მატრიცის ეტაპობრივ ფორმამდე დაყვანის ალგორითმი. ნაბიჯის მატრიცა. მატრიცული რანგის გაუსის მეთოდი მატრიცის ეტაპობრივ ფორმამდე დაყვანის

2020 წლის ბოლოს NASA იწყებს ექსპედიციას მარსზე. კოსმოსური ხომალდი მარსს მიაწვდის ელექტრონულ მოწყობილობას, რომელიც შეიცავს ექსპედიციის ყველა რეგისტრირებული მონაწილის სახელს.

მონაწილეთა რეგისტრაცია ღიაა. აიღეთ თქვენი ბილეთი მარსზე რაც შეიძლება მალე.

თუ ეს პოსტი გადაჭრის თქვენს პრობლემას ან უბრალოდ მოგწონთ, გაუზიარეთ თქვენი შეტყობინებები მეგობრებს სოციალურ მედიაში.

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, ტეგებს შორის іან დაუყოვნებლივ ტეგის შემდეგ . MathJax-ის პირველი ვერსია ემხრობა უფრო ფართო და პატარა მხარეს. ამ შემთხვევაში, სხვა ვარიანტი ავტომატურად განახლდება და განახლდება MathJax-ის უახლესი ვერსიებით. პირველი კოდის ჩასმის შემდეგ, ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ სხვა კოდს ჩასვამთ, გვერდები უფრო საინტერესო გახდება, მაშინ არ დაგჭირდებათ მუდმივად ადევნოთ თვალი MathJax-ის განახლებებს.

ყველაზე მარტივია MathJax-ის დაკავშირება Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის დაფაზე, დაამატეთ ვიჯეტი მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ ზემოთ წარმოდგენილი აპლიკაციის კოდის პირველი ან სხვა ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი შაბლონის ზედა ნაწილთან ახლოს. (საუბრის წინ, საერთოდ არ არის ენა, MathJax-ის სკრიპტის ფრაგმენტები ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ ჩასვათ მათემატიკური ფორმულები თქვენი საიტის ვებ გვერდებზე.

ახალი კლდის წინა დღეა... ყინვაგამძლე ამინდი და ქუჩებში ფიფქები... ყველაფერმა მიბიძგა კიდევ ერთხელ დავწერო... ფრაქტალებზე და მათზე ვინც იცის ვოლფრამ ალფაზე. ამ დისკს აქვს განსაკუთრებული ფუნქცია, რომელიც მოიცავს ორგანზომილებიანი ფრაქტალური სტრუქტურების გამოყენებას. აქ ჩვენ გადავხედავთ ტრივიალური ფრაქტალების დასაკეცი კონდახებს.

ფრაქტალი შეიძლება მკაფიოდ იყოს იდენტიფიცირებული (აღწერილი) როგორც გეომეტრიული ფიგურა ან სხეული (გაითვალისწინეთ, რომ ისინი სხვაგვარად არიან უსახო, ამ შემთხვევაში უსახო წერტილი), რომელთა ნაწილებს აქვთ იგივე ფორმა, რაც თავად ნამდვილ ფიგურას. ასე რომ, ეს არის საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურა, რომელიც გაძლიერებისას ავლენს იგივე ფორმას, როგორც გაძლიერების გარეშე. ისევე, როგორც პირველადი გეომეტრიული ფიგურის (არა ფრაქტალის) გამოჩენა, გაზრდილი დეტალებით, რომლებიც უფრო მარტივ ფორმას ქმნიან, თავად ქვედა ფიგურა. მაგალითად, ელიფსის დიდ ნაწილებთან შედარებით, ის სწორ ჭრილს ჰგავს. ეს ასე არ არის ფრაქტალებზე: თუ ისინი გაიზრდებიან, ჩვენ კვლავ შევქმნით იმავე დაკეცილ ფორმას, როგორც კანის მატებასთან ერთად ვიმეორებთ ისევ და ისევ.

ბენუა მანდელბროტი, ფრაქტალების მეცნიერების ფუძემდებელი, თავის სტატიაში ფრაქტალები და საიდუმლოება მეცნიერების სახელით წერდა: „ფრაქტალები არის გეომეტრიული ფორმები, რომლებიც, თუმცა, კომპლექსურია მათი დეტალებით, ისევე როგორც მათი ძირითადი ფორმით. იყოს გადიდებული მთლიანის ზომამდე, ხილული მთლიანობაში, ან ზუსტად, ან შესაძლოა მცირე დეფორმაციით“.

ვიზნაჩენნია. ნაბიჯის სიხშირეჩვენ დავარქმევთ მატრიცას, რადგან ძალაუფლების შეტევა ხდება:

1) თუ i-ე მწკრივი არის ნული, მაშინ (I + 1)-ე მწკრივიც არის ნული,

2) თუ i-ე და (I+1)-ე რიგების პირველი არანულოვანი ელემენტები განლაგებულია სვეტებად k და R რიცხვებით, ცხადია, მაშინ k.< R.

უმოვა 2) წარმოქმნის ნულოვანი ნულების სავალდებულო ზრდას i-ე მწკრივიდან (I + 1)-ე მწკრივზე გადასვლისას. მაგალითად, მატრიცები

A 1 = , A 2 =
, A 3 =

საფეხურების ნაწილები და მატრიცები

U 1 = V 2 = , B 3 =

არანაირი ნაბიჯი.

თეორემა 5.1.ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება შემცირდეს ეტაპობრივ დონეზე მატრიცის რიგების დამატებითი ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.

ჩვენ ამ თეორემას მაგალითით ვხსნით.

A =

მატრიცა, რომელიც გამოვიდა, არის სცენა.

ვიზნაჩენნია. მატრიცის რანგიამ მატრიცის ეტაპობრივ გარეგნობაში არანულოვანი რიგების რაოდენობას უწოდებენ.

მაგალითად, A მატრიცის რანგი 3-ზე მაღალია.

ლექცია 6.

ლიდერები, ავტორიტეტები. დაბრუნების მატრიცა იგივეა, რაც გაანგარიშება.

აღმასრულებლები სხვა რიგის არიან.

მოდით შევხედოთ სხვა რიგის კვადრატულ მატრიცას

A =

ვიზნაჩენნია. სხვა რიგის მეორე მეთაური, A მატრიცის ქვემდებარე არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით

│A│= = .

ელემენტებს a ij ეწოდება პირველადი ელემენტები│A│, 11 და 22 ელემენტები დადასტურებულია თავის დიაგონალიელემენტი 12, 21 ─ ჰო მართლა.

კონდახი. = -28 + 6 = -22

მესამე რიგის აღმასრულებლები.

მოდით შევხედოთ მესამე რიგის კვადრატულ მატრიცას

A =

ვიზნაჩენნია. მესამე რანგის ჩინოვნიკი, A მატრიცის ქვემდებარე არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით

│A│= =

იმისათვის, რომ გვახსოვდეს, რას აკეთებს ძმობის მარჯვენა მხარე "პლუს" ნიშანთან და რას აკეთებს მარჯვენა მხარე "მინუს" ნიშანთან ერთად, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს წესი ე.წ. ტრიკუტნიკის წესი.

= ─

მიმართვა:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, მაშინ. │E 3 │= 1.

მოდით შევხედოთ მესამე რიგის შემოსავლის გამოთვლის სხვა მეთოდს.

ვიზნაჩენნია. უმნიშვნელო ელემენტიპირველადის ij-ს პირველადი ეწოდება, მოცემულ სკამს აშორებს i-ე მწკრივს და j-ე სვეტს. ალგებრული დამატებებიძირითადი ნიშნის a ელემენტის ij-ს ეწოდება მეორე მცირე M ij, რომელიც აღებულია (-1) i + j ნიშნით.

კონდახი.თვლადი მინორი M 23 და ალგებრა A 23 ელემენტი a 23 დამატება მატრიცაში

A =

მთვლელი მინორი M 23:

M 23 = = = - 6 + 4 = -2

A 23 = (-1) 2+3 M 23 = 2

თეორემა 1.ნებისმიერი მწკრივის (დაწყობის) შემოქმედებითი ელემენტების უძველესი ჯამების მესამე რიგის შთამომავალი მათი ალგებრული მიმატებით.

დოქ. პაემნებისთვის

= (1)

მოდით ავირჩიოთ, მაგალითად, სხვა მწკრივი და ვიცით ალგებრას A 21, A 22, A 23 დამატება:

A 21 = (-1) 2+1 = -() =

A 22 = (-1) 2+2 =

A 23 = (-1) 2+3 = - () =

კონვერტირებადი ფორმულა (1)

│A│= ( ) + () + () = A 21 + A 22 + A 23

│A│= A 21 + A 22 + A 23

დაურეკა დაბადების დღის წვეულების ამოლაგება│A│ სხვა რიგის ელემენტების უკან. მსგავსი განლაგება შეიძლება მოჰყვეს სხვა რიგების ან სხვა სვეტის ელემენტებს.

კონდახი.

= (სხვა სვეტის ელემენტების უკან) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. მეორადი ცვლადი n-ე რიგის (n N).

ვიზნაჩენნია. მე-n რიგის მეორადი, n-ე რიგის დაქვემდებარებული მატრიცები

A =

იწოდება რიცხვი, რომელიც უდრის ნებისმიერი მწკრივის (დასტის) შემოქმედებითი ელემენტების ჯამს თავის ალგებრულ დანამატთან ერთად.

│A│= A i1 + A i2 + … + A in = A 1j + A 2j + … + A nj

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ n = 2-დან პირველადი შემოსავლის გამოთვლის ფორმულა განსხვავებული რიგისაა.

კონდახი. = (მე-4 რიგის ელემენტების უკან) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თუ პირველად წყაროს აქვს მწკრივის (მწკრივის) ყველა ელემენტი, გარდა ერთისა, ნულის ტოლი, მაშინ პირველადის გამოთვლისას აუცილებელია მისი ხელით დალაგება ამ მწკრივის (სტაკის) ელემენტების მიხედვით.

კონდახი.

│E n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

ლიდერების ძალა.

ვიზნაჩენნია.მატრიცული გონება

ან კიდევ

ჩვენ დავარქმევთ კანქვეშა მატრიცა.

ავტორიტეტი 1.ტრიკუტის მატრიცის წარმოშობა არის თავის დიაგონალის ელემენტების უძველესი დამატება.

= =

ავტორიტეტი 2.ნულოვანი მწკრივის ან ნულოვანი სვეტის მქონე მატრიცის პირველადი ნულის ტოლია.

3. .როდესაც მატრიცა გადატანილია, ნიშანი იცვლება.

│А│= │А t │.

ავტორიტეტი 4.თუ მატრიცა მოდის A მატრიციდან და ამრავლებს იმავე მწკრივის კანის ელემენტს k რიცხვზე, მაშინ

│B│= k│A│

უფლებამოსილება 5.

= =

უფლებამოსილება 6.თუ მატრიცა მიღებულია A მატრიციდან ორი მწკრივის გადაცვლით, მაშინ │B│= −│A│.

ავტორიტეტი 7.პროპორციული მწკრივების მქონე მატრიცის პირველადი მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ხოლო ორი ახალი მწკრივის მქონე მატრიცის პირველადი მნიშვნელობა ნულის ტოლია.

ავტორიტეტი 8.მატრიცის ინდექსი არ იცვლება, თუ ერთი მწკრივის ელემენტები არ დაემატება მატრიცის მეორე მწკრივის ელემენტებს, გამრავლებული რიცხვით.

პატივისცემა.ვინაიდან მატრიცის მე-3 ნიშნის სიმძლავრე არ იცვლება ტრანსპოზიციის დროს, მატრიცის მწკრივების ყველა ძალა იგივეა.

ავტორიტეტი 9.თუ A და B არის n რიგის კვადრატული მატრიცები, მაშინ │AB│=│A││B│.

კარიბჭის მატრიცა.

ვიზნაჩენნია. n რიგის კვადრატული მატრიცა ეწოდება კარიბჭე,რადგან მატრიცა ისეთია, რომ AB = BA = E n. რა გზით ეწოდება მატრიცა კარიბჭე მატრიცაში A და დანიშნულია A-1.

თეორემა 2.ეს მხოლოდ განცხადებებია:

1) ვინაიდან A მატრიცა შექცევადია, არსებობს ზუსტად ერთი შებრუნების მატრიცა;

2) შებრუნების მატრიცას აქვს პირველადი ნიშანი, რომელიც ექვემდებარება ნულს;

3) თუ A და B არის n რიგის საპირისპირო მატრიცები, მაშინ AB მატრიცა არის საპირისპირო და (AB) -1 =

V -1 ×A -1 .

მტკიცებულება.

1) მოდით B და C - მატრიცები, გადავიდეთ მატრიცაზე A, შემდეგ. AB = BA = E n და AC = CA = E n. Todi B = BE n = B(AC) = (BA)C = E n C = C.

2) მატრიცა A შებრუნებული იყოს. შემდეგ მთავარი მატრიცა არის A-1, ის მბრუნავია და

მე-9 ნიშნის ხარისხზე │AA -1 │=│A││A -1 │. ტოდი │A││A -1 │=│E n │, ვარსკვლავები

│А││А -1 │= 1.

Otje, │А│¹ 0.

3) მართალია,

(AB)(B -1 A -1) = (A(BB -1))A -1 = (AE n)A -1 = AA -1 = E n.

(B -1 A -1) (AB) = (B -1 (A -1 A)) B = (B -1 E n) B = B -1 B = E n.

კარგად, AB არის საპირისპირო მატრიცა და (AB) -1 = B -1 A -1.

შემდეგი თეორემა იძლევა კრიტერიუმს დაბრუნების მატრიცის საფუძვლისა და მისი გამოთვლისთვის.

თეორემა 3.კვადრატული მატრიცა A შებრუნებულია, თუ მისი საწყისი ტოლია ნულის. თუ │A│¹ 0, მაშინ

A -1 = =

კონდახი.იპოვეთ A = მატრიცისთვის შეფუთული მატრიცა

გადაწყვეტილება.│A│= = 6 + 1 = 7.

სპლინტერები │A│¹ 0, მთავარი კარიბჭის მატრიცა

A -1 = =

გამოთვალეთ A11 = 3, A12 = 1, A21 = -1, A22 = 2.

A -1 = .

ლექცია 7.

ხაზოვანი სისტემები. წრფივი წოდებების სისტემის თანმიმდევრულობის კრიტერიუმი. გაუსის მეთოდი ხაზოვანი დონეების სისტემების დასადგენად. კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი ხაზოვანი მწკრივების სისტემების გამოსაყვანად.

ხაზოვანი დონეების სისტემები.

გონების პატივისცემის მთლიანობა

(1)

დაურეკა m წრფივი რანჟირების სისტემა n უცნობიდან x 1, x 2, ..., x n. ij რიცხვებს უწოდებენ სისტემის კოეფიციენტები,და რიცხვები b i ─ თავისუფალი წევრები.

სისტემური გადაწყვეტილებები (1)ეწოდება რიცხვების სიმრავლე з 1, з 2, ..., з n სისტემაში მათი ჩანაცვლებისას (1) ჩანაცვლება x 1, x 2, ..., x n, დგინდება სწორი რიცხვითი ეკვივალენტობა.

დაიცავით სისტემა─ ნიშნავს იცოდე მათი ყველა გადაწყვეტილება ან აჩვენო, რომ არ არსებობს. სისტემა ე.წ საძილე ოთახიმე მხოლოდ ერთი გამოსავალი მინდა და გიჟიგამოსავალი არ არის.

მატრიცა, დაკეცილი სისტემის კოეფიციენტებიდან

A =

მას ეწოდება სისტემის მატრიცა (1). თუ სისტემის მატრიცას დავუმატებთ ას წევრს, მაშინ მატრიცას ვხსნით

B =
,

უწოდეს მას იაკუ სისტემის გაფართოებული მატრიცა (1).

არის თუ არა მნიშვნელოვანი?

Х = , З = , მაშინ სისტემა (1) შეიძლება ჩაიწეროს მატრიცული განტოლების სახით AX=C.

იმისათვის, რომ მატრიცა ეტაპობრივად გამოიყურებოდეს (ნახ. 1.4), მიჰყევით ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებს.

1. პირველ ეტაპზე აირჩიეთ ელემენტი ნულის ქვემოთ ( გამტარ ელემენტს ). მწკრივი გამტარ ელემენტთან ( მავთულის რიგი ), თუ პირველი არ არის, გადააწყვეთ პირველი რიგის ადგილას (I ტიპის კონვერტაცია). თუ პირველ ეტაპზე არ არის წამყვანი ელემენტი (ყველა ელემენტი ნულის ტოლია), მაშინ ეს ეტაპი გამორთულია და მატრიცის იმ ნაწილში გამტარი ელემენტის ხმა გრძელდება. ტრანსფორმაცია მთავრდება, როდესაც ყველა ელემენტი გამორთულია, ან მატრიცის იმ ნაწილში, რომელიც აკლია, ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

2. მავთულის რიგის ყველა ელემენტი დაყავით მავთულის ელემენტად (კონვერტაცია II ტიპზე). თუ მავთულის მწკრივი არის დარჩენილი, მაშინ დაასრულეთ გადამუშავების მწკრივი.

3. კანის მწკრივს, გაშლილი წინას ქვემოთ, დაამატეთ მავთულის მწკრივი, გაამრავლეთ ისეთ რიცხვზე, რომ წინამორბედის ქვეშ მყოფი ელემენტები დაემატოს ნულს (III ტიპის ტრანსფორმაცია).

4. გადახედეთ მწკრივს და სვეტს, რომელზედაც დგას გამტარ ელემენტი, გადადით 1-ელ საფეხურზე, რომელშიც ყველა აღწერილობა შედგენილი იქნება მატრიცის იმ ნაწილამდე, რომელიც აკლია.

მწკრივის ელემენტების უკან სიმბოლოს დაშლის თეორემა.

მწკრივის ელემენტების მიხედვით პირველადი ანგარიშის დაშლის შესახებ თეორემა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველადი ანგარიშის გაანგარიშება - th ბრძანება () პირველადი რიგითობის გამოთვლამდე .

ვინაიდან პირველადი შეიცავს ნულის ტოლ ელემენტებს, უფრო მოსახერხებელია პირველადის მოწყობა მწკრივის ან სვეტის ელემენტების მიხედვით, რომელიც შეიცავს ყველაზე მეტ ნულს.

ვიკორისტები და დეპუტატების ძალაუფლება, დეპუტატები შეიძლება გადაკეთდეს - ისე, რომ მოცემული სერიის ან კომბინაციის ყველა ელემენტი, გარდა ერთისა, გახდეს ნულის ტოლი. ამ გზით, ძირითადი თანხის გადახდა - იმავე თანმიმდევრობით, რადგან ის ამოღებულია ნულიდან, ის დაიყვანება ერთი მნიშვნელის გაანგარიშებამდე - კარგი შეკვეთა.

ზავდანნია 3.1.გამოთვალეთ თქვენი ანგარიშის ბალანსი

გადაწყვეტილება.შემდეგ მწკრივზე პირველის დამატების შემდეგ, პირველი მესამეზე, გამრავლებული 2-ზე, მეოთხეზე - პირველი, გამრავლებული -5-ზე, გამოკლებული

პირველი საფეხურის ჩამოყალიბება პირველი ნაბიჯის ელემენტებისთვის, ვთქვათ

მე-3 რიგის ამოღებულ პირველადში, პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, პირველის ჩათვლით, ნულამდე მცირდება. ამისთვის მეორე მწკრივს დავუმატოთ პირველი, გავამრავლოთ (-1), მესამეზე გავამრავლოთ 5-ზე, დავამატოთ პირველი, გავამრავლოთ 8-ზე. ფრაგმენტები ამრავლებენ მესამე მწკრივს 5-ზე, შემდეგ (იმისათვის, რომ უზრუნველყონ რომ ორიგინალი არ იცვლება) გაამრავლე . მაემო

პირველი ნაბიჯი დაყოფილია პირველი სვეტის ელემენტებად:

ლაპლასის თეორემა(1). თეორემა უცხოპლანეტელების დამატებების შესახებ (2)

1) ნებისმიერი სერიის შემოქმედებითი ელემენტების უძველესი ჯამების წარმოშობა მათ ალგებრაში.

2) ნებისმიერი მწკრივის ელემენტების ჯამი, რომელიც მიღებულია სხვა მწკრივის წარმოებული ელემენტების ალგებრის მიმატებით, ნულის ტოლია (თეორემა სხვა ალგებრულ მიმატებებზე გამრავლების შესახებ).

კოორდინატთა სისტემის არჩევისას სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი აღინიშნება მისი კოორდინატების წყვილით (α, β); α და β რიცხვები შეიძლება გავიგოთ ისევე, როგორც რადიუსის ვექტორის კოორდინატები ამ წერტილის ბოლოს. ანალოგიურად, სივრცეში სამმაგი (α, β, γ) ნიშნავს წერტილს ან ვექტორს α, β, γ კოორდინატებით. ეს არის საფუძველი იმისა, რომ მკითხველმა კარგად გაიგოს ხაზოვანი დონის სისტემების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ორი ან სამი უცნობიდან. ამრიგად, ორი ხაზოვანი დონის ყველა სისტემაში არის ორი უცნობი

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

ხაზების კანი ანათებს სიბრტყეზე სწორი ხაზის მსგავსად (დივ. სურ. 26), ხოლო კავშირები (α, β) ჰგავს ამ სწორი ხაზების ქსოვის წერტილს ან ვექტორს ჰგავს аїр კოორდინატებით (ფიგურა). აჩვენებს დაცემას, თუ სისტემა ერთიანი გამოსავალია).

ბრინჯი. 26

ანალოგიურად, წრფივი დონის სისტემიდან შეიძლება ვიპოვოთ სამი უცნობიდან, კანის დონის ინტერპრეტაცია, როგორც ზედაპირის დონე.

მათემატიკა და სხვადასხვა დამატებები (ზოკრემა, კოდირების თეორიაში) დედებს მარჯვნივ მოაქვს წრფივი განტოლებების სისტემებიდან, რომლებსაც შეუძლიათ სამზე მეტი უცნობის მოთავსება. წრფივი განტოლებათა სისტემას n უცნობით x 1 , x 2 , ..., x n ეწოდება ამ ტიპის განტოლებათა სიმრავლე

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m

სადაც a ij i b i არის დამატებითი აქტიური რიცხვები. სისტემაში წოდებების რაოდენობა შეიძლება განსხვავდებოდეს და არანაირად არ არის დაკავშირებული უცნობის რაოდენობასთან. კოეფიციენტებს უცნობი და ij აქვს ქვენუმერაცია: პირველი ინდექსი i მიუთითებს ტოლ რიცხვს, მეორე ინდექსი j – უცნობის რიცხვს, რომლისთვისაც ღირს ეს კოეფიციენტი.

გადაწყვეტილია თუ არა სისტემა, გასაგებია, რომ უცნობი (α) მნიშვნელობების ნაკრები 1 , α 2 , ..., α ნ ), რითი შემოიხვიოთ კანი სწორად.

თუ აღარ არის შესაძლებელი სისტემის (1) სრული გეომეტრიული დაშლა n > 3-ით, სრულიად შესაძლებელია ხელით გაფართოვდეს ორი ან სამი სამყაროს გეომეტრიული სივრცე საკმარისად. ეს ასევე შემდგომშია მითითებული.

n აქტიური რიცხვის სიმრავლის დალაგება (α 1 , α 2 , ..., α ნ ) ეწოდება n-ვირტუალურ არითმეტიკულ ვექტორს და თავად რიცხვებს α 1 , α 2 , ..., α ნ - ამ ვექტორის კოორდინაცია.

ვექტორების აღსანიშნავად, შრიფტი ჩვეულებრივ არის თამამი და ვექტორისთვის α 1 , α 2 , ..., α n კოორდინატებით შენარჩუნებულია ორიგინალური სანოტო ფორმა:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

ანალოგიით, პირველადი სიბრტყე ყველა n-განზომილებიანი ვექტორის გარეშე, რომელიც აკმაყოფილებს n-განზომილებიან წრფივ განტოლებას n-განზომილებიანი სივრცეში ჰიპერპლანე ეწოდება. ყველა ასეთი მნიშვნელოვანი უპიროვნებით, სისტემის ამოხსნა (1) სხვა არაფერია, თუ არა რამდენიმე ჰიპერთვითმფრინავის დიაპაზონი.

n-განზომილებიანი ვექტორების დაკეცვა და გამრავლება განისაზღვრება იგივე წესებით, როგორც უბრალო ვექტორების. და შენ, იაკშო

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

ორი n-განზომილებიანი ვექტორი, მაშინ მათ ჯამს ვექტორი ეწოდება

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

λ რიცხვში ვექტორის დამატებას ვექტორი ეწოდება

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

n-განზომილებიანი არითმეტიკული ვექტორების დიდ რაოდენობას ვექტორების დამატების და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ოპერაციებით ეწოდება არითმეტიკული n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე L n.

შეყვანილი ოპერაციების დახმარებით შეგიძლიათ იხილოთ მრავალი ვექტორის საკმაოდ წრფივი კომბინაცია, ისე რომ გამოიყურებოდეს

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

de λ i - ოპერატიული რიცხვები. მაგალითად, ვექტორების (2) წრფივი კომბინაცია λ და μ კოეფიციენტებით არის იგივე ვექტორი.

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

ვექტორების ტრივიალურ სივრცეში განსაკუთრებულ როლს თამაშობს ვექტორების ტრიო i, j, k (კოორდინატული ვექტორები), რომლებიც ანადგურებენ ნებისმიერ a ვექტორს:

a = xi + yj + zk,

de x, y, z – საოპერაციო რიცხვები (ა ვექტორის კოორდინატები).

n-განზომილებიან შემთხვევაში, იგივე როლს ასრულებს ვექტორების სისტემა:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

ნებისმიერი ვექტორი e აშკარად არის ვექტორების e 1, e 2, ..., e n წრფივი კომბინაცია:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n (6)

უფრო მეტიც, კოეფიციენტები 1, 2, ..., n ემთხვევა a ვექტორის კოორდინატებს.

0-ის მეშვეობით ვექტორის აღნიშვნა, რომლის ყველა კოორდინატი ნულის ტოლია (მოკლედ, ნულოვანი ვექტორი), ჩვენ შემოგვაქვს ასეთი მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა:

a 1, a 2, ..., და k ვექტორების სისტემას ეწოდება წრფივი კომბინაცია, რადგან წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

ამ შემთხვევაში გსურთ, რომ ერთ-ერთი კოეფიციენტი h 1, 2, ..., λ k ამოღებულ იქნას ნულიდან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემას ეწოდება ხაზოვანი დამოუკიდებელი.

დიახ, ვექტორები

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) და 3 = (2, 2, 2, 2)

ხაზოვანი საბადოები, ფრაგმენტები

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

წრფივი მოვლენა, როგორც მნიშვნელობიდან ჩანს, ექვივალენტურია (k ≥ 2-ისთვის) იმისა, რომ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

ვინაიდან სისტემა შედგება ორი ვექტორისგან a 1 და 2, მაშინ სისტემის წრფივი შინაარსი ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ვექტორი მეორის პროპორციულია, ვთქვათ, და 1 = λa 2; ტრივიალურ ფაზაში a 1 და a 2 ვექტორების კოლინარულობა ტოლია. ამგვარად, სამი ვექტორის I სისტემის ძალიან წრფივი მდებარეობა უკიდურეს სივრცეში ნიშნავს ამ ვექტორების თანაპლანარობას. ხაზოვანი განლაგების კონცეფცია არის ის, თუ როგორ ესმით ბუნებრივ ადამიანებს კოლინარულობა და თანაპლენარულობა.

არ აქვს მნიშვნელობა ვექტორები e 1, e 2, ..., e n სისტემიდან (5) წრფივად დამოუკიდებელია. ასევე, n-განზომილებიან სივრცეში არის n წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემები. შეიძლება აჩვენოს, რომ ვექტორების დიდი რაოდენობის მქონე ნებისმიერ სისტემას შეუძლია წრფივად მოტყუება.

ეწოდება თუ არა სისტემა a 1, a 2, ..., a n n-განზომილებიანი სივრცის L n წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორებიდან n მის საფუძველს.

ნებისმიერი ვექტორი L n სივრცეში იშლება და ერთი რიგით, საკმარისი საფუძვლის ვექტორების მიხედვით a 1, a 2, ..., და n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

ეს ფაქტი მარტივად შეიძლება დადგინდეს მოცემული საფუძვლიდან.

გავაგრძელოთ ანალოგია სამგანზომილებიან სივრცესთან, ჩვენ ასევე შეგვიძლია n-განზომილებიან შემთხვევაში ვიგულისხმოთ ვექტორების სკალარული მყარი a b, დამოკიდებულია

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

ასეთი მნიშვნელობისთვის დაცულია ტრივიალური ვექტორების სკალარული შექმნის ყველა ძირითადი ძალა. a და b ვექტორებს ორთოგონალურს უწოდებენ, რადგან მათი სკალარული დამატება ნულის ტოლია:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

თეორიულად, ხაზოვან კოდებს მხარს უჭერს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კონცეფცია - ქვესივრცის კონცეფცია. L n სივრცის V ქვესივრცეს ამ სივრცის ქვესივრცე ეწოდება, რადგან

1) ნებისმიერი a, b ვექტორებისთვის, რომლებიც დევს V-ზე და მათი ჯამი a + b ასევე დევს V-ზე;

2) ნებისმიერი ვექტორისთვის, რომელიც ეკუთვნის V-ს და ნებისმიერი აქტიური რიცხვისთვის λ ვექტორი λ ასევე ეკუთვნის V-ს.

მაგალითად, ვექტორების ყველა წრფივი კომბინაციის გარეშე e 1 e 2 სისტემიდან (5) იქნება ქვესივრცე L n სივრცეში.

წრფივი ალგებრაში გამოდის, რომ V ქვესივრცეში არის ვექტორების ისეთი წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა a 1 , a 2 , ..., a k , ასე რომ ქვესივრცეში ნებისმიერი ვექტორი არის ამ ვექტორების ხაზოვანი კომბინაცია iv:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

ვექტორთა მითითებულ სისტემას V ქვესივრცის საფუძველი ეწოდება.

სივრცისა და ქვესივრცის მნიშვნელობიდან ირკვევა, რომ სივრცე L n არის კომუტაციური ჯგუფი, რომელიც იყენებს დასაკეცი ვექტორების მოქმედებას და თუ რომელიმე ქვესივრცე V არის ამ ჯგუფის ქვეჯგუფი. რომლის გაგებით შეიძლება, მაგალითად, ვიხილოთ სივრცის შეზღუდული კლასები L n ქვესივრცე V.

დასასრულს, მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ თუ თეორიულად n-განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე ჩაანაცვლებს რეალურ რიცხვებს (ანუ რეალური რიცხვების ველის ელემენტებს), განიხილეთ საკმარისი F ველის ელემენტები, ყველა მნიშვნელობა და ფაქტები, დაყენებული, დაზოგავს ძალას.

კოდირების თეორიაში დაცემა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, თუ ველი F არის აღდგენის ველი Z p, რაც, როგორც ვიცით, მნიშვნელოვანია. ამ შემთხვევაში, n-ამქვეყნიური სივრცე ასევე ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან არ აქვს მნიშვნელობა რამდენი p n ელემენტია.

სივრცის ცნება, ისევე როგორც ჯგუფებისა და რგოლების ცნება, ასევე აქსიომატიურ მნიშვნელობას იძენს. დეტალებისთვის, ჩვენ მივმართავთ სიცოცხლის მომცემი ხაზოვანი ალგებრის ნებისმიერ კურსს.

ხაზოვანი კომბინაცია. ხაზობრივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორული სისტემები.

ვექტორების კიდევ ერთი კომბინაცია

ვექტორთა წრფივი კომბინაცია სახელის ვექტორი

დე - ხაზოვანი კომბინაციის კოეფიციენტები. იაკშჩო კომბინაციას ეწოდება ტრივიალური, ან არატრივიალური.

ვექტორების წრფივობა და დამოუკიდებლობა

სისტემა ხაზობრივად ჩამოყალიბებული

სისტემა წრფივი დამოუკიდებელი

ვექტორების წრფივი პოზიციის კრიტერიუმი

იმისათვის, რომ ვექტორი (r > 1) იყო ხაზოვანი საფუძვლიანი, აუცილებელია და საკმარისია ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთი იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

ხაზოვანი სივრცის ზომები

ხაზოვანი სივრცე ვდაურეკა ნ-მშვიდობიანი (ზომა ნ), როგორც ახალში:

1) სძინავს ნწრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები;

2) როგორიც არ უნდა იყოს სისტემა n+1ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

დანიშნულია: ნ= დაბნელებული ვ;.

ვექტორული სისტემა ე.წ სწორხაზოვნად განლაგებული,როგორ მეძინება არანულოვანირიცხვების ნაკრები ისეთი, რომ წრფივი კომბინაცია

ვექტორული სისტემა ე.წ წრფივი დამოუკიდებელი,თითქოს წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია

კვალი ნულის ტოლია ყველასკოეფიციენტები

ვექტორების წრფივი პოზიციის მიწოდება მცირდება არანულოვანი ამონახსნის მიწოდებაზე წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემაში ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების ტოლი კოეფიციენტებით.

იმისათვის, რომ უკეთ გავიგოთ ვექტორული სისტემის "წრფივობის", "წრფივობის" კონცეფცია, მნიშვნელოვანია შეტევითი ტიპის ამოცანის ამოხსნა:

წრფივობა. I და II კრიტერიუმები წრფივი პოზიციისთვის.

ვექტორული სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული ან არა, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი არის სისტემის სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. მოდით ვექტორული სისტემა იყოს წრფივი. შემდეგ არის კოეფიციენტების ასეთი ნაკრები აბა, რატომ მინდა ნულის გამოკლებული ერთი კოეფიციენტი. Მოდით ვთქვათ... თოდი

ეს არის სისტემის სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

შეუთავსეთ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი სხვა ვექტორების წრფივ კომბინაციას. მისაღებია, რომ ეს არის ვექტორი . აშკარად ასეა. ითვლებოდა, რომ სისტემის ვექტორთა წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია, ხოლო ერთ-ერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია (ტოლი).

რეჩენია10 . 7 თუ ვექტორული სისტემა ცვლის წრფივ ქვესისტემას, მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მტკიცებულება.

დაე, ვექტორულ სისტემას ჰქონდეს ქვესისტემა , სწორხაზოვნად შემორჩენილია, და მე მინდა, რომ ერთი კოეფიციენტი ამოღებულ იქნას ნულიდან. შემდეგ ვქმნით ხაზოვან კომბინაციას. ცხადია, ეს წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია და კოეფიციენტებს შორის არის არანულოვანი.

ვექტორული სისტემის საფუძველი არის მთავარი ძალა.

არანულოვანი ვექტორული სისტემის ფუძეს ექვივალენტური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემა ეწოდება. არ არსებობს ნულოვანი ბაზის სისტემა.

ავტორიტეტი 1:წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის საფუძველი თავისთავად გაქცევულია.

კონდახი:ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა, ვექტორებიდან ფრაგმენტები არ შეიძლება წრფივად გარდაიქმნას სხვების მეშვეობით.

ავტორიტეტი 2: (საბაზისო კრიტერიუმი)მოცემული სისტემის ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მისი ფუძის ჩათვლით და შემდეგ, თუ ის მაქსიმალურად წრფივად დამოუკიდებელია.

მტკიცებულება:სისტემის გათვალისწინებით აუცილებლობამოდით წავიდეთ ბაზაზე. უფრო მეტიც, იმის გამო, რომ სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ის წრფივად სათნოა და ამიტომ არის მაქსიმალურად წრფივი დამოუკიდებელი. ხელმისაწვდომობადაე, ქვესისტემა იყოს რაც შეიძლება წრფივად დამოუკიდებელი. ხაზოვანი შენახული ხაზოვანი ევოლუცია ხდება სისტემის იმავე ბაზის მეშვეობით.

სიმძლავრე 3: (ძირითადი კვების ბაზა)სისტემის ყველა ვექტორი წარმოიქმნება ბაზის მეშვეობით, როგორც ერთი ერთეული.

მტკიცებულებამოდით ვექტორი გენერირებული იყოს ბაზის მეშვეობით ორი გზით, ან: , ან

ვექტორული სისტემის რანგი.

ღირებულება:ვექტორთა არანულოვანი სისტემის რანგი წრფივ სივრცეში არის მისი საფუძვლის ვექტორების რაოდენობა. ნულოვანი სისტემის რანგი ადრე დანიშნული ნულის უკან არის ნული.

ავტორიტეტის წოდება: 1) წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის რანგი იზრდება ვექტორების რაოდენობასთან ერთად. 2) ხაზოვანი შენახვის სისტემის რანგი უფრო დაბალია ვექტორების რაოდენობის გამო. 3) ეკვივალენტური სისტემების რანგები ემთხვევა -რანკი. 4) სისტემის წოდება არის სისტემის წოდებაზე ნაკლები ან მაღალი. 5) თუ რანჟირებთ, მაშინ შექმნით ფარულ ბაზას. 6) სისტემის რანგი არ შეიძლება შეიცვალოს, თუ მას არ დაემატება ვექტორი, რომელიც წარმოადგენს სისტემის სხვა ვექტორების წრფივ კომბინაციას. 7) სისტემის რანგი არ შეიძლება შეიცვალოს, თუ მისგან არ არის ამოღებული ვექტორი, რომელიც არის სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

ვექტორული სისტემის რანგის საპოვნელად, აუცილებელია გამოვიყენოთ გაუსის მეთოდი, რათა სისტემა შემცირდეს კანქვეშა ან ტრაპეციულ ფორმამდე.

ეკვივალენტური ვექტორული სისტემები.

კონდახი:

ჩვენ შეგვიძლია გადავიყვანოთ ვექტორული მონაცემები მატრიცაში, რათა ვიპოვოთ საფუძველი. ჩვენ უარვყოფთ:

ახლა, გაუსის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ გადავიყვანთ მატრიცას ტრაპეციულ ხედად:

1) ჩვენს მთავარ მატრიცაში, ჩვენ გავაუქმებთ მთელ პირველ სვეტს, გარდა პირველი მწკრივისა მეორისგან, პირველი გამრავლებული, მესამეზე, პირველი გამრავლებული და მეოთხედან არაფერი წაიშლება, როგორც მეოთხე რიგის პირველი ელემენტი, შემდეგ პირველი და მეოთხე მწკრივის სარტყელი, ნულის ტოლი. მოდით ამოვიღოთ მატრიცა: 2) ახლა მატრიცაში მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონები გადანაწილებულია ადგილებზე გადაწყვეტის გასაადვილებლად, ისე რომ ელემენტის ადგილას არის ერთი. მეოთხე რიგი შეიძლება შეიცვალოს მეორის ადგილზე, მეორე - მესამე და მესამე - მეოთხე. მოდით ამოვიღოთ მატრიცა: 3) მატრიცაში ელემენტის ქვეშ მყოფი ყველა ელემენტი გაუქმებულია. ჩვენი მატრიცის დარჩენილი ელემენტი ნულის ტოლია და მეოთხე მწკრივიდან არაფერი ჩანს და მესამემდე ვამატებთ კიდევ ერთ გამრავლებას. მოდით ამოვიღოთ მატრიცა: 4) ისევ შეცვალეთ 3 და 4 რიგების მატრიცა ადგილებზე. მოდით ამოვიღოთ მატრიცა: 5) მატრიცაში დავამატოთ მესამე რიგის მეოთხე მწკრივი, გამრავლებული 5-ზე. ჩვენ ამოვიღებთ მატრიცას, რომ ასე გამოიყურებოდეს:

სისტემები, მათი წოდებები შედარებულია ავტორიტეტების წოდებასთან და მათი წოდება იგივეა, რაც წოდება

პატივისცემა: 1) ტრადიციული გაუსის მეთოდისგან განსხვავებით, ვინაიდან მატრიცის მწკრივში ყველა ელემენტი იყოფა ერთ რიცხვად, ჩვენ არ გვაქვს უფლება შევამოკლოთ მატრიცის მწკრივი მატრიცის ძალების მოქმედებით. თუ ჩვენ გვინდა შევამოკლოთ მწკრივი ერთ რიცხვზე, მაშინ მოგვიწევს მთლიანი მატრიცის შემცირება ერთ რიცხვზე. 2) თუ ხაზოვან მწკრივს ამოვიღებთ, შეგვიძლია ავიღოთ ის ჩვენი მატრიციდან და ჩავანაცვლოთ ნულოვანი მწკრივით. კონდახი: მაშინვე ნათელია, რომ მეორე მწკრივი გამოიხატება პირველის მეშვეობით, თუ პირველს გაამრავლებთ 2-ზე. შემდეგ შეგიძლიათ შეცვალოთ მთელი მეორე მწკრივი ნულოვანით. ჩვენ უარვყოფთ: შედეგად, მატრიცას ტრიკუტანურ ან ტრაპეციულ ხედზე მიმაგრების შემდეგ, სადაც მას აქვს მრავალი ხაზოვანი ვექტორი, მატრიცის ყველა არანულოვანი ვექტორი იქნება მატრიცის საფუძველი და მათი წოდება.

ასე რომ, ვექტორული სისტემის გამოყენება როგორც გრაფიკა: მოცემული სისტემის de , , i . ამ სისტემის საფუძველი, ცხადია, იქნება ვექტორი i, რადგან ვექტორები გამოიხატება მათში. სისტემა მოცემულია გრაფიკულ ხედზე:

ელემენტარული ხელახალი შექმნა. ეტაპობრივი გარეგნობის სისტემები.

მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნები- ეს არის მატრიცის გარდაქმნები, რომელშიც შენარჩუნებულია მატრიცის ეკვივალენტობა. ამრიგად, ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის ხაზოვანი ალგებრის სისტემის აბსოლუტურ ამონახსნებს, რომელიც წარმოდგენილია მატრიცით.

ელემენტარული გარდაქმნები ეფუძნება გაუსის მეთოდს მატრიცის სამკუთხა ან ეტაპობრივად შესამცირებლად.

რიგების ელემენტარული ხელახალი შექმნაზარი:

ზოგიერთ ხაზოვანი ალგებრის კურსში, მატრიცის მწკრივების პერმუტაცია არ ჩანს ელემენტარული გარდაქმნების გარდა, რომლებშიც მატრიცის ნებისმიერი ორი მწკრივის პერმუტაცია შეიძლება აღმოიფხვრას მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის მუდმივზე გამრავლებით. , და აბაზანის დამატება სხვა რიგის მატრიცის ნებისმიერ მწკრივს, გამრავლებული მუდმივზე.

იგივენაირად ფასდება ღუმელების ელემენტარული გარდაქმნები.

ელემენტარული ხელახალი შექმნა მაქციები.

აღნიშვნა მიუთითებს იმაზე, რომ მატრიცა შეიძლება წაიშალოს ელემენტარული ცვლილებების გზით (ან უნებლიეთ).

1. პირველ ეტაპზე აირჩიეთ ელემენტი ნულის ქვემოთ ( გამტარ ელემენტს ). მწკრივი გამტარ ელემენტთან ( მავთულის რიგი ), თუ პირველი არ არის, გადააწყვეთ პირველი რიგის ადგილას (I ტიპის კონვერტაცია). თუ პირველ ეტაპზე არ არის წამყვანი ელემენტი (ყველა ელემენტი ნულის ტოლია), მაშინ ეს ეტაპი გამორთულია და მატრიცის იმ ნაწილში გამტარი ელემენტის ხმა გრძელდება. ტრანსფორმაცია მთავრდება, როდესაც ყველა ელემენტი გამორთულია, ან მატრიცის იმ ნაწილში, რომელიც აკლია, ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

7. მწკრივის ელემენტების უკან სიმბოლოს დაშლის თეორემა.

ზავდანნია 3.1.გამოთვალეთ თქვენი ანგარიშის ბალანსი

პირველი საფეხურის ჩამოყალიბება პირველი ნაბიჯის ელემენტებისთვის, ვთქვათ

პირველი ნაბიჯი დაყოფილია პირველი სვეტის ელემენტებად:

8. ლაპლასის თეორემა (1). თეორემა უცხოპლანეტელების დამატებების შესახებ (2)

1) ნებისმიერი მწკრივის შემოქმედებითი ელემენტების პირველადი ჯამი მათ ალგებრულ დანამატზე.

2) წარმოებულის ნებისმიერი მწკრივის ელემენტების შექმნის ჯამი სხვა მწკრივის დამატებითი ელემენტების ალგებრულ დანამატზე ნულის ტოლია (თეორემა სხვა ალგებრულ დანამატებზე გამრავლების შესახებ).

9. არითმეტიკული ვექტორული სივრცეები.

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

ბრინჯი. 26

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m

n რეალური რიცხვების სიმრავლის ნებისმიერ დალაგებას (α 1, α 2, ..., α n) ეწოდება n-ვირტუალური არითმეტიკული ვექტორი, ხოლო თავად რიცხვებს α 1, α 2, ..., α n ეწოდება. ამ ვექტორის კოორდინატები.

a = (α 1, α 2, ..., α n).

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

ორი n-განზომილებიანი ვექტორი, მაშინ მათ ჯამს ვექტორი ეწოდება

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)

λ რიცხვში ვექტორის დამატებას ვექტორი ეწოდება

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

a = xi + yj + zk,

de x, y, z – საოპერაციო რიცხვები (ა ვექტორის კოორდინატები).

n-განზომილებიან შემთხვევაში, იგივე როლს ასრულებს ვექტორების სისტემა:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

n = (0, 0, 0, ..., 1).

ნებისმიერი ვექტორი e აშკარად არის ვექტორების e 1, e 2, ..., e n წრფივი კომბინაცია:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n (6)

უფრო მეტიც, კოეფიციენტები 1, 2, ..., n ემთხვევა a ვექტორის კოორდინატებს.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

დიახ, ვექტორები

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) და 3 = (2, 2, 2, 2)

ხაზოვანი საბადოები, ფრაგმენტები

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

ეს ფაქტი მარტივად შეიძლება დადგინდეს მოცემული საფუძვლიდან.

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.

ვექტორთა მითითებულ სისტემას V ქვესივრცის საფუძველი ეწოდება.

10. ხაზოვანი კომბინაცია. ხაზობრივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორული სისტემები.

მატრიცა, იხილეთ მატრიცა, მატრიცების ზემოთ.

იხილეთ მატრიცა:

1. პრიოკუტნი: მі ნ- უფრო დადებითი რიცხვები

2. მოედანი: m=n

3. მატრიცის მწკრივი: m=1. მაგალითად, (1 3 5 7) - ბევრ პრაქტიკულ გამოყენებაში ასეთ მატრიცას ვექტორს უწოდებენ.

4. მატრიცული ღუმელები: n=1. Მაგალითად

5. დიაგონალური მატრიცა: m=nі a ij =0, იაკშო i≠j. Მაგალითად

6. იდენტობის მატრიცა: m=nі

7. ნულოვანი მატრიცა: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. ტრიკუტნას მატრიცა: ყველა ელემენტი თავის დიაგონალის ქვემოთ უდრის 0-ს.

9. სიმეტრიული მატრიცა:m=nі a ij = ჯი(ისე, რომ თანაბარი ელემენტები დგანან სიმეტრიულ ადგილებზე თავის დიაგონალის გასწვრივ), შემდეგ კი A"=A

Მაგალითად,

10. დახრილ-სიმეტრიული მატრიცა: m=nі ა იჯ =-ა ჯი(შემდეგ პროსტრატული ელემენტები უნდა განთავსდეს სიმეტრიულ პოზიციებზე თავის დიაგონალის გასწვრივ). ასევე, უნდა იყოს ნულები თავის დიაგონალზე (რადგან i=jდედა a ii =-a ii)

პოდლები მატრიცებზე:

1. დოდავანია

2. Vіdnіmannyaმატრიცა - ელემენტარული ოპერაცია

3. tvir, dobutokმატრიცები რიცხვზე – ელემენტარული ოპერაცია

4. რეპროდუქცია A*Bმატრიცა წესით რიგი Stovpets-ზე(მატრიცის A სტრიქონების რაოდენობა შეიძლება ტოლი იყოს B მატრიცის რიგების რაოდენობას)

A mk * B kn = C mnრა შუაშია კანის ელემენტი? з ijმატრიცები სმნ A მატრიცის i-ე მწკრივის ელემენტების და B მატრიცის j-ე რიგის ელემენტების შექმნის შესაბამისი ჯამები, შემდეგ.

პრაქტიკაში ვაჩვენოთ მატრიცის გამრავლების ოპერაცია

5. A მატრიცის ტრანსპოზირება. მატრიცის ტრანსპოზირება აღინიშნება A T ან A

მაგალითად

რიგებმა და სადგურებმა ადგილი იცვალა

მატრიცებზე მოქმედებების ძალა:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. მეორადი და მესამე რიგის წინაპრები (ძირითადი ცნებები, წმინდანები, გამოთვლები)

ავტორიტეტი 1.ნიშანი არ იცვლება ტრანსპოზიციის საათის განმავლობაში.

მტკიცებულება.

პატივისცემა. ლიდერების მომავალი უფლებამოსილებები ჩამოყალიბებულია მხოლოდ წოდებებისთვის. ასეთი ძალაუფლებით ჩანს, რომ სწორედ ამ ძალებით მართავენ ხალხს.

სიმძლავრე 2. როდესაც პირველადი ფიგურის მწკრივის ელემენტები მრავლდება, მთელი ცვლადის რიცხვი მრავლდება ამ რიცხვზე, მაშინ.

მტკიცებულება.

უფლებამოსილება 3.საწყისი, რომელიც არის ნულოვანი მწკრივი, უდრის 0-ს.

ამ სიმძლავრის მტკიცებულება მოდის 2 სიმძლავრისგან k = 0-ზე.

ავტორიტეტი 4.ლიდერი, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი მწკრივი, უდრის 0-ს.

მტკიცებულება.

სიმძლავრე 5. მნიშვნელოვანი, რომელთა ორი მწკრივი პროპორციულია, 0-მდე.

მტკიცებულება მოდის 2 და 4 ავტორიტეტებისგან.

სიმძლავრე 6. პირველადის ორი რიგის გადაწყობისას, მნიშვნელობა იზრდება –1-ით.

მტკიცებულება.

ავტორიტეტი 7.

ამ სიმძლავრის დადასტურება შეიძლება განხორციელდეს დამოუკიდებლად, ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარის მნიშვნელობების გათანაბრებით, რომლებიც ნაპოვნია დამატებით მნიშვნელობაში 1.5.

ავტორიტეტი 8.პირველადის მნიშვნელობა არ იცვლება, თუ ერთი რიგის ელემენტებს არ დაემატება მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

მცირეწლოვანი. ალგებრული დამატება. ლაპლასის თეორემა.

ტრიკუტანულ ხედამდე შემცირების მეთოდიმდგომარეობს ამ ნიშნის ისეთ შებრუნებაში, როდესაც მისი ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მისი დიაგონალის ერთ მხარეს, ხდება ნულის ტოლი.

კონდახი 8.გამოთვალეთ თქვენი ანგარიშის ბალანსი

მიიყვანეს სამკანიან მხედველობამდე.

გადაწყვეტილება.პირველი რიგი აშკარად ჩანს სხვა რიგებიდან. ტოდი მოსახსნელია

ეს წარმოშობა არის თავის დიაგონალის ელემენტების უძველესი დამატება. ამ გზით, მაშ

პატივისცემა.ყველაფერი, რასაც უყურებთ, შეიძლება შეჯამდეს n-ე რიგისთვის.

მატრიცის შემცირება ეტაპობრივად. რიგებისა და სადგურების ელემენტარული რეორგანიზაცია.

მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნებიამ გარდაქმნებს უწოდებენ:

ᲛᲔ. მატრიცის ორი სვეტის (მწკრივის) პერმუტაცია.

ІІ. მატრიცის ერთი სვეტის (მწკრივის) ყველა ელემენტის გამრავლება იმავე რიცხვზე, ნულის გამოკლებით.

ІІІ. ერთი სვეტის (მწკრივის) ელემენტებს ემატება მეორე სვეტის (მწკრივის) მსგავსი ელემენტები, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

მატრიცა, რომელიც გამოყვანილია გამომავალი მატრიციდან ელემენტარული გადასვლების ბოლო რიცხვით, ეწოდება ექვივალენტი . ეს მითითებულია.

შეიქმნება ელემენტარული გარდაქმნები მატრიცის გასამარტივებლად, რათა ისინი გამოყენებული იქნას სხვადასხვა ამოცანებზე.

მარაგი 1.29.მიიყვანეთ მატრიცა ეტაპობრივად

კატეგორიები

პოპულარული