მწკრივებისა და წყობის ხაზოვანი განლაგება. მწკრივების ხაზოვანი დაშორება მატრიცის კომპონენტების წრფივი დაშორების მნიშვნელობა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მატრიცის რიგები და სვეტები შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც განზომილებების არითმეტიკული ვექტორები მі ნაშკარად. ამრიგად, ზომის მატრიცა შეიძლება განიმარტოს, როგორც მთლიანობა მ ნ-მორნიხ ან ნ მ- ამქვეყნიური არითმეტიკული ვექტორები. გეომეტრიული ვექტორების ანალოგიით, ჩვენ წარმოგიდგენთ მატრიცის მწკრივებისა და სვეტების წრფივი თანმიმდევრულობის და ხაზოვანი შეუსაბამობის ცნებებს.

4.8.1. ვიზნაჩენნია. მწკრივი
დაურეკა რიგების ხაზოვანი კომბინაციაკოეფიციენტებით
ვინაიდან ამ სერიის ყველა ელემენტისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი თანასწორობა:

,
.

4.8.2. ვიზნაჩენნია.

რიგები
უწოდებენ წრფივად იტყუება, ვინაიდან ეს არის არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი მწკრივის ტოლი, მაშინ. გამოდის, რომ ყველა რიცხვი არ არის ნულის ტოლი

,
.

4.8.3. ვიზნაჩენნია.

რიგები
უწოდებენ წრფივი დამოუკიდებელი, ვინაიდან მათი ტრივიალური წრფივი კომბინაცია იგივეა, რაც ნულოვანი მწკრივი, მაშინ.

4.8.4. თეორემა. (მატრიცის რიგების წრფივი განლაგების კრიტერიუმი)

იმისათვის, რომ რიგები წრფივად იყოს განლაგებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთი მათგანი იყოს სხვების ხაზოვანი კომბინაცია.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა.გაუშვით რიგები
ხაზოვანი დეპონირებული, მაშინ ეს არის არატრივიალური წრფივი კომბინაცია, რომელიც მსგავსია ნულოვანი მწკრივისა:

სიძლიერის გაცვლის გარეშე, მისაღებია, რომ წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებიდან ნულის ჩანაცვლება (წინააღმდეგ შემთხვევაში რიგების გადანომრვა შესაძლებელია). ამ ურთიერთობის დაყოფის შემდეგ , გაუქმებადი

მაშინ პირველი რიგი არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

საკმარისობა.აიღეთ ერთი რიგი, მაგალითად, და სხვათა წრფივი კომბინაცია, მაგ

მაშინ არის სტრიქონების არატრივიალური ხაზოვანი კომბინაცია
ნულოვანი მწკრივის ტოლია:

ოჰ, რიგები
ხაზოვანი დეპოზიტები, რომლებიც უნდა დასრულდეს.

პატივისცემა.

მსგავსი მნიშვნელობები და გამყარებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს მატრიცის სვეტებისთვის.

§4.9. მატრიცის რანგი.

4.9.1. ვიზნაჩენნია. მცირეწლოვანიწესით მატრიცები ზომა
ორდენის ლიდერს უწოდებენ ზურგზე ამოქარგული ელემენტებით რიგები და სტოვპცივ.

4.9.2. ვიზნაჩენნია. ნულოვანი მცირე შეკვეთის გარე ხედი მატრიცები ზომა
დაურეკა ძირითადი მცირეწლოვანივინაიდან მატრიცის ყველა მინორი წესრიგშია
ნულის ტოლი.

პატივისცემა. მატრიცა შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე ძირითად მინორს. ცხადია, ყველა სუნი ერთნაირი რიგის იქნება. ეს ასევე შესაძლებელია, თუ მატრიცა ზომა
მცირე შეკვეთა ნულის გარდა წესრიგშია არასრულწლოვნები
მაშინ არ ვიცი
.

4.9.3. ვიზნაჩენნია. რიგები (სტოუპტები), რომლებიც ქმნიან ძირითად მინორს, ეწოდება ძირითადირიგებში (მწკრივებში).

4.9.4. ვიზნაჩენნია. წოდებამატრიცას ეწოდება ბაზის მინორის რიგი. მატრიცის რანგი ნიშნავდა
ან კიდევ
.

პატივისცემა.

მნიშვნელოვანია, რომ მშობლის რიგებისა და სვეტების თანასწორობის გამო, მატრიცის რანგი არ იცვლება მისი ტრანსპოზიციის გამო.

4.9.5. თეორემა. (მატრიცის რანგის უცვლელობა ელემენტარული გარდაქმნების გამო)

მატრიცის რანგი არ იცვლება ელემენტარული გარდაქმნების გამო.

დადასტურების გარეშე.

4.9.6. თეორემა. (ძირითადი მინორის შესახებ).

ძირითადი რიგები (სტრიქონები) წრფივად დამოუკიდებელია. მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სტრიქონი) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაციით.

მტკიცებულება:

მოდით განვახორციელოთ მტკიცებულება მწკრივებისთვის. არგუმენტების დადასტურების დადასტურება შეიძლება განხორციელდეს ანალოგიით.

გაუშვით მატრიცული რანგი ზომა
უფრო უძველესი , ა
− ძირითადი მცირე. სირთულის შეზღუდვის გარეშე, მისაღებია, რომ გაფართოებების ძირითადი მცირე ნაწილი იყოს ზედა მარცხენა კუთხეში (წინააღმდეგ შემთხვევაში, მატრიცა შეიძლება შემცირდეს ამ ფორმამდე დამატებითი ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით):

დავიწყოთ ძირითადი რიგების წრფივი დამოუკიდებლობით. მტკიცება განხორციელდება მიუღებელი გზით. მისაღებია, რომ ძირითადი რიგები წრფივად დევს. თეორემა 4.8.4-დან გამომდინარეობს, რომ ერთ-ერთი სერია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა ძირითადი სერიების წრფივი კომბინაციის სახით. მაშასადამე, თუ ამ მწკრივს ამოვიღებთ მითითებულ წრფივ კომბინაციას, მაშინ გამოვაკლებთ ნულოვან რიგს, რაც ნიშნავს, რომ მცირე
უდრის ნულს, რაც ნიშნავს საბაზისო მინორის მნიშვნელობას. ამ გზით ჩვენ მივაღწიეთ სუპერ სიზუსტეს და მიღწეულია ძირითადი რიგების ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ მატრიცის თითოეული მწკრივი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაციის სახით. რა არის რიგის ნომერი, რომელსაც უყურებთ? ხედი 1-მდე რ, მაშინ, ცხადია, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტით, რომელიც უდრის ზედიზედ 1-ს და ნულოვანი კოეფიციენტები სხვა რიგებისთვის. მოდით ახლა ვაჩვენოთ რა არის რიგის ნომერი ხედი
ადრე
, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი სტრიქონების წრფივი კომბინაციით. მოდით შევხედოთ უმნიშვნელო მატრიცას
, წარმოშობა ბაზის მინორიდან
რიგის დამატებები და კარგად გაერთე
:

ვაჩვენოთ რა არის ეს არასრულწლოვანი
ხედი
ადრე
და ნებისმიერი სადგურის ნომრისთვის ხედი 1-მდე .

მართალია, რადგან სადგურის ნომერი ხედი 1-მდე რ, მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ არის შედეგი ორი ახალი პრინციპიდან, რომელიც, ცხადია, ნულის ტოლია. რა არის სადგურის ნომერი? ხედი რ+1-მდე და რიგის ნომერი ხედი
ადრე
, ეს
ეს არის უფრო მაღალი რიგის გამომავალი მატრიცის მინორი, უფრო დაბალი ვიდრე საბაზისო მინორი, და ეს ნიშნავს, რომ ის უდრის ნულს საბაზისო მინორის მნიშვნელობიდან. ამ წოდებით გაირკვა, რომ არასრულწლოვანმა
უდრის ნულს ნებისმიერი მწკრივის ნომრისთვის ხედი
ადრე
და ნებისმიერი სადგურის ნომრისთვის ხედი 1-მდე . დარჩენილი მხარის უკან მოთავსებით, ჩვენ ვხსნით:

Აქ
− გაფართოებული ალგებრული დამატებები. ძვირფასო შო
, ამიტომაც
• ძირითადი მცირე. ოჟე, რიგის ელემენტები კშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი მწკრივების დამხმარე ელემენტების ერთი შეხედვით წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტებით, ისე რომ ისინი არ იყოს სვეტის ნომრის ქვეშ. :

ამ გზით, ჩვენ მივაღწიეთ, რომ საკმარისი რაოდენობის მატრიცის რიგები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ძირითადი რიგების ხაზოვანი კომბინაციის სახით. თეორემა დადასტურდა.

ლექცია 13

4.9.7. თეორემა. (არაგენერირებული კვადრატული მატრიცის რანგის შესახებ)

იმისათვის, რომ კვადრატული მატრიცა იყოს არა-ვირტუალური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მატრიცის რანგი ტოლი იყოს მატრიცის ზომისა.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა.მოდით მივიღოთ კვადრატული მატრიცა ზომა ნє გამოუმუშავებელი, მაშინ
ასევე, პირველადი მატრიცა არის ძირითადი მინორი, მაშინ.

საკმარისობა.Წავედით
მაშინ ძირითადი მინორის რიგი შეფარდებითია მატრიცის ზომასთან, შესაბამისად, ძირითადი მინორი არის ორიგინალური მატრიცა , მაშინ.
ბაზის მინორის ვარიაციებისთვის.

ნასლედოკი.

იმისათვის, რომ კვადრატული მატრიცა იყოს არა-ვირტუალური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი რიგები იყოს წრფივად დამოუკიდებელი.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა.კვადრატული მატრიცის ფრაგმენტები წარმოქმნილი არ არის და მათი წოდება უდრის მატრიცის ზომას
მაშინ პირველადი მატრიცა არის საბაზისო მინორი. ასევე, 4.9.6 თეორემის შემდეგ ბაზის მინორის შესახებ, მატრიცის რიგები წრფივად დამოუკიდებელია.

საკმარისობა.ვინაიდან მატრიცის ყველა მწკრივი წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მათი რანგი არ არის მატრიცის ზომაზე ნაკლები, რაც ნიშნავს
ასევე, წინა თეორემა 4.9.7-ის შემდეგ, მატრიცა є უცოლო.

4.9.8. ირიბი მცირეწლოვანების მეთოდი მატრიცის რანგის მოსაძებნად.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს მეთოდი უკვე ირიბად არის აღწერილი თეორემის მტკიცებულებაში საბაზისო მინორის შესახებ.

4.9.8.1. ვიზნაჩენნია. მცირეწლოვანი
დაურეკა მოდით ვისაუბროთ ამაზესი მინორის მიხედვით
, როგორც ეს არის აღებული არასრულწლოვანთაგან
გამომავალი მატრიცის ერთი ახალი მწკრივის და ერთი ახალი სვეტის დამატება.

4.9.8.2. მატრიცის რანგის პოვნის პროცედურა ირიბი მინორების მეთოდით.

ჩვენ ვიცით, მატრიცის რომელი ზუსტი მინორი განსხვავდება ნულისაგან.

მოდით დავთვალოთ ყველა არასრულწლოვანი, რომელიც მოგვწონს.

თუ ისინი ნულის ტოლია, მაშინ ნაკადის მინორი არის ძირითადი, ხოლო მატრიცის წოდება უდრის ნაკადის მინორის რიგის.

თუ არასრულწლოვანთა შორის არის ნულის მინიმუმ ერთი ქვედანაყოფი, მაშინ აუცილებელია ზუსტი იყოს და პროცედურა ტრივიალურია.

ჩვენ ვიცით მატრიცის მცირე რანგის ჩარჩოების კიდევ ერთი მეთოდი

ადვილია სხვა რიგის მიმდინარე მინორის მითითება, განსხვავებით ნულისგან, მაგალითად,

ჩვენ ვიანგარიშებთ მინიორს, რომელიც მას აყალიბებს:

ისე, რადგან მესამე რიგის ყველა მინორი, რომელიც ნულის ტოლია, მაშინ მინორი
¢ ძირითადი, მაშინ

პატივისცემა. კონდახის დათვალიერებიდან ირკვევა, რომ ეს რთული სამუშაოა. ამიტომ, ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდი ხშირად უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე არა.

4.9.9. მატრიცის რანგის ცოდნა ელემენტარული გარდაქმნების გზებით.

თეორემა 4.9.5-ის საფუძველზე შეიძლება დადასტურდეს, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დროს მატრიცის რანგი არ იცვლება (ანუ მატრიცის ეკვივალენტური რიგები ტოლია). ამრიგად, მატრიცის წოდება უდრის ნაბიჯის სიხშირის მატრიცის რანგს, რომელიც განისაზღვრება გამომავალი ელემენტარული გარდაქმნებით. ეტაპობრივი მატრიცის რანგი აშკარად არის არა-ნულოვანი მწკრივების იგივე რაოდენობა.

მატრიცის წოდება მნიშვნელოვანია

ელემენტარული ხელახალი შექმნის გზა.

მოდით შევამოწმოთ მატრიცა მხედველობის სიჩქარემდე:

ამოღებული ნაბიჯის სიხშირის მატრიცის არანულოვანი რიგების რაოდენობა არის სამი, შემდეგ

4.9.10. სისტემის რანგი არის წრფივი სივრცის ვექტორი.

მოდით შევხედოთ ვექტორულ სისტემას
რაღაც ხაზოვანი სივრცე . ვინაიდან ის წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს წრფივად დამოუკიდებელ ქვესისტემად.

4.9.10.1. ვიზნაჩენნია. ვექტორული სისტემის რანგი
ხაზოვანი სივრცე ეწოდება სისტემის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა. ვექტორული სისტემის წოდება
აღინიშნა როგორც
.

პატივისცემა. ვინაიდან ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მისი წოდება უდრის სისტემაში ვექტორების რაოდენობას.

ჩამოვაყალიბოთ თეორემა, რომელიც გვიჩვენებს ხაზოვან სივრცეში ვექტორთა სისტემის რანგსა და მატრიცის რანგს შორის კავშირს.

4.9.10.2. თეორემა. (წრფივი სივრცეში ვექტორული სისტემის რანგის შესახებ)

ვექტორთა სისტემის რანგი ხაზოვან სივრცეში ტოლია მატრიცის რანგის, რომელშიც რიგები არის ვექტორების კოორდინატები წრფივი სივრცის თითოეულ საფუძველში.

დადასტურების გარეშე.

ნასლედოკი.

იმისათვის, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივ სივრცეში იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია მატრიცის რანგი, ან ვექტორების კოორდინატების რიგები ან რიგები ნებისმიერ საფუძველზე, გარდა რაოდენობისა. სისტემის ვექტორები.

მტკიცებულება აშკარაა.

4.9.10.3. თეორემა (წრფივი გარსის განზომილების შესახებ).

ვექტორების წრფივი გარსის ზომები
ხაზოვანი სივრცე ვექტორული სისტემის წინა წოდება:

დადასტურების გარეშე.

რიგები და სტეკები მატრიცახედავთ როგორ მატრიცა-რიგებიდა ცხადია, მატრიცები. ამიტომ, მათზე, ისევე როგორც სხვა მატრიცებზე, შეიძლება აშენდეს ხაზოვანი ოპერაციები. დაკეცვის მუშაობაში განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ რიგები (დაწყობები) არის ერთი და იგივე მნიშვნელობის (სიმაღლის), მაგრამ ყოველთვის ერთნაირია ერთი და იგივე მატრიცის მწკრივებისთვის (დაწყობებისთვის).

ხაზოვანი ოპერაციები მწკრივებზე (დაწყობებზე) შესაძლებელს ხდის მწკრივების (დაწყობების) შექმნას გამონათქვამების α 1 a 1 + ... + α sas , სადაც 1 , ..., როგორც - სტრიქონების (დაწყობების) საკმარისი ნაკრები. იგივე სიმაღლის (სიმაღლის) , და α 1, ..., α s არის რეალური რიცხვები. მათ უწოდებენ გამონათქვამების ტიპებს მწკრივების ხაზოვანი კომბინაციები (სტოუპტები).

ღირებულება 12.3. რიგები (სტუმბოები) a 1, ..., a s ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი,როგორც ეჭვიანობა

α 1 a 1 + ... + α s a s = 0, (12.1)

სადაც 0 მარჯვენა მხარეს არის ნულოვანი მწკრივი (ღუმელი), შესაძლოა მხოლოდ α 1 = ... = როგორც = 0. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ ასეთი აქტიური რიცხვებია α 1 , ... , α s , ისინი არ არიან ტოლები ნულამდე ერთდროულად დადებულია ტოლობები (12.1) და ეს მწკრივები (სტრიქონები) ე.წ. წრფივად იტყუება.

გამკვრივების დაწყება ცნობილია, როგორც ხაზოვანი განლაგების კრიტერიუმი.

თეორემა 12.3.რიგები (წყვილები) a 1, ..., a s, s > 1, წრფივად დევს მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათგან ერთი (ერთი) არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

◄ მტკიცებულება ხორციელდება მწკრივებისთვის, ხოლო სვეტებისთვის ის მსგავსია.

აუცილებლობა. ვინაიდან რიგები a 1, ..., როგორც წრფივია, მაშინ, 12.3 მნიშვნელობებზე დაყრდნობით, არის ისეთი აქტიური რიცხვები α 1, ..., α s, ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, ასე რომ. რომ α 1 a 1 +... + α sas = 0. Viberemo არანულოვანი კოეფიციენტი αα i. სიმღერისთვის იყოს α1. შემდეგ α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s) როგორც ι, შემდეგ a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s / α 1) როგორც, ტობტო. რიგი a 1 წარმოდგენილია როგორც სხვა სტრიქონების წრფივი კომბინაცია.

საკმარისობა. მოდით იყოს, მაგალითად, a 1 = λ 2 a 2 + ... + S a s. მაშინ 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s) a s = 0. წინა ერთეულების წრფივი კომბინაციის პირველი კოეფიციენტი, მაშინ. vin არ არის ნულოვანი. გაფართოებული 12.3-მდე, რიგები a 1, ..., a წრფივად.

თეორემა 12.4.მოდით, სტრიქონები (დასტები) a 1, ..., a s იყოს წრფივი დამოუკიდებელი, მაგრამ გსურთ, რომ ერთ-ერთი მწკრივი (დასტები) b 1 ,..., b l იყოს მათი წრფივი კომბინაცია. მაშინ ყველა მწკრივი (stovpts) a 1, ..., a s, b 1, ..., b l არის წრფივი დეპოზიტები.

◄ მაგალითად, b 1 არის a 1, ..., a s, მაშინ წრფივი კომბინაცია. b 1 = ? ამ წრფივ კომბინაციამდე ემატება რიგები (დასტები) b 2 , ..., bl (l > 1-ისთვის) ნულოვანი კოეფიციენტებით: b 1 = α 1 a 1 + ... + α sas + 0b 2 + .. + 0ბ ლ. გაფართოებული თეორემა 12.3-მდე, რიგები (სტოვპტები) a 1, ..., a s, b 1, ..., b i არის წრფივი დეპოზიტები.

ზოგიერთი რიცხვი (ზოგიერთი რიცხვი ან ყველა მათგანი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი). ეს ნიშნავს მოსალოდნელი ეჭვიანობის არსებობას არგუმენტების ელემენტებს შორის:

ან .

Z (3.3.1) ვიბრირებს, ასე

(3.3.2)

დე – ნულოვანი მწკრივი.

ვიზნაჩენნია. მატრიცის რიგები წრფივად არის დეპონირებული, ასე რომ, ისეთი რიცხვების პოვნა შეიძლება, რომ ყველა ერთდროულად არ იყოს ნულის ტოლი.

(3.3.3)

თუ თანასწორობა (3.3.3) სამართლიანია, მაშინ მწკრივებს წრფივად დამოუკიდებელი ეწოდება. კავშირი (3.3.2) გვიჩვენებს, რომ თუ ერთ-ერთი მწკრივი წრფივად არის გამოხატული სხვების მეშვეობით, მაშინ მწკრივები წრფივად დაქვემდებარებულია.

ადვილია დახატვა და შემობრუნება: ვინაიდან რიგები წრფივად არის დალაგებული, მაშინ იქნება მწკრივი, რომელიც იქნება სხვა რიგების ხაზოვანი კომბინაცია.

გაუშვით, მაგალითად, (3.3.3) .

ვიზნაჩენნია. მოდით წავიდეთ მატრიცაზე და თქვენ დაინახეთ არასრულწლოვანირ შეკვეთა და მინიორი (რ +1)-მატრიცის და მთელი ადგილის რიგით მინორი. ჩვენ ვიტყვით, რომ ამ შემთხვევაში მინორი არის ირიბი მცირესთვის (ან არის ირიბი ).

ახლა ჩვენ გეტყვით მნიშვნელოვან ლემას.

ლემაპოპულარული არასრულწლოვნების შესახებ. იაკშჩოს მცირე შეკვეთარ მატრიცა A = Vidmіnniy VID ნულოვანი, და ყველა Minori, ogo Oblyamovo, ryvni ნულოვანი, შემდეგ იყოს მწკრივი (Stovpets) მატრიცა a є kombіnatsіyu ї ї ї ї ї ї Rukiv (Stovptziv), პუშკი.

მტკიცებულება. ვერცხლისწყლის სიმშვიდის დარღვევის გარეშე, მნიშვნელოვანია, რომ ის იყოს ნულოვანი მინორის სახით.რ რიგითი განლაგებულია მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში A =:

პირველისთვის კ ლემის მიერ დადასტურებული მატრიცის A მწკრივი აშკარაა: საკმარისია ხაზოვან კომბინაციაში ჩავრთოთ ეს მწკრივი ერთის ტოლი კოეფიციენტით და მწკრივი კოეფიციენტებით ნულის ტოლი.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ A მატრიცის სხვა რიგები წრფივად არის გამოხატული პირველის მეშვეობითკ რიგები. ვისთვის დავივიწყებთ არასრულწლოვანს (რ +1) არასრულწლოვანს ემატება გზის რიგი kth რიგი () ta ლ-th stovptsya():

გამოვაკლოთ მინორი ნულს ყველასთვისკ და ლ . ფაქტობრივად, არ არის განსხვავება ორ ახალ პუნქტს შორის. ფაქტობრივად, მინორისა და ირიბი მინორის ამოღება და, შესაბამისად, უდრის ნულს გონების უკან.

მოდით გამოვყოთ მინორი დანარჩენი ელემენტების შემდეგლ-th stovptsya:

(3.3.4)

დე - ელემენტების ალგებრული დამატება. ალგებრის დამატება არის მცირე მატრიცა A, ანუ. იყოფა (3.3.4)-ზე და გამოხატული მეშვეობით:

(3.3.5)

დე , .

პატივისცემით, ჩვენ უარვყოფთ:

(3.3.6)

ვირაზ (3.3.6) ნიშნავს იმასკ - მატრიცის A მწკრივი წრფივად არის გამოხატული პირველის მეშვეობით r რიგები.

არასრულწლოვანთა ფასეულობების ტრანსპონირებული მატრიცის ფრაგმენტები არ იცვლება (დეპუტატების ძალაუფლებით), ყველაფერს სამართლიანად ხსნიან მონდომებულები. თეორემა დადასტურდა.

ნასლიდოკ I . მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სტრიქონი) არის ძირითადი მწკრივების (სტრიქონების) წრფივი კომბინაცია. დიახ, მატრიცის საბაზისო მინორი ტოლია ნულის ტოლია, ხოლო ყველა მინორი, რომელიც მას განსაზღვრავს, ნულის ტოლია.

ნასლიდოკ II. მეორადი ლიდერი ნ -ე რიგი და შემდეგ ნულის ტოლი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ ხაზოვანი რიგები (სტაკები). მწკრივების (sovpts) წრფივი პოზიციის საკმარისობა დამწყებლის ნულთან ტოლობისთვის ადრე იყო მითითებული, როგორც დამწყებთათვის ძალა.

წამოვწიოთ. მოდით მივცეთ კვადრატული მატრიცან - რიგითი, ნებისმიერი ფარდობითი ნულოვანი ვარსკვლავის ერთიანი მინორი შეინიშნება, როდესაც მატრიცის რანგი უფრო დაბალია.ნ , მაშინ. მე მინდა ვიპოვო ერთი მწკრივი, რომელიც არის ამ მატრიცის ძირითადი სტრიქონების წრფივი კომბინაცია.

დავამტკიცოთ კიდევ ერთი თეორემა მატრიცის რანგის შესახებ.

თეორემა.მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა უდრის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალურ რაოდენობას და ამ მატრიცის რანგის ტოლია.

მტკიცებულება. მოდით მატრიცას წოდება A = უფრო ძველირ. ნებისმიერ შემთხვევაში її კ საბაზისო სერიები წრფივად დამოუკიდებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში საბაზისო მინორი ნულის ტოლია. მეორეს მხრივ, იქნება ესრ +1 და დაალაგეთ მეტი მწკრივი წრფივად. მიუღებელის მიღებით, ჩვენ შეგვეძლო გვეცოდინებოდა იმაზე მეტი სიდიდის მცირე რიგირ , რედაქტირებულია ნულიდან 2 წინა კიდეების უკან. გასათვალისწინებელია, რომ ნულიდან შესაცვლელი მცირეწლოვანთა მაქსიმალური რიგი უძველესიარ . ყველაფერი სამართლიანია რიგებისთვის და წევრებისთვის.

და ბოლოს, ჩვენ წარმოგიდგენთ კიდევ ერთ გზას მატრიცის რანგის მოსაძებნად. მატრიცის რანგი შეიძლება გამოითვალოს მაქსიმალური რიგის მინორის ცოდნით, რომელიც გამოკლებულია ნულიდან.

ერთი შეხედვით, ეს მიგვითითებს მატრიცის მინიმუმ საბოლოო, ან შესაძლოა თუნდაც დიდი რაოდენობის მცირე რაოდენობის გამოთვლაზე.

თუმცა, შემდეგი თეორემა იძლევა გამარტივების ამ ხარისხს.

თეორემა.თუ მატრიცის A მინორი ნულის ტოლია და ყველა მინორი, რომელიც მას შეიცავს, ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის რანგი ტოლიარ.

მტკიცებულება. მოდით ვაჩვენოთ რა არის მატრიცული მწკრივების ქვესისტემა როდის S>r იქნება წრფივი დამოუკიდებელი თეორიის გონებაში (იმ თვალსაზრისით, რომ r არის მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა ან ნებისმიერი მინორი, რომელიც აღემატება სიდიდის ბრძანებას k ნულამდე).

არ მივიღოთ. დაე, რიგები იყოს ხაზოვანი დამოუკიდებელი. არასრულწლოვანთა შესახებ დისკუსიის მიხედვით, რომლებიც ექვემდებარება წაშლას, მათი კანი ხაზობრივად იქნება გამოხატული რიგებით, რომლებშიც არის მინორი და ის, რაც ეხება ნულს დაქვემდებარებულს, წრფივად დამოუკიდებელ:

(3.3.7)

მოდით შევხედოთ ხაზოვანი ვირუსების კოეფიციენტების მატრიცას (3.3.7):

ამ მატრიცის რიგები მნიშვნელოვანია . ეს იქნება ხაზოვანი საბადოები, მატრიცის რანგის ფრაგმენტები. ხაზობრივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც არ ავსებსრ< S . მაშასადამე, არის რიცხვები, რომლებიც ყველა არ არის ნულის ტოლი, მაგრამ

გადავიდეთ კომპონენტების თანასწორობაზე

(3.3.8)

ახლა მოდით შევხედოთ შემდეგ ხაზოვან კომბინაციას:

ან კიდევ

მოდით შევხედოთ mxn ზომის საკმაოდ კვადრატულ მატრიცას.

მატრიცის რანგი.

მატრიცული რანგის ცნება დაკავშირებულია მატრიცის მწკრივების (მწკრივების) წრფივი პოზიციის (დამოუკიდებლობის) კონცეფციასთან. მოდით შევხედოთ რიგების კონცეფციას. სტოვტებისთვის - ანალოგიურად.

მნიშვნელოვანია A მატრიცის გადინება:

e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 =(a 21,a 22,...,a 2n);..., e m =(a m1,a m2,...,a mn)

e k =e s სადაც a kj =a sj , j=1,2,…,n

მატრიცის მწკრივებზე არითმეტიკული მოქმედებები (დაკეცვა, რიცხვზე გამრავლება) შემოტანილია, როგორც ოპერაციები, რომლებიც სრულდება ელემენტად ელემენტად: λε k =(λ k1 ,λ k2 ,…,λ kn);

e k +е s = [(k1 + a s1), (a k2 + a s2), ..., (a kn + a sn)].

რიგს ეძახიან ხაზოვანი კომბინაციამწკრივი e 1, e 2,..., e k, რადგან არსებობს ამ რიგების შექმნის მსგავსი ჯამები დღეების ერთსა და იმავე რაოდენობაზე:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

სტრიქონებს e 1, e 2,…, e m ეწოდება წრფივად იტყუება, ვინაიდან არსებობს აქტიური რიცხვები λ 1 , λ 2 ,…, λ m , ყველა არ არის ნულის ტოლი, ამიტომ ამ მწკრივების წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან მწკრივს: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ m e m = 0 , დე 0 =(0,0,…,0) (1)

ვინაიდან წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია და მხოლოდ მაშინ, თუ ყველა კოეფიციენტი λ i არის ნულის ტოლი (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), მაშინ ე 1, e 2,…, e m მწკრივებს ეძახიან. წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა 1. იმისათვის, რომ სტრიქონები e 1 e 2, ..., e m იყოს წრფივად დატანილი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ მწკრივებიდან ერთ-ერთი იყოს სხვა მწკრივების წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. აუცილებლობა. დატოვეთ რიგები e 1, e 2, ..., e m წრფივი დეპოზიტები. მოდი, მნიშვნელობისთვის (1) λ m ≠0, მაშინ

ჩათვლით მწკრივი არის სხვა რიგების ხაზოვანი კომბინაცია. და ა.შ.

ხელმისაწვდომობა. შეუთავსეთ ერთ-ერთი მწკრივი, მაგალითად, სხვა რიგების ხაზოვანი კომბინაციით. შემდეგ იქნება რიცხვები, რომლებიც უდრის ეჭვიანობას, რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ხედიდან,

მიუხედავად იმისა, რომ ერთ-ერთი კოეფიციენტი (-1) არ არის ნულის ტოლი. ტობტო. რიგები ხაზოვანია. და ა.შ.

ვიზნაჩენნია. მცირე kth შეკვეთა mxn ზომის მატრიცას ეწოდება kth რიგის მშობელი ელემენტებით, რომლებიც დევს ნებისმიერი k მწკრივის და A მატრიცის ნებისმიერი k სვეტის ჯვარზე (k≤min(m,n)). .

კონდახი., მინორი 1-ლი რიგი: =, =;

minori მე-2 რიგი: , მე-3 რიგი

მე-3 რიგის მატრიცას აქვს 1-ლი რიგის 9 მინორი, მე-2 რიგის 9 მინორი და მე-3 რიგის 1 მინორი (ამ მატრიცის წარმოშობა).

ვიზნაჩენნია. მატრიცის რანგი Aმატრიცის ნულოვანი შემცვლელი მცირეწლოვანების უმაღლესი რიგი ეწოდება. აღნიშვნა – rg A ან r(A).

ძალა მატრიცის რანგამდე.

1) A nxm მატრიცის რანგი შეირჩევა უფრო მცირე ზომისგან, შემდეგ.

r(A)≤წთ(მ,ნ).

2) r(A)=0 თუ მატრიცის ყველა ელემენტი უდრის 0-ს, მაშინ. A = 0.

3) n-ე რიგის A კვადრატული მატრიცისთვის r (A) = n, თუ A არ არის ვიროგენული.

(დიაგონალური მატრიცის წოდება იგივეა, რაც არანულოვანი დიაგონალური ელემენტების რაოდენობა).

4) თუ მატრიცის რანგი უდრის r-ს, მაშინ მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს r რიგის ერთი მინორი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, ხოლო დიდი რიგის ყველა მინორი ნულის ტოლია.

მატრიცული რიგებისთვის შემდეგი ურთიერთობები მოქმედებს:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

5) r(AB)=r(A), რომელიც არის კვადრატული არავირუსული მატრიცა.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, სადაც n არის A მატრიცის ან მატრიცის მწკრივების რაოდენობა.

ვიზნაჩენნია. r(A) რიგის არანულოვანი მინორი ეწოდება ძირითადი მცირე. (მატრიცა A შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ძირითადი მცირე). სტრიქონები და სვეტები, რომელთა ჯვარედინი ზოლზე არის ძირითადი მცირე, ეწოდება დაქვემდებარებული ძირითადი რიგებიі ძირითადი პრინციპები.

თეორემა 2 (ბაზის მინორის შესახებ).ძირითადი რიგები (სტრიქონები) წრფივად დამოუკიდებელია. ნებისმიერი მწკრივი (ნებისმიერი მწკრივი) მატრიცა A არის ძირითადი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. (რიგებისთვის). თუ ძირითადი სტრიქონები წრფივად განცალკევებული იყო, მაშინ (1) თეორემის მიხედვით, ამ მწკრივებიდან ერთ-ერთი იქნება სხვა ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაცია, მაშინ, ძირითადი მინორის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, ამ მწკრივიდან შეიძლება გამოვიდეს წრფივი კომბინაცია. მინიჭებული და ნულოვანი მწკრივი ამოღებულია, და ეს ნიშნავს, რომ , ასე რომ ბაზის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. ჩათვლით ძირითადი რიგები წრფივად დამოუკიდებელია.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი არის ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაცია. იმიტომ რომ მწკრივებში (sovpts) საკმარისი ცვლილებებით, დამწყები ინარჩუნებს ტოლობის ძალას ნულამდე, შემდეგ, ძალაში ჩარევის გარეშე, შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ, რომ ბაზის მინორი მდებარეობს მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში.

A=,ტობტო. წარმონაქმნები პირველ და პირველ რიგებში. მოდით 1£j£n, 1£i£m. ვაჩვენოთ, რომ პირველადი ცვლადი არის (r+1)-ე რიგი

ან j£r ან i£r, ეს ცვლადი ნულის ტოლია, რადგან ამ ერთს ექნება ორი ახალი სვეტი ან ორი ახალი მწკრივი.

ვინაიდან j>r და i>r, ეს პირველადი არის A მატრიცის (r+1)-ე რიგის მინორი. მატრიცის რანგი უდრის r-ს, ხოლო უმაღლესი რიგის ნებისმიერი უმნიშვნელო უდრის 0-ს.

დარჩენილი (დამატებული) სტეკის ელემენტების შემდეგ განლაგებით, შეგვიძლია მისი ამოღება

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, სადაც დარჩენილი ალგებრული დანამატი A ij აცილებულია M r საფუძვლით და შესაბამისად A ij = M r ≠0.

დარჩენილი ელემენტის A ij-ად დაყოფის შემდეგ, შეგვიძლია გამოვხატოთ ელემენტი a ij, როგორც წრფივი კომბინაცია: , de.

მნიშვნელობა i (i>r) დაფიქსირდა და გამომავალია, რომ ნებისმიერი j-სთვის (j=1,2,…,n) i-ე მწკრივის ელემენტები ei წრფივად არის გამოხატული e 1 მწკრივის ელემენტებით, e 2,…, e r, t. tobto. მე-ე მწკრივი არის ძირითადი მწკრივების წრფივი კომბინაცია: . და ა.შ.

თეორემა 3. (აუცილებელია გონებრივი თანასწორობის საკმარისი დონე კოვარიატის ნულამდე).იმისათვის, რომ n-ე რიგის D-ის საწყისი ტოლი იყოს ნულის ტოლი, აუცილებელია და საკმარისია მწკრივი (მწკრივი) წრფივად დატანილი იყოს.

მტკიცებულება (გვ.40). აუცილებლობა. თუ n-ე რიგი D არის ნულის ტოლი, მაშინ მატრიცის საბაზისო მინორი არის რიგის r.

მათ შორის, ერთი რიგი არის სხვების ხაზოვანი კომბინაცია. თეორემა 1-ის შემდეგ, საწყისი რიგები წრფივია.

ხელმისაწვდომობა. ვინაიდან D სტრიქონები წრფივია დეპონირებული, მაშინ თეორემის მიხედვით ერთი რიგი A i არის სხვა მწკრივების წრფივი კომბინაცია. A i მწკრივის ამოღებით ენიჭება წრფივი კომბინაცია, D მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, ნულოვანი მწკრივი იშლება. ისე, დეპუტატების უფლებამოსილების უკან D=0. და ა.შ.

თეორემა 4.ელემენტარული გარდაქმნების დროს იცვლება მატრიცის რანგი.

მტკიცებულება. როგორც პირველადი ნიშნების სიმძლავრეების შესწავლისას აჩვენა, როდესაც კვადრატული მატრიცები გარდაიქმნება, მათი პირველადი ცვლადები ან იცვლება, ან მრავლდება არანულოვანი რიცხვით, ან იცვლება ნიშანი. ამ შემთხვევაში, შენარჩუნებულია გამომავალი მატრიცის ნულზე დაფუძნებული მინორების უმაღლესი რიგი. მატრიცის რანგი არ იცვლება. და ა.შ.

თუ r(A)=r(B), მაშინ i B – ექვივალენტი: A~B.

თეორემა 5.ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით შეგიძლიათ მატრიცის მორგება ნაბიჯ-ნაბიჯ ვუყურებ.მატრიცა ეწოდება ეტაპობრივად, როგორც ჩანს:

A=, de a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Umovi r≤k მიიღწევა ტრანსპოზიციებით.

თეორემა 6.ნაბიჯ-ხშირი მატრიცის რანგი არის არანულოვანი რიგების რაოდენობა .

ტობტო. საფეხურების მატრიცის წოდება უფრო ძველია, რადგან є ნულოვანი მინორის ჩანაცვლება r რიგით:

Z (3.3.1) ვიბრირებს, ასე

გაუშვით, მაგალითად, (3.3.3) .

ვიზნაჩენნია. მოდით, ხედვის A მატრიცას ჰქონდეს r-th რიგის ნებისმიერი მინორი და ამ მატრიცის (r+1)-th რიგის მინორს ჰქონდეს მინორი. ჩვენ ვიტყვით, რომ ამ შემთხვევაში მინორი არის ირიბი მცირესთვის (ან არის ირიბი ).

ახლა ჩვენ გეტყვით მნიშვნელოვან ლემას.

ლემაპოპულარული არასრულწლოვნების შესახებ. ვინაიდან A მატრიცის r რიგის მინორი არის ნულის მკაფიო ფორმა და ყველა მინორი, რომელიც მას შეიცავს ნულის ტოლია, მაშინ A მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (მწკრივი) არის მისი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია. . ptsіv), რა დავამყაროთ.

მტკიცებულება. შერწყმის სიძლიერის განადგურების გარეშე, მნიშვნელოვანია, რომ rth რიგის ნულოვანი მინორის მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა დგას მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში A =:

A მატრიცის პირველი k მწკრივებისთვის აშკარაა: დაამატეთ წრფივი კომბინაცია, რომ შეიცავდეს ამ მწკრივს ერთის ტოლი კოეფიციენტით, ხოლო დანარჩენები ნულის ტოლი კოეფიციენტებით.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ A მატრიცის სხვა რიგები წრფივად არის გამოხატული პირველი k მწკრივების მეშვეობით. ამ მიზნით მინორი (r+1)-ე რიგი დაემატება k-ე რიგის მინორს () და ლ-th stovptsya():

გამოვაკლოთ მინორი ნულს ყველა k და l. ფაქტობრივად, არ არის განსხვავება ორ ახალ პუნქტს შორის. ფაქტობრივად, მინორისა და ირიბი მინორის ამოღება და, შესაბამისად, უდრის ნულს გონების უკან.

მოდით გამოვყოთ მინორი დანარჩენი ელემენტების შემდეგ ლ-th stovptsya:

პატივისცემით, ჩვენ უარვყოფთ:

(3.3.6)

Viraz (3.3.6) ნიშნავს, რომ A მატრიცის k მწკრივი წრფივად არის გამოხატული პირველი r სტრიქონებით.

თანმიმდევრობა I. მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (მწკრივი) არის ძირითადი მწკრივების (მწკრივების) წრფივი კომბინაცია. დიახ, მატრიცის საბაზისო მინორი ტოლია ნულის ტოლია, ხოლო ყველა მინორი, რომელიც მას განსაზღვრავს, ნულის ტოლია.

ნასლედოკ II. n-ე რიგის წარმოშობა ასევე ნულის ტოლია, ამიტომ შესაძლებელია ხაზოვანი რიგების (სტაქების) განთავსება. მწკრივების (sovpts) წრფივი პოზიციის საკმარისობა საწყისის ტოლობისთვის ადრე იყო მითითებული, როგორც საწყისის ძალა.

წამოვწიოთ. მოგვცეს n-ე რიგის კვადრატული მატრიცა, რომლის ერთი მინორი ნულის ტოლია. ვარსკვლავი მიუთითებს, რომ მატრიცის რანგი n-ზე ნაკლებია, მაშინ. მე მინდა ვიპოვო ერთი მწკრივი, რომელიც არის ამ მატრიცის ძირითადი სტრიქონების წრფივი კომბინაცია.

დავამტკიცოთ კიდევ ერთი თეორემა მატრიცის რანგის შესახებ.

მტკიცებულება. მოდით მატრიცის რანგი A = უფრო ძველი r. მაშინ საბაზისო რიგები წრფივად დამოუკიდებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ბაზის მინორი ნულის ტოლია. მეორე მხარეს, იქნება ეს r+1 და მეტი მწკრივი წრფივად. მიუღებლად ვივარაუდოთ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ სიდიდის რიგის მინორი, რომელიც აღემატება ქვედა r-ს, რომელიც ჩაანაცვლებს ნულს მემკვიდრე 2 წინა ველის უკან. გასათვალისწინებელია, რომ ნულიდან შემცვლელი მცირეწლოვანთა მაქსიმალური რიგი უფრო ძველია ვიდრე r. ყველაფერი სამართლიანია რიგებისთვის და წევრებისთვის.

თუმცა, შემდეგი თეორემა იძლევა გამარტივების ამ ხარისხს.

თეორემა.თუ A მატრიცის მინორი უდრის ნულს, და ყველა მინორი, რომელიც მას შეიცავს, ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის რანგი უდრის r.

მტკიცებულება. შესაძლებელია იმის ჩვენება, რომ მატრიცის მწკრივების ნებისმიერი ქვესისტემა S>r-ზე იქნება თეორემის გონებაში წრფივად დამოუკიდებელი (იმ თვალსაზრისით, რომ r არის მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა ან ნებისმიერი სხვა მცირე ორდერი მეტი ქვედა k აღწევს ნულს).

ახლა მოდით შევხედოთ შემდეგ ხაზოვან კომბინაციას:

ან კიდევ

ვიკორისტოვიუჩი (3.3.7) და (3.3.8), გამორიცხულია

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს რიგების ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

კარგი, ჩვენი ვარაუდი არასწორია და, კარგად, თეორემის გონებაში რიგები წრფივია. თეორემა დადასტურდა.

მოდით შევხედოთ მატრიცის რანგის გამოთვლის წესს - ირიბი მინორების მეთოდს, ამ თეორემაზე დაყრდნობით.

მატრიცის რანგის გაანგარიშებისას, კვალი მიდის დაბალი რიგის მცირეწლოვანებიდან უფრო მაღალი რიგის მცირეწლოვანებამდე. თუ უკვე ნაპოვნია rth რიგის მინორი, ნულის გამოკლებით, მაშინ აუცილებელია გამოვთვალოთ (r+1)-ე რიგის მინორი, რათა შესრულდეს მინორი. თუ ისინი ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის წოდება უდრის r. ეს მეთოდი რთულია, რადგან ჩვენ არა მხოლოდ ვიანგარიშებთ მატრიცის წოდებას, არამედ განვსაზღვრავთ, თუ როგორ აერთიანებს სვეტები (სტრიქონები) მატრიცის საბაზისო მინორს.

კონდახი. გამოთვალეთ მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა ჩარჩოების მეთოდის გამოყენებით

გადაწყვეტილება. განსხვავებული რიგის მინორი, რომელიც დგას A მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში, იყოფა ნულიდან:

დაიცავით მესამე რიგის ყველა მცირეწლოვანი, რომელიც უპირატესია, ნულის ტოლი:

;	;
;	;
;	.

ასევე, A მატრიცის რანგი ორგვარია: .

პირველი და სხვა რიგები, პირველი და სხვა სვეტები ამ მატრიცაში არის ძირითადი. სხვა რიგები და მათი ხაზოვანი კომბინაციები. სამართლიანი შემტევი თანასწორობის რიგების უფლება:

და ბოლოს, ასეთი ხელისუფლების სამართლიანობა მნიშვნელოვანია:

1) დამატებითი მატრიცის წოდება არ აღემატება კანისა და აბსცესების წოდებას;

2) დამატებითი მატრიცის A რანგი მარჯვნივ ან გამოუმუშავებელი კვადრატული მატრიცა Q უდრის A მატრიცის რანგს.

მდიდარი წევრების მატრიცები

ვიზნაჩენნია. მრავალმხრივი მატრიცა ან -მატრიცა არის მართკუთხა მატრიცა, რომლის ელემენტები ერთი გაცვლის მრავალრიცხოვანია რიცხვითი კოეფიციენტებით.

ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება გაკეთდეს -მატრიცებზე. მათთვის გასაგებია:

ორი რიგის (სტოფპტების) გადაწყობა;

მწკრივი მრავლდება ნულის გარდა სხვა რიცხვზე;

დანამატი ერთი რიგის (stovptsya) მეორე რიგის (stovptsya), გამრავლებული ნებისმიერი მდიდარი ტერმინით.

ერთი და იგივე განზომილების ორ მატრიცას ექვივალენტური ეწოდება: ერთი მატრიციდან მეორეში შესაძლებელია ელემენტარული გარდაქმნების დამატებით საბოლოო რაოდენობაზე გადასვლა.

კონდახი. მოიყვანეთ ეკვივალენტობის მატრიცა

1. შეცვალეთ პირველი და მეორე სვეტები მატრიცაში:

2. მეორე მწკრივიდან ჩვენ ვხედავთ პირველს, გამრავლებული ():

3. გაამრავლეთ მეორე მწკრივი (–1) და შესაბამისად,

4. სხვა თავს აკლდება პირველი გამრავლებული

აბსოლუტურად ყველაფერი - ამ განზომილებების მატრიცა იყოფა კლასებად, რომლებიც არ იცვლება, ექვივალენტურ მატრიცებად. მატრიცები, რომლებიც ერთმანეთის ეკვივალენტურია, ქმნიან ერთ კლასს, ხოლო ისინი, რომლებიც არ არიან ეკვივალენტური, ქმნიან მეორეს.

ეკვივალენტური მატრიცების კანის კლასს ახასიათებს ამ განზომილებების კანონიკური ან ნორმალური მატრიცა.

ვიზნაჩენნია. განზომილებების კანონიკური ან ნორმალური მატრიცა არის მატრიცა, რომლის მთავარი დიაგონალი შეიცავს მრავალ ტერმინს, რომელიც შეიცავს p - m და n რიცხვებზე ნაკლები ( ), ხოლო უმაღლესი კოეფიციენტები, 1-ის ტოლი, არ არის ნულის ტოლი და შემდეგი მდიდარი წევრი იყოფა წინა. თავის დიაგონალის პოზის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ მრავალწევრების შუა არის ნულოვანი ხარისხის პოლინომები, ყველა თავის დიაგონალის დასაწყისში. ვინაიდან არის ნულები, ყველა მათგანი დგას თავის დიაგონალის ბოლოს.

წინა კონდახის მატრიცა კანონიკურია. მატრიცა

ასევე კანონიკური.

კანის კლასი-მატრიცა იცვლება ერთი კანონიკური მატრიცით, შემდეგ. კანის მატრიცა ექვივალენტურია ერთი კანონიკური მატრიცის, რომელსაც ეწოდება ამ მატრიცის კანონიკური ფორმა ან ნორმალური ფორმა.

ტერმინებს, რომლებიც დგას მოცემული მატრიცის კანონიკური ფორმის სათავე დიაგონალზე, ამ მატრიცის ინვარიანტული მულტიპლიკატორები ეწოდება.

ინვარიანტული მულტიპლიკატორების გამოთვლის ერთ-ერთი მეთოდი მოცემულ მატრიცას კანონიკურ ფორმამდე ამცირებს.

ამრიგად, წინა კონდახის მატრიცისთვის ინვარიანტული მულტიპლიკატორებით

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, უცვლელი მულტიპლიკატორების ერთი და იგივე სიმრავლის გამოვლინება აუცილებელი და საკმარისი გონებრივი ეკვივალენტობის მატრიცაა.

შემცირებული მატრიცა მცირდება კანონიკურ ფორმამდე უცვლელი მამრავლების მინიჭებით

, ; ,

სადაც r – რანგის მატრიცები; - უმსხვილესი კონტრიბუტორი kth რიგის არასრულწლოვანთათვის, აღებულია უფროსი კოეფიციენტიდან, რომელიც უდრის 1-ს.

კონდახი. დაე, იყოს მოცემული - მატრიცა

გადაწყვეტილება. რა თქმა უნდა, პირველი ღელვის მაქსიმალური ხანგრძლივობა, მაშინ. .

განსხვავებული რიგის მნიშვნელოვანი მცირე:

და ა.შ.

უკვე საკმარისი ხარკია მისთვის ფულის საშოვნელად: , მაშინ, .

მნიშვნელობით

ოტიე, .

ამ თანმიმდევრობით, ამ მატრიცის კანონიკური ფორმა არის მატრიცა:

მატრიცის მრავალწევრებულს ეწოდება ვირაზის ფორმა

დე – შეცვლა; - n რიგის კვადრატული მატრიცები რიცხვითი ელემენტებით.

ვინაიდან S ეწოდება მატრიცის მულტიტერმინის ხარისხს, n არის მატრიცის მრავალტერმინის რიგი.

არის თუ არა მატრიცა კვადრატული, ის შეიძლება იყოს მატრიცის მრავალწევრი. სამართლიანად, გონივრულად და მტკიცედ ჩამოყალიბებული, მაშინ. ნებისმიერი მატრიცის ტერმინი შესაძლებელია კვადრატული მატრიცის სახით.

ამ განცხადებების მართებულობა აშკარად ჩანს მატრიცებზე მოქმედების ძალადან. მე დავრჩები შემდეგ დუნდულებზე:

კონდახი. წარადგინეთ მდიდარი მატრიცა

მატრიცის მდიდარი წევრის დანახვაზე ეს შესაძლებელია შემდეგ ეტაპზე

კონდახი. მატრიცის მდიდარი ტერმინი

შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი, მდიდრულად განსაზღვრული მატრიცის სახით (-მატრიცა)

მატრიცის წევრებისა და მრავალწევრიან მატრიცის ეს ურთიერთშემცვლელობა არსებით როლს ასრულებს ფაქტორებისა და კომპონენტების ანალიზის მეთოდების მათემატიკურ აპარატში.

ერთი და იგივე რიგის მატრიცული ტერმინები შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გამრავლდეს ისე, როგორც სტანდარტული ტერმინები რიცხვითი კოეფიციენტებით. სლაიდი, პროტე, მეხსიერება, ასე გამრავლებული მატრიცის მდიდარი წევრები, ვზაგალი, არა კომუტაციური, რადგან არაკომუტაციური გამრავლების მატრიცა.

ორ მატრიცულ პოლინომს ტოლი ეწოდება, რადგან მათი კოეფიციენტები ტოლია. სხვადასხვა მატრიცები ცვლილების იმავე დონეზე.

ორი მატრიცით მდიდარი წევრის ჯამი (შედეგი) არის ისეთი მატრიცით მდიდარი წევრი, რომლის კოეფიციენტი ცვლილების კანის დონეზე უდრის მდიდარ წევრებში იმავე დონეზე მყოფი კოეფიციენტების ჯამს (სიმძიმეს) ე.ი.

მატრიცის მატრიცით გასამრავლებლად საჭიროა მატრიცის ტყავი გაამრავლოთ მატრიცის კანზე, ამოიღოთ ნაკეცები და შექმნათ მსგავსი წევრები.

მატრიცის მდიდარი წევრის ეტაპი - შექმენით ასოცირებული ეტაპების ნაკლები ან მეტი თანაბარი რაოდენობა.

მატრიცის ტერმინებზე ოპერაციებს შეიძლება მოჰყვეს დამატებითი ოპერაციები მსგავს მატრიცებზე.

მატრიცის წევრების დასაკეცად (ამაღლებისთვის), საკმარისად მოხარეთ (აწიეთ) დამხმარე მატრიცები. იგივე ეხება გამრავლებას. - მატრიცის მდიდარი ტერმინების დამატების მატრიცა იგივე რიგისაა - სინთეზების მატრიცა.

მეორეს მხრივ, შეგიძლიათ დაწეროთ ერთი შეხედვით

de U 0 არის არავირუსული მატრიცა.

ქონების გაყოფისას მკაფიოდ ხაზგასმულია კონფიდენციალურობის უფლება და უფლება ჭარბი

დე ეტაპი R 1 ნაკლები საფეხური, ან (გაყოფილი ჭარბი გარეშე), ასევე მარცხენა და მარცხენა ჭარბი ტოდი და მხოლოდ ტოდი, თუ, თანმიმდევრობით

კატეგორიები

პოპულარული