანი სივრცე . ვინაიდან ის წრფივად დამოუკიდებელია, მასში ხაზოვანი დამოუკიდებელი ქვესისტემის დანახვა შეიძლება.

4.9.10.1. ვიზნაჩენნია. ვექტორული სისტემის წოდება
ხაზოვანი სივრცე ეწოდება სისტემის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა. ვექტორული სისტემის წოდება
აღინიშნა როგორც
.

პატივისცემა. ვინაიდან ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მისი წოდება უდრის სისტემაში ვექტორების რაოდენობას.

ჩამოვაყალიბოთ თეორემა, რომელიც გვიჩვენებს ხაზოვან სივრცეში ვექტორთა სისტემის რანგსა და მატრიცის რანგს შორის კავშირს.

4.9.10.2. თეორემა. (წრფივი სივრცეში ვექტორული სისტემის რანგის შესახებ)

ვექტორთა სისტემის რანგი ხაზოვან სივრცეში ტოლია მატრიცის რანგის, რომლის სვეტებში ან რიგებში არის ვექტორების კოორდინატები წრფივი სივრცის თითოეულ საფუძველში.

დადასტურების გარეშე.

გამოძიება.

იმისათვის, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივ სივრცეში იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია მატრიცის რანგი, ან ვექტორების კოორდინატების რიგები ან რიგები ნებისმიერ საფუძველზე, გარდა რაოდენობისა. სისტემის ვექტორები.

მტკიცებულება აშკარაა.

4.9.10.3. თეორემა (წრფივი გარსის განზომილების შესახებ).

ვექტორების წრფივი გარსის ზომები
ხაზოვანი სივრცე ვექტორული სისტემის წინა წოდება:

დადასტურების გარეშე.

ზოგიერთი რიცხვი (ნებისმიერი რიცხვი ან ყველა შეიძლება იყოს ნულის ტოლი). ეს ნიშნავს ასეთი გულმოდგინების არსებობას დოქტრინების ელემენტებს შორის:

Z (3.3.1) ვიბრირებს, ასე

თუ თანასწორობა (3.3.3) სამართლიანია, მაშინ მწკრივებს წრფივად დამოუკიდებელი ეწოდება. კავშირი (3.3.2) გვიჩვენებს, რომ თუ ერთ-ერთი მწკრივი წრფივად არის გამოხატული სხვების მეშვეობით, მაშინ მწკრივები წრფივად დაქვემდებარებულია.

ადვილია დახატვა და შემობრუნება: ვინაიდან რიგები წრფივად არის დალაგებული, მაშინ იქნება მწკრივი, რომელიც იქნება სხვა რიგების ხაზოვანი კომბინაცია.

გაუშვით, მაგალითად, (3.3.3) .

ვიზნაჩენნია. ხედვათა მატრიცაში შევიტანოთ rth რიგის ნებისმიერი მინორი და ამ მატრიცის (r+1) რიგის მინორი შევიდეს მინორში. ჩვენ ვიტყვით, რომ ამ შემთხვევაში მცირე oblyamovaya minor (ან oblyamovaya for).

ახლა ჩვენ გეტყვით მნიშვნელოვან ლემას.

ლემაარასრულწლოვანთა ჩარჩოების შესახებ. ვინაიდან A მატრიცის r რიგის მინორი არის ნულის მკაფიო ფორმა და ყველა მინორი, რომელიც მას შეიცავს ნულის ტოლია, მაშინ A მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (მწკრივი) არის მისი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია. . ptsіv), რა დავამყაროთ.

დასრულდა. შერწყმის სიძლიერის განადგურების გარეშე, მნიშვნელოვანია, რომ rth რიგის ნულოვანი მინორის მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა დგას მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში A =:

A მატრიცის პირველი k მწკრივებისთვის ფორმულა აშკარაა: დაამატეთ წრფივი კომბინაცია, რომ შეიცავდეს ამ მწკრივს ერთის ტოლი კოეფიციენტით, ხოლო დანარჩენები ნულის ტოლი კოეფიციენტებით.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ A მატრიცის სხვა რიგები წრფივად არის გამოხატული პირველი k მწკრივების მეშვეობით. ამ მიზნით მინორი (r+1)-ე რიგი დაემატება k-ე რიგის მინორს () და ლ-th stovptsya():

გამოვაკლოთ მინორი ნულს ყველა k და l. ფაქტობრივად, არ არის განსხვავება ორ ახალ პუნქტს შორის. ფაქტობრივად, მინორისა და ირიბი მინორის ამოღება და, შესაბამისად, უდრის ნულს გონების უკან.

მოდით გამოვყოთ მინორი დანარჩენი ელემენტების შემდეგ ლ-th stovptsya:

პატივისცემით, ჩვენ უარვყოფთ:

(3.3.6)

Viraz (3.3.6) ნიშნავს, რომ A მატრიცის k მწკრივი წრფივად არის გამოხატული პირველი r სტრიქონებით.

ვინაიდან მატრიცის ტრანსპონირებისას არასრულწლოვანთა მნიშვნელობები არ იცვლება (პირველადი ძალის მეშვეობით), ყველაფერი სამართლიანად არის ნათქვამი მონაწილეებისთვის. თეორემა დადასტურდა.

მემკვიდრეობა I. მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (მწკრივი) არის ძირითადი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია. დიახ, მატრიცის საბაზისო მინორი ტოლია ნულის ტოლია, ხოლო ყველა მინორი, რომელიც მას განსაზღვრავს, ნულის ტოლია.

ნასლედოკ II. n-ე რიგის წარმოშობა ასევე მეტია ნულის ტოლი, ამიტომ შესაძლებელია წრფივი მწკრივების (stovps) განთავსება. მწკრივების (sovpts) წრფივი პოზიციის საკმარისობა დამწყებლის ნულთან ტოლობისთვის ადრე იყო მითითებული, როგორც დამწყებთათვის ძალა.

წამოვწიოთ. მოგვცეს n-ე რიგის კვადრატული მატრიცა, რომლის ერთი მინორი ნულის ტოლია. ვარსკვლავი მიუთითებს, რომ მატრიცის რანგი n-ზე ნაკლებია, მაშინ. მე მინდა ვიპოვო ერთი მწკრივი, რომელიც არის ამ მატრიცის ძირითადი სტრიქონების წრფივი კომბინაცია.

დავამტკიცოთ კიდევ ერთი თეორემა მატრიცის რანგის შესახებ.

თეორემა.მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა უდრის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალურ რაოდენობას და მატრიცის მაქსიმალურ წოდებას.

დასრულდა. მოდით მატრიცის რანგი A = უფრო ძველი r. მაშინ k ძირითადი რიგები წრფივად დამოუკიდებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ძირითადი მინორი ნულის ტოლია. მეორე მხარეს, იქნება ეს r+1 და მეტი მწკრივი წრფივად. მიუღებლად ვივარაუდოთ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ სიდიდის რიგის მინორი, რომელიც აღემატება ქვედა r-ს, რომელიც ჩაანაცვლებს ნულს მემკვიდრე 2 წინა ველის უკან. გასათვალისწინებელია, რომ ნულიდან შემცვლელი მცირეწლოვანთა მაქსიმალური რიგი უფრო ძველია ვიდრე r. ყველაფერი სამართლიანია რიგებისთვის და წევრებისთვის.

და ბოლოს, ჩვენ წარმოგიდგენთ კიდევ ერთ გზას მატრიცის რანგის მოსაძებნად. მატრიცის რანგი შეიძლება გამოითვალოს მაქსიმალური რიგის მინორის ცოდნით, რომელიც გამოკლებულია ნულიდან.

ერთი შეხედვით, ეს ვარაუდობს მინიმუმ საბოლოო, მაგრამ შესაძლოა მატრიცის მცირერიცხოვანთა დიდი რაოდენობის გამოთვლას.

თუმცა, შემდეგი თეორემა იძლევა გამარტივების ამ ხარისხს.

თეორემა.თუ A მატრიცის მინორი უდრის ნულს, და ყველა მინორი, რომელიც მას აკრავს, ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის რანგი უდრის r.

დასრულდა. საკმარისია იმის ჩვენება, რომ მატრიცის მწკრივების ნებისმიერი ქვესისტემა S>r-სთვის იქნება წრფივი დამოუკიდებელი თეორიის გონებაში (იმ თვალსაზრისით, რომ r არის მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა ან რაიმე მცირე რიგი. რაც უფრო დაბალია k ხდება ნული).

არ მივიღოთ. დაე, რიგები იყოს ხაზოვანი დამოუკიდებელი. არასრულწლოვანთა შესახებ თეორიის მიხედვით, რომლებიც ობლასტირებულია, მათი კანი წრფივად გამოისახება იმ სტრიქონებით, რომლებშიც არის მინორი და ხაზებით დამოუკიდებელ ნულს გამოკლებულებთან:

ახლა მოდით შევხედოთ შემდეგ ხაზოვან კომბინაციას:

ან კიდევ

ვიკორისტოვიუჩი (3.3.7) და (3.3.8), გამორიცხულია

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს რიგების ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

კარგი, ჩვენი ვარაუდი არასწორია და, თუ თეორემის გონებაში S>r რიგები წრფივადაა დეპონირებული. თეორემა დადასტურდა.

მოდით შევხედოთ მატრიცის რანგის გამოთვლის წესს - ირიბი მინორების მეთოდს, ამ თეორემაზე დაყრდნობით.

მატრიცის რანგის გაანგარიშებისას, კვალი მიდის დაბალი რიგის მცირეწლოვანებიდან უფრო მაღალი რიგის მცირეწლოვანებამდე. თუ უკვე ნაპოვნია rth რიგის მინორი, ნულის გამოკლებით, მაშინ აუცილებელია გამოვთვალოთ (r+1)-ე რიგის მინორი, რათა შესრულდეს მინორი. თუ ისინი ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის წოდება უდრის r. ეს მეთოდი რთულია, რადგან ჩვენ არა მხოლოდ ვიანგარიშებთ მატრიცის რანგს, არამედ განვსაზღვრავთ, თუ რომელი სვეტები (სტრიქონები) აერთიანებს მატრიცის საბაზისო მინორს.

კონდახი. გამოთვალეთ მატრიცის რანგი მინორული მეთოდით.

გადაწყვეტილება. განსხვავებული რიგის მინორი, რომელიც დგას A მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში, იყოფა ნულიდან:

თუმცა, მესამე რიგის ყველა მცირეწლოვანი, რომელიც ნულის ტოლია:

;	;
;	;
;	.

ასევე, A მატრიცის რანგი ორგვარია: .

პირველი და სხვა რიგები, პირველი და სხვა სვეტები ამ მატრიცაში არის ძირითადი. სხვა რიგები და მათი ხაზოვანი კომბინაციები. სინამდვილეში, რანგებისთვის შემდეგი წილები სამართლიანია:

და ბოლოს, ასეთი ხელისუფლების სამართლიანობა მნიშვნელოვანია:

1) დამატებითი მატრიცის წოდება არ აღემატება კანისა და აბსცესების წოდებას;

2) დამატებითი მატრიცის A რანგი მარჯვნივ ან გამოუმუშავებელი კვადრატული მატრიცა Q უდრის A მატრიცის რანგს.

მდიდარი წევრების მატრიცები

ვიზნაჩენნია. მრავალმხრივი მატრიცა ან -მატრიცა არის მართკუთხა მატრიცა, რომლის ელემენტები ერთი გაცვლის მრავალრიცხოვანია რიცხვითი კოეფიციენტებით.

ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება გაკეთდეს -მატრიცებზე. მათთვის გასაგებია:

ორი რიგის (სტოფპტების) გადაწყობა;

მწკრივი მრავლდება ნულის გარდა სხვა რიცხვზე;

დანამატი ერთი რიგის (stovptsya) მეორე რიგის (stovptsya), გამრავლებული ნებისმიერი მდიდარი ტერმინით.

ერთი და იგივე განზომილების ორ მატრიცას ექვივალენტური ეწოდება: ერთი მატრიციდან მეორეში შესაძლებელია ელემენტარული გარდაქმნების დამატებით საბოლოო რაოდენობაზე გადასვლა.

კონდახი. მოიყვანეთ ეკვივალენტობის მატრიცა

1. შეცვალეთ პირველი და მეორე სვეტები მატრიცაში:

2. მეორე მწკრივიდან ჩვენ ვხედავთ პირველს, გამრავლებული ():

3. გაამრავლეთ მეორე მწკრივი (–1) და შესაბამისად,

4. სხვა თავს აკლდება პირველი გამრავლებული

აბსოლუტურად ყველაფერი - ამ განზომილებების მატრიცა იყოფა კლასებად, რომლებიც არ იცვლება, ექვივალენტურ მატრიცებად. მატრიცები, რომლებიც ერთმანეთის ეკვივალენტურია, ქმნიან ერთ კლასს, ხოლო ისინი, რომლებიც არ არიან ეკვივალენტური, ქმნიან მეორეს.

ეკვივალენტური მატრიცების კანის კლასს ახასიათებს ამ განზომილებების კანონიკური ან ნორმალური მატრიცა.

ვიზნაჩენნია. განზომილებების კანონიკური ან ნორმალური მატრიცა არის მატრიცა, რომლის მთავარი დიაგონალი შეიცავს მრავალ ტერმინს, რომელიც შეიცავს p - m და n რიცხვებზე ნაკლები ( ), ხოლო უმაღლესი კოეფიციენტები, 1-ის ტოლი, არ არის ნულის ტოლი და შემდეგი მდიდარი წევრი იყოფა წინა მხარეს. თავის დიაგონალის პოზის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია.

არსებობს მნიშვნელოვანი კვალი, რომ მრავალწევრების შუა რიცხვები შეიცავს ნულოვანი ხარისხის მრავალ წევრს, ყველა მათგანი თავის დიაგონალის დასაწყისში. თუ არის ნულები, მაშინ ისინი დგანან თავის დიაგონალის ბოლოს.

წინა კონდახის მატრიცა კანონიკურია. მატრიცა

ასევე კანონიკური.

კანის კლასი - მატრიცა, რომ შეცვალოს ერთი კანონიკური -მატრიცა, შემდეგ. კანის მატრიცა ექვივალენტურია ერთი კანონიკური მატრიცის, რომელსაც ეწოდება ამ მატრიცის კანონიკური ფორმა ან ნორმალური ფორმა.

ტერმინებს, რომლებიც დგას მოცემული მატრიცის კანონიკური ფორმის სათავე დიაგონალზე, ამ მატრიცის ინვარიანტული მულტიპლიკატორები ეწოდება.

ინვარიანტული მულტიპლიკატორების გამოთვლის ერთ-ერთი მეთოდი მოცემულ მატრიცას კანონიკურ ფორმამდე ამცირებს.

ამრიგად, წინა კონდახის მატრიცისთვის ინვარიანტული მულტიპლიკატორებით

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ უცვლელი მულტიპლიკატორების ერთი და იგივე სიმრავლის არსებობა აუცილებელი და საკმარისი გონებრივი ეკვივალენტობის მატრიცაა.

შემცირებული მატრიცა კანონიკურ ფორმამდე მცირდება ინვარიანტული მულტიპლიკატორების მნიშვნელობამდე

, ; ,

სადაც r – რანგის მატრიცები; - უმსხვილესი კონტრიბუტორი kth რიგის არასრულწლოვანთათვის, აღებულია უფროსი კოეფიციენტიდან, რომელიც უდრის 1-ს.

კონდახი. დაე, იყოს მოცემული - მატრიცა

გადაწყვეტილება. რა თქმა უნდა, პირველი ღელვის მაქსიმალური ხანგრძლივობა, მაშინ. .

განსხვავებული რიგის მნიშვნელოვანი მცირე:

და ა.შ.

უკვე საკმარისი ხარკია მისთვის ფულის საშოვნელად: , მაშინ, .

მნიშვნელობით

ოტიე, .

ამ თანმიმდევრობით, ამ მატრიცის კანონიკური ფორმაა მიდგომა-მატრიცა:

მატრიცის მრავალწევრებულს ეწოდება ვირაზის ფორმა

დე – შეცვლა; - n რიგის კვადრატული მატრიცები რიცხვითი ელემენტებით.

ვინაიდან S ეწოდება მატრიცის მულტიტერმინის ხარისხს, n არის მატრიცის მრავალტერმინის რიგი.

არის თუ არა მატრიცა კვადრატული, ის შეიძლება იყოს მატრიცის მრავალწევრი. სამართლიანად, გონივრულად და მტკიცედ ჩამოყალიბებული, მაშინ. ნებისმიერი მატრიცის ტერმინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კვადრატული მატრიცის სახით.

ამ განცხადებების მართებულობა აშკარად ჩანს მატრიცებზე მოქმედების ძალადან. მე დავრჩები შემდეგ დუნდულებზე:

კონდახი. გამოავლინეთ მდიდარი მატრიცა

მატრიცის მდიდარი ტერმინის სახით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება

კონდახი. მატრიცის მდიდარი ტერმინი

შეიძლება გამოყენებულ იქნას ერთი შეხედვით ხელმისაწვდომ მდიდარ წევრ მატრიცაზე (-მატრიცა)

მატრიცის წევრებისა და მრავალწევრიან მატრიცების ეს ურთიერთშემცვლელობა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ფაქტორებისა და კომპონენტების ანალიზის მეთოდების მათემატიკურ აპარატში.

ერთი და იგივე რიგის მატრიცული წევრები შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გამრავლდეს ისე, როგორც რიცხვითი მრავალწევრები რიცხვითი კოეფიციენტებით. სლაიდი, პროტე, მეხსიერება, ასე გამრავლებული მატრიცის მდიდარი წევრები, ვზაგალი, არა კომუტაციური, რადგან არაკომუტაციური გამრავლების მატრიცა.

ორ მატრიცულ პოლინომს ტოლი ეწოდება, რადგან მათი კოეფიციენტები ტოლია. სხვადასხვა მატრიცები ცვლილების იმავე დონეზე.

ორი მატრიცით მდიდარი წევრის ჯამი (შედეგი) არის ისეთი მატრიცით მდიდარი წევრი, რომლის კოეფიციენტი ცვლილების კანის სტადიაზე იგივეა, რაც კოეფიციენტების ჯამი (შედეგი) იმავე სამყაროში ერთსა და იმავე სამყაროში gatomembers i.

მატრიქსის უჯრედის მატრიცის უჯრედზე გასამრავლებლად საჭიროა მატრიცის უჯრედის კანის წევრი მატრიცის უჯრედის კანის წევრზე, ამოიღოთ ნაკეცები და მოიტანოთ მსგავსი ტერმინები.

მატრიცის მდიდარი წევრის ეტაპი - შექმენით ასოცირებული ეტაპების ნაკლები ან მეტი თანაბარი რაოდენობა.

მატრიცის ტერმინებზე ოპერაციებს შეიძლება მოჰყვეს დამატებითი ოპერაციები მსგავს მატრიცებზე.

მატრიცის წევრების დასაკეცად (ამაღლებისთვის) საკმარისად მოხარეთ (ამაღლება) ქვემატრიცები. იგივე აურზაური მრავლდება. - მატრიცის მდიდარი ტერმინების დამატების მატრიცა იგივე რიგისაა - სინთეზების მატრიცა.

მეორეს მხრივ, შეგიძლიათ დაწეროთ ერთი შეხედვით

de 0 არის არავირუსული მატრიცა.

როდესაც იყოფა მთავარზე, ეს ნამდვილად არის სწორი კონფიდენციალურობა და სწორი ჭარბი

ეტაპად R 1 უფრო მცირე სტადიაზე, ან (გაყოფილი ჭარბი გარეშე), ასევე დარჩა პირადი ან დარჩენილი ჭარბი ან და მხოლოდ მაშინ, თუ, თანმიმდევრობით

ან .

Z (3.3.1) ვიბრირებს, ასე

(3.3.2)

დე – ნულოვანი მწკრივი.

ვიზნაჩენნია. მატრიცის რიგები წრფივად არის დეპონირებული, ასე რომ, ისეთი რიცხვების პოვნა შეიძლება, რომ ყველა ერთდროულად არ იყოს ნულის ტოლი.

(3.3.3)

გაუშვით, მაგალითად, (3.3.3) .

ვიზნაჩენნია. მოდით წავიდეთ მატრიცაზე და თქვენ დაინახეთ არასრულწლოვანირ შეკვეთა და მინიორი (რ +1)-მატრიცის და მთელი ადგილის რიგით მინორი. ჩვენ ვიტყვით, რომ ამ შემთხვევაში მცირე oblyamovaya minor (ან oblyamovaya for).

ახლა ჩვენ გეტყვით მნიშვნელოვან ლემას.

ლემაარასრულწლოვანთა ჩარჩოების შესახებ. იაკშჩოს მცირე შეკვეთარ მატრიცა A = ნულის ტოლია, და ყველა მცირე რაოდენობა, რომელიც დამატებულია ნულის ტოლია, მაშინ A მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (მწკრივი) არის მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია, რომ გახდეს .

დასრულდა. ვერცხლისწყლის სიმშვიდის დარღვევის გარეშე, მნიშვნელოვანია, რომ ის იყოს ნულოვანი მინორის სახით.რ რიგითი განლაგებულია მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში A =:

პირველისთვის კ მატრიცის რიგები და ლემის მტკიცება აშკარაა: დაამატეთ წრფივი კომბინაცია, რომ შეიცავდეს ამ მწკრივს ერთის ტოლი კოეფიციენტით, ხოლო სხვები ნულის ტოლი კოეფიციენტებით.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ A მატრიცის სხვა რიგები წრფივად არის გამოხატული პირველის მეშვეობითკ რიგები. ვისთვის დავივიწყებთ არასრულწლოვანს (რ +1) არასრულწლოვანს ემატება გზის რიგიკ-ე რიგი () თა ლ-th stovptsya():

გამოვაკლოთ მინორი ნულს ყველასთვისკ და ლ . ფაქტობრივად, არ არის განსხვავება ორ ახალ პუნქტს შორის. ფაქტობრივად, მინორისა და ირიბი მინორის ამოღება და, შესაბამისად, უდრის ნულს გონების უკან.

მოდით გამოვყოთ მინორი დანარჩენი ელემენტების შემდეგლ-th stovptsya:

(3.3.4)

დე - ელემენტების ალგებრული დამატება. ალგებრული დამატებაარის A მატრიცის მინორი, ანუ. იყოფა (3.3.4)-ზე და გამოხატული მეშვეობით:

(3.3.5)

დე , .

პატივისცემით, ჩვენ უარვყოფთ:

(3.3.6)

ვირაზ (3.3.6) ნიშნავს იმასკ - მატრიცის A მწკრივი წრფივად არის გამოხატული პირველის მეშვეობით r რიგები.

ნასლიდოკ I . მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სტრიქონი) არის ძირითადი მწკრივების (სტრიქონების) წრფივი კომბინაცია. დიახ, მატრიცის საბაზისო მინორი ტოლია ნულის ტოლია, ხოლო ყველა მინორი, რომელიც მას განსაზღვრავს, ნულის ტოლია.

ნასლიდოკ II. მეორადი ლიდერი ნ მეორე თანმიმდევრობით, ნულზე მეტი არ არის, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ ხაზოვანი რიგები (სტაკები). მწკრივების (sovpts) წრფივი პოზიციის საკმარისობა დამწყებლის ნულთან ტოლობისთვის ადრე იყო მითითებული, როგორც დამწყებთათვის ძალა.

წამოვწიოთ. მოდით მივცეთ კვადრატული მატრიცან - რიგითი, ნებისმიერი ფარდობითი ნულოვანი ვარსკვლავის ერთიანი მინორი შეინიშნება, როდესაც მატრიცის რანგი უფრო დაბალია.ნ , მაშინ. მე მინდა ვიპოვო ერთი მწკრივი, რომელიც არის ამ მატრიცის ძირითადი სტრიქონების წრფივი კომბინაცია.

დავამტკიცოთ კიდევ ერთი თეორემა მატრიცის რანგის შესახებ.

დასრულდა. მოდით მატრიცას წოდება A = უფრო ძველირ. ნებისმიერ შემთხვევაში її კ საბაზისო სერიები წრფივად დამოუკიდებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში საბაზისო მინორი ნულის ტოლია. მეორეს მხრივ, იქნება ესრ +1 და დაალაგეთ მეტი მწკრივი წრფივად. მიუღებელის მიღებით, ჩვენ შეგვეძლო გვეცოდინებოდა იმაზე მეტი სიდიდის მცირე რიგირ , რედაქტირებულია ნულიდან 2 წინა კიდეების უკან. გასათვალისწინებელია, რომ ნულიდან შესაცვლელი მცირეწლოვანთა მაქსიმალური რიგი უძველესიარ . ყველაფერი სამართლიანია რიგებისთვის და წევრებისთვის.

თუმცა, შემდეგი თეორემა იძლევა გამარტივების ამ ხარისხს.

თეორემა.თუ მატრიცის A მინორი ნულის ტოლია და ყველა მცირერიცხოვანი, რომელიც მას განსაზღვრავს ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის რანგი ტოლიარ.

დასრულდა. მოდით ვაჩვენოთ რა არის მატრიცული მწკრივების ქვესისტემა როდის S>r მხედველობაში იქნება წრფივად დამოუკიდებელი თეორემა (იმ თვალსაზრისით, რომ r არის მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა ან ნებისმიერი მცირე რაოდენობა, რომელიც აღემატება სიდიდის ბრძანებას k ნულამდე).

(3.3.7)

მოდით შევხედოთ ხაზოვანი ვირუსების კოეფიციენტების მატრიცას (3.3.7):

ამ მატრიცის რიგები მნიშვნელოვანია . ისინი იქნება ხაზოვანი საბადოები, მატრიცის რანგის ფრაგმენტები ადრე, შემდეგ. ხაზობრივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც არ ავსებსრ< S . მაშასადამე, არის რიცხვები, რომლებიც ყველა არ არის ნულის ტოლი, მაგრამ

გადავიდეთ კომპონენტების თანასწორობაზე

(3.3.8)

ახლა მოდით შევხედოთ შემდეგ ხაზოვან კომბინაციას:

ან კიდევ

მატრიცის რიგების ხაზოვანი დამოუკიდებლობა

მოცემულია ზომის მატრიცა

მნიშვნელოვანია, რომ მატრიცის რიგები აღმავალი თანმიმდევრობითაა:

ორ რიგს ეძახიან თანაბარი თანაბარი დამხმარე ელემენტების მსგავსად. .

ჩვენ შემოგთავაზებთ მწკრივის რიცხვზე გამრავლების ოპერაციას და რიგების დამატებას, როგორც ოპერაციას, რომელიც ხორციელდება ელემენტად ელემენტად:

ვიზნაჩენნია.სერიას ეწოდება მატრიცის მწკრივების წრფივი კომბინაცია, რადგან ამ რიგების შექმნის თანაბარი ჯამებია შესაბამის რიცხვზე (ლუწი რიცხვები):

ვიზნაჩენნია.მატრიცის რიგები ე.წ წრფივად იტყუება , ვინაიდან არის რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ასე რომ, მატრიცის რიგების წრფივი კომბინაცია ნულოვანი მწკრივის ტოლია:

დე. (1.1)

ხაზოვანი პოზიციამატრიცის რიგები ნიშნავს, რომ გსურთ მატრიცის 1 მწკრივი და სხვების წრფივი კომბინაცია.

ვიზნაჩენნია.ვინაიდან მწკრივების წრფივი კომბინაცია (1.1) ნულის ტოლია და მაშინ, თუ ყველა კოეფიციენტი ტოლია, მაშინ რიგები ე.წ. წრფივი დამოუკიდებელი .

თეორემა მატრიცის რანგის შესახებ. მატრიცის წოდება უდრის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების ან სვეტების მაქსიმალურ რაოდენობას, რომლის მეშვეობითაც ყველა სხვა სტრიქონი (სვეტები) წრფივად არის გამოხატული.

თეორემა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს მატრიცის ანალიზში, განსაკუთრებით ხაზოვანი მწკრივების სისტემებში.

6, 13,14,15,16. ვექტორი. მოქმედებები ვექტორებზე (შეკრება, ჩანაცვლება, რიცხვით გამრავლება),ნ -ვირტუალური ვექტორი. ვექტორული სივრცისა და მისი საფუძვლის გაგება.

ვექტორს ეწოდება მონაკვეთების გასწორება კობ წერტილით ადა ბოლო წერტილი უ(რომელიც შეიძლება გადაადგილდეს თავის პარალელურად).

ვექტორები შეიძლება დაინიშნოს ორად დიდი მწერლები, და ერთი რიგი საზღვრებსა და ისარს შორის.

დოვჟინა (ან მოდული) ვექტორი არის რიცხვი, რომელიც უფრო ძველია AB-ის ბოლო მონაკვეთზე, რომელიც წარმოადგენს ვექტორს.

ვექტორებს, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე ან პარალელურ სწორ ხაზებზე, ეწოდება კოლინარული .

როდესაც ვექტორის თავი და კუდი შეერთებულია (), ასეთ ვექტორს უწოდებენ null იგი დანიშნულია = . ნულოვანი ვექტორის გაორმაგება ნულის ტოლია:

1) დამატებითი ვექტორი თითო რიცხვზე:

იქნება ერთმანეთთან ახლოს მყოფი ვექტორი, რომელიც პირდაპირ კავშირშია პირდაპირ ვექტორთან, რომელიც არის და პარალელურად, რომელიც არის .

2) პროტილაჟის ვექტორი -ვექტორის დამატებას ეწოდება - რიცხვი (-1), მაშინ. -=.

3) ორი ვექტორის ჯამი და მას ჰქვია ვექტორი, რომლის კობი გადის ვექტორის კობთან ერთად და ვექტორის ბოლო, რომელიც მთავრდება ვექტორის ბოლოთი. (ტრიკუტნიკის წესი). რამდენიმე ვექტორის ჯამი გამოითვლება ანალოგიურად.

4) განსხვავება ორ ვექტორს შორის ამას ეწოდება ვექტორისა და ვექტორის ჯამი -, გმირი.

სკალარული ტვირი

ვიზნაჩენნია: ორი ვექტორის სკალარული დამატება არის რიცხვი, რომელსაც აქვს ორი ვექტორის ერთნაირი დამატება მათ შორის არსებული ორი ვექტორის კოსინუსზე:

n-განზომილებიანი ვექტორი და ვექტორული სივრცე

ვიზნაჩენნია. n-ვირტუალურ ვექტორს ეწოდება მოწესრიგებული პოპულაცია ნ აქტიური ნომრები უნდა ჩაიწეროს მაყურებელთან x = (x 1, x 2, ..., x n), დე x i – მე - ვექტორის კომპონენტი X.

n-ვირუსული ვექტორის კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკაში; მაგალითად, საქონლის ნებისმიერი ნაკრები შეიძლება დახასიათდეს ვექტორით. x = (x 1, x 2, ..., x n),და დღიური ფასები y = (y 1, 2, ..., y n).

- ორი n-განზომილებიანი ვექტორი ტოლია და მაშინ, თუ მათი მსგავსი კომპონენტები თანაბარია, მაშინ. x=y, იაკშჩო x მე= y მე, მე = 1,2,…,ნ.

- ორი ვექტორის ჯამი თუმცა ზომები ნვექტორი ეწოდება z = x + y, რომლის კომპონენტები ემატება დამატებითი ვექტორების შესაბამისი კომპონენტების ჯამს, მაშინ. ზ მე= x მე+ y მე, i = 1,2, ..., ნ.

- დამატებითი ვექტორი x რიცხვზე ეწოდება ვექტორი, რომლის კომპონენტები უდრის ვექტორის შესაბამის კომპონენტებს, მაშინ. , მე= 1,2,…,ნ.

ხაზოვანი ოპერაციები ნებისმიერ ვექტორზე აკმაყოფილებს შემდეგ უფლებამოსილებებს:

1) - ჯამის კომუტაციური (მოძრავი) ძალა;

2) - ჯამის ასოციაციური (წარმატებული) ძალა;

3) - ასოციაციური სიმძლავრე რიცხვითი მამრავლის წინ;

4) - გამანაწილებელი (განაწილებული) სიმძლავრის ვექტორების ჯამზე;

5) - გამანაწილებელი ძალა;

6) არსებობს ნულოვანი ვექტორი, როგორიცაა ნებისმიერი ვექტორისთვის (განსაკუთრებით ნულოვანი ვექტორის როლი);

7) ნებისმიერი ვექტორისთვის ყველაზე გრძელი ვექტორი არის ისეთი, რომ ;

8) ნებისმიერი ვექტორისთვის (განსაკუთრებით რიცხვითი მულტიპლიკატორის როლი 1).

ვიზნაჩენნია. აქტიური კომპონენტების მქონე ვექტორების პრინციპი, რომელიც მოიცავს დასაკეცი ვექტორების მოქმედებას და ვექტორის გამრავლებას იმ რიცხვზე, რომელიც აკმაყოფილებს რვა სიმძლავრის მთლიანობას (აქსიომებად განიხილება), ე.წ. ვექტორული ბანაკი .

ვექტორული სივრცის ზომა და საფუძველი

ვიზნაჩენნია. წრფივი სივრცე ეწოდება ნ-მირნიმ სად მსოფლიოში გძინავს? ნწრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები და ზოგიერთი ვექტორიც კი უკვე დამოუკიდებელია. Სხვა სიტყვებით, სივრცის ზომა - ეს არის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება განთავსდეს ახალში. რიცხვს n ეწოდება სივრცის ზომა და არის დანიშნული.

n-სამყარო სივრცეში n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სიმრავლე ეწოდება საფუძველი .

7. სიმძლავრის ვექტორები და მატრიცის სიმძლავრის მნიშვნელობები. მატრიცის დამახასიათებელი გასწორება.

ვიზნაჩენნია. ვექტორი ე.წ ძლიერი ვექტორით ხაზის ოპერატორი, თუ არის ისეთი რიცხვი, როგორიცაა:

რიცხვს ძლიერი ეწოდება ოპერატორის მნიშვნელობები (მატრიცები ა), რომელიც ვექტორის მსგავსია.

შეგიძლიათ დაწეროთ მატრიცის სახით:

დე - ვექტორის კოორდინატების მატრიცა ან გაფართოებულ ხედში:

მოდით გადავიწეროთ სისტემა ისე, რომ მარჯვენა მხარეს ჰქონდეს ნულები:

მატრიცული ხედის მიხედვით: . ამოღებულია ერთგვაროვანი სისტემა, რის შედეგადაც არის ნულოვანი ხსნარი. არანულოვანი გადაწყვეტის შესაქმნელად საჭიროა და საკმარისია სისტემის წყაროსთვის: .

ძირითადი წევრი მდიდარი წევრია ნ-შოდოს ეტაპი. ამ მდიდარ წევრს ე.წ ოპერატორის დამახასიათებელი ვადა ან მატრიცები A და ოტრიმანა – ოპერატორის დამახასიათებელი მახასიათებლები ჩი მატრიცა A.

კონდახი:

იპოვეთ მატრიცით მითითებული ხაზოვანი ოპერატორის მნიშვნელობები და ვექტორები.

ქსოვა: არის დამახასიათებელი ქსოვა ან ხაზის ოპერატორის ინფორმაცია უფრო მნიშვნელოვანია.

ჩვენ ვიცით სიმძლავრის ვექტორი, რომელიც ადასტურებს სიმძლავრის მნიშვნელობას. რისთვის გამოიყენება მატრიცული განტოლება:

აბო , ან , ვარსკვლავები ცნობილია: , ან

აბო.

თუმცა, მისაღებია, რომ ვექტორები, ნებისმიერ შემთხვევაში, ხაზოვანი ოპერატორის მძლავრი ვექტორებია ძლიერი მნიშვნელობებით.

ანალოგიურად, ვექტორი.

8. სისტემა პხაზოვანი დონეებით პცვალებადი ( ზაგალნი ვიგლიადი). მატრიცული ფორმა ასეთი სისტემის ჩაწერისთვის. სისტემის (ღირებულების) გადაწყვეტილება. სულელური და აბსურდული, სიმღერები და ხაზოვანი წოდებების უმნიშვნელო სისტემები.

ხაზოვანი რიგების სისტემის გათიშვა უცნობისგან

ხაზოვანი მმართველების სისტემებმა იციან ეკონომიკის ფართო სტაგნაციის შესახებ.

ცვლადი მნიშვნელობებით წრფივი დონეების სისტემა ასე გამოიყურება:

de () - დამატებითი ნომრები, წოდებები კოეფიციენტები ცვლილებებისთვის і რიგების თავისუფალი წევრები აშკარად.

მოკლე შენიშვნა: ().

ვიზნაჩენნია.სისტემის ამონახსნებს უწოდებენ მნიშვნელობების ისეთ ერთობლიობას, როდესაც სისტემის ზოგიერთი კანის თანასწორობა იცვლება, ისინი გარდაიქმნება სწორ თანასწორობებად.

1) რეიტინგის სისტემა ე.წ საძილე ოთახი , თითქოს ერთი გამოსავალი მინდა, ეს გიჟირადგან გამოსავალი არ არის.

2) თოკების ერთობლივი სისტემა ე.წ სიმღერა , რადგან გადაწყვეტილება მხოლოდ ერთია, ეს ხელმოუწერელი რადგან არსებობს ერთზე მეტი გადაწყვეტილება.

3) რეიტინგის ორ სისტემას უწოდებენ თანაბრად ძლიერი (ექვივალენტი) როგორც ისინი იღებენ ერთსა და იმავე უპიროვნო გადაწყვეტილებას (მაგალითად, იგივე გადაწყვეტილებას).

მოდით დავწეროთ სისტემა მატრიცის სახით:

მნიშვნელოვანია: , დე

ა- ცვლილებების კოეფიციენტების მატრიცა ან სისტემის მატრიცა, X - ცვლადების მატრიცა-ღუმელები, უ - თავისუფალი წევრების მატრიცა-ღუმელები.

იმიტომ რომ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის სტრიქონების რაოდენობას, შემდეგ მათ დამატებებს:

Є მატრიცა-ღუმელები. მატრიცის ელემენტები კობ სისტემის მარცხენა ნაწილებია. თანასწორობის მნიშვნელობიდან გამომდინარე კობ სისტემის მატრიცა შეიძლება დაიწეროს: .

კრამერის თეორემა. ნეჰაი არის სისტემის მატრიცის პირველადი წევრი და არის მატრიცის პირველადი წევრი, რომელიც ამოღებულია მატრიციდან მე-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. ამრიგად, სისტემას აქვს ერთი გამოსავალი, როგორც ეს მითითებულია ფორმულებით:

კრამერის ფორმულა.

კონდახი. გახსენით წოდებების სისტემა კრამერის ფორმულების მიღმა

გადაწყვეტილება. სისტემის პირველადი მატრიცა. სისტემა ახლა არის ერთიანი გამოსავალი. გამოთვლებით, ამოღებულია პირველი, მეორე, მესამე სვეტების თავისუფალი წევრების სვეტებით ჩანაცვლებიდან:

კრამერის ფორმულების მიღმა:

9. გაუსის მეთოდი სისტემისთვისნ ხაზოვანი დონეებით პცვალებადი. გაიგე ჟორდანია-გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი - ცვლილებების თანმიმდევრული გამორთვის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი არის ის, რომ სტრიქონების ელემენტარული გარდაქმნებისა და სვეტების პერმუტაციების დახმარებით მწკრივების სისტემა მიიყვანება ეტაპობრივი (და სამკანიანი) ფორმის თანაბარ სისტემამდე, საიდანაც, თანმიმდევრულად, დაწყებული დარჩენილიდან ნომერი) ცვლილებები, ვაგრძელებ არის სხვა ცვლილებები.

გაუსის ტრანსფორმაცია შეიძლება ხელით განხორციელდეს არა თავად ტოლობებით, არამედ მათი კოეფიციენტების გაფართოებული მატრიცით, რომელიც განისაზღვრება მატრიცაზე მინიჭებული ძლიერი წევრების რაოდენობით:

გასათვალისწინებელია, რომ გაუსის მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია ფორმაში ტოლობის ნებისმიერი სისტემის დასადგენად .

კონდახი. გამოიყენეთ გაუსის მეთოდი სისტემის გამოსათვლელად:

ჩვენ გავაფართოვეთ სისტემის მატრიცა.

კროკ 1 . შეცვალეთ პირველი და მეორე რიგები ისე, რომ ისინი 1-ის ტოლი იყოს.

Croc 2 გაამრავლეთ პირველი რიგის ელემენტები (–2) და (–1) და დაამატეთ ისინი მეორე და მესამე რიგების ელემენტებს ისე, რომ პირველ სვეტში ელემენტის ქვეშ იყოს ნულები. .

წრფივი დონის რთული სისტემებისთვის, შემდეგი თეორემები მართალია:

თეორემა 1.იმის გამო, რომ ძილის სისტემის მატრიცის წოდება უძველესია, არსებობს მთელი რიგი ცვლილებები. , მაშინ სისტემა არის ერთიანი გამოსავალი.

თეორემა 2.ვინაიდან საძილე სისტემის მატრიცის რანგი ნაკლებია, ვიდრე ცვლილებების რაოდენობა, მაშინ. , მაშინ სისტემა უცნობია და აქვს უპიროვნო გადაწყვეტა.

ვიზნაჩენნია.მატრიცის საბაზისო მინორი არის ნებისმიერი არანულოვანი მინორი, რომლის რიგი უფრო მაღალია, ვიდრე მატრიცის რანგი.

ვიზნაჩენნია.იმ უცნობებს, რომელთა კოეფიციენტები შედის ძირითადი მინორის ჩანაწერში, ეწოდება ძირითადი (და ძირითადი), ხოლო სხვა უცნობებს - თავისუფალი (და მცირე).

გათანაბრების სისტემის განსაზღვრა ნებისმიერ დროს - ეს ნიშნავს i-ს განსაზღვრას (რადგან თავდაპირველად მათი კოეფიციენტების ჯამი არ არის ნულის ტოლი), შემდეგ i - სრულიად უცნობია.

ცხადია, ძირითადი ცვლილებები ხდება ქალაქის გავლით.

ამოღებული მატრიცის სხვა სტრიქონიდან აშკარად შემიძლია შევცვალო:

პირველი რიგიდან აშკარაა:

Rivne სისტემის საბოლოო გადაწყვეტილება: , .

კატეგორიები

პოპულარული