რამდენიმე ცვლადის მნიშვნელოვანი ფუნქციები. ძირითადი გაგება.

თუ რომელიმე მამრავლისგან დამოუკიდებელი რიცხვების (x, y) წყვილს მიენიჭება იგივე წესი, როგორც z ცვლადის ერთი მნიშვნელობა, მაშინ მას ეძახიან. ორი ურთიერთშემცვლელის ფუნქცია. z = f (x, y,)

ფუნქციის არე z- წყვილთა სიმრავლე (x, y), რომლისთვისაც მოქმედებს z ფუნქცია.

ფუნქციის უპიროვნო მნიშვნელობა (მნიშვნელობის დიაპაზონი) არის ყველა ის მნიშვნელობა, რომელსაც ფუნქცია იძენს მის მნიშვნელობის დომენში.

ორის ფუნქციის გრაფიკიცვალებადი - უპიროვნო P წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს დონეს z = f (x, y)

M0 (x0; y0) წერტილის გარშემო r რადიუსამდე- ყველა წერტილის მთლიანობა (x, y), რომელიც აკმაყოფილებს გონებას< r

მნიშვნელობის არე არის რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის მნიშვნელობის ფართობი. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის გრაფიკი.

მრავალი ცვლადის ფუნქციის შორის და უწყვეტობა.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციებს შორის

ორით გამოყოფილი რამდენიმე ცვლადის ურთიერთფუნქციების გასაგებად Xі ზე. მინიჭებული ფუნქციისთვის f(x, y)შეიძლება ზუსტად შორის ( X 0 , ზე 0), რიცხვის ტოლი ა, რომელიც მითითებულია შემდეგნაირად:

(1)

(დაწერეთ მეტი f(x, y)→აზე (x, y)→ (X 0 , ზე 0)), რადგან ის მითითებულია წერტილის ამჟამინდელ სიახლოვეს ( X 0 , ზე 0), დამნაშავის უკან, ალბათ, სწორედ ქულები და მთავარი საზღვრებია

(2)

ცეცხლი რომ არ ყოფილიყო ( X 0 , ზე 0) წერტილების თანმიმდევრობა ( x k, y k).

ასე რომ, მხოლოდ იმის გამო, რომ არ არსებობს ერთი ცვლადის ფუნქცია, შეგიძლიათ შეიყვანოთ სხვა ექვივალენტური მნიშვნელობა ორი ცვლადის ფუნქციებს შორის: ფუნქცია ვშეიძლება ზუსტად ( X 0 , ზე 0) საზღვარი, მდ ა, ვინაიდან იგი მითითებულია წერტილის სიახლოვეს ( X 0 , ზე 0) დამნაშავის უკან, ალბათ, იგივე ქულები და ნებისმიერი ε > 0-ისთვის ასევე იქნება δ > 0, ასე რომ

| f(x, y) – ა| < ε (3)

ყველასთვის (x, y)რაც აკმაყოფილებს უთანასწორობას

0 < < δ. (4)

ეს მნიშვნელობა, თავისებურად, უდრის შემდეგს: ნებისმიერი ε > 0-ისთვის არის წერტილის δ-წრე ( X 0 , ზე 0) ისე რომ ყველასთვის ( x, y) ამ ფასის ზონიდან, წინა ხედიდან ( X 0 , ზე 0) დამატებულია გაურკვევლობა (3).

მნიშვნელოვანი წერტილის კოორდინატების ფრაგმენტები ( x, y) წერტილის გარშემო ( X 0 , ზე 0) შეგიძლიათ დაწეროთ x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ ზე, მაშინ ეჭვიანობა (1) შეურაცხმყოფელი ეჭვიანობის ტოლფასია:

მოდით შევხედოთ წერტილის სიახლოვეს მოცემულ ფუნქციას ( X 0 , ზე 0), ალბათ ყველაზე მნიშვნელოვანი პუნქტები.

მოდით ω = (ω X, ω ზე) – დამატებითი ვექტორი ერთამდე (|ω|2 = ω X 2 + ω ზე 2 = 1) ტა ტ> 0 – სკალარული. ჭკუის ნაკვთები

(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე) (0 < ტ)

დაადასტურეთ, რომ გჭირდებათ წასვლა ( X 0 , ზე 0) პირდაპირ ვექტორიდან ω. კანისთვის შეგიძლიათ იხილოთ ფუნქცია

ვ(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე) (0 < ტ< δ)

როგორც სკალარული ცვლადი ტ, de δ - დაამატეთ მცირე რიცხვი.

ამ ფუნქციებს შორის (ერთი ცვლადი ტ)

ვ(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე),

როგორც ირკვევა, ბუნებრივია, რომ მას საზღვარი ვუწოდოთ ვწერტილში ( X 0 , ზე 0) პირდაპირ ω.

კონდახი 1.ფუნქციები

მონიშნულია თვითმფრინავში ( x, y) წერტილის მიღმა X 0 = 0, ზე 0 = 0. Maєmo (vrahuvati, scho і ):

(ε > 0-სთვის მნიშვნელოვანია, რომ δ = ε/2 და შემდეგ | f(x, y)| < ε, если < δ).

ეს გვიჩვენებს, რომ φ წერტილს შორის (0, 0) სხვადასხვა სწორი ხაზის გასწვრივ არის განსხვავება (გაცვლის ერთი ვექტორი y = kx, X> 0, ჰგავს

).

ნომერი აფუნქციის საზღვარს უწოდებენ f(M)ზე მ → მ 0 თუ რომელიმე რიცხვისთვის ε > 0 ყოველთვის იქნება რიცხვი δ > 0 ისეთი, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის მ, მნიშვნელოვანი ხედები მ 0 და დააკმაყოფილე გონება | მმ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – ა | < ε.

მნიშვნელობა შორის არსებობს ორი განსხვავებული ფუნქცია

თეორემები საზღვრების შესახებ.რა ფუნქციებია? ვ 1 (M)і ვ 2 (M)ზე მ → მ 0 მოხარეთ კანი ბოლო საზღვრამდე, შემდეგ:

V)

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა

მინიჭებული ფუნქციისთვის f(x, y)ზუსტად უწყვეტად ( X 0 , ზე 0), რადგან იგი მითითებულია ამჟამინდელ სიახლოვეს, მათ შორის იმ წერტილში ( X 0 , ზე 0) და სად არის საზღვარი f(x, y)ამ პუნქტს აქვს მსგავსი მნიშვნელობა:

(1)

გონებამახვილობა შეფერხების გარეშე ვწერტილში ( X 0 , ზე 0) შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური ფორმით:

(1")

ტობტო. ფუნქცია ვზუსტად უწყვეტად ( X 0 , ზე 0), რადგან ფუნქცია შეუფერხებელია f(x 0 + Δ X, ზე 0 + Δ y)ცვლილებების სახეები Δ X, Δ ზეΔ X = Δ y = 0.

შეგიძლიათ შეიყვანოთ ზრდა Δ іფუნქციები і = f(x, y)წერტილში (x, y), რაც მიუთითებს Δ-ის ზრდაზე X, Δ ზეარგუმენტები

Δ і = f(x + Δ X, ზე + Δ y) – f(x, y)

და ჩემი მთავარი ღირებულება უწყვეტობაა ვვ (x, y): ფუნქცია ვპუნქტამდე შეუფერხებლად (x, y), იაკშო

(1"")

თეორემა.რაოდენობა, განსხვავება, სიმტკიცე და კონფიდენციალურობა წერტილში უწყვეტი ( X 0 ,ზე 0) ფუნქცია ვდა φ არის უწყვეტი ფუნქცია ამ ეტაპზე, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ის არის პირადი φ ( X 0 , ზე 0) ≠ 0.

პოსტინუ თშეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციად f(x, y) = თერთგვარი ცვალებადი x, y. ის მუდმივად აკვირდება ამ ადამიანებს, ამიტომაც

|f(x, y) – ვ (X 0 , ზე 0) | = |ს – ს| = 0 0.

დასაკეცი და ფუნქციონალური დასაყრდენი f(x, y) = Xі f(x, y) = ზე. ისინი ასევე შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციებად (x, y)და ამის ქვეშ სუნი არ წყდება. მაგალითად, ფუნქცია f(x, y) = Xმოიტანს კანის წერტილის გარეგნობას (x, y)რიცხვი, რომელიც უფრო ძველია X. ამ ფუნქციის უწყვეტობა უმეტეს წერტილებში (x, y)შეიძლება გაკეთდეს ასე:

| f(x + Δ X, ზე + Δ y) – f(x, y) | = |f(x + Δ x) - x| = | Δ X | ≤ 0.

როგორ ვიმუშაოთ ფუნქციებზე x, yდა დაკეცვის მუდმივი მოქმედება, ხილული და საბოლოო რიცხვში გამრავლება, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ამოიღოთ ფუნქციები, რომელსაც ეწოდება მდიდარი წევრები x, y. ჩამოყალიბებული უმაღლესი ხელისუფლების პლატფორმაზე არის დიდი რაოდენობით მნიშვნელოვანი x, y- უწყვეტი ფუნქციები ამ კრიტიკული წერტილებიდან (x, y) რ 2 .

ქანდაკება P/Qორი მდიდარი წევრი თითო (x, y)რაციონალური ფუნქციაა (x, y)ცხადია, უწყვეტად რ 2, ვინიატოკის წერტილის უკან (x, y), დე Q(x, y) = 0.

P(x, y) = X 3 – ზე 2 + X 2 ზე – 4

შეგიძლიათ მსუყე პენისის კონდახი (x, y)მესამე ეტაპი და ფუნქცია

P(x, y) = X 4 – 2X 2 ზე 2 +ზე 4

მდიდარი პენისის კონდახი (x, y)მეოთხე ეტაპი.

შემოვიღოთ თეორემა, რომელიც ადასტურებს უწყვეტი ფუნქციების ფუნქციის შეუწყვეტლობას.

თეორემა.გაუშვით ფუნქცია f(x, y, z)პუნქტამდე შეუფერხებლად (x 0 , y 0 , ზ 0 ) სივრცე რ 3 (ქულა (x, y, z)) და ფუნქციები

x = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

უწყვეტად აზრამდე (უ 0 , ვ 0 ) სივრცე რ 2 (ქულა (u, v)). გაუშვით, გარდა ამისა,

x 0 = φ (უ 0 , ვ 0 ), y 0 = ψ (უ 0 , ვ 0 ), ზ 0 = χ (უ 0 , ვ 0 ) .

ეს ფუნქცია F(u, v) = f[ φ (u, v),ψ (u, v),χ (u, v)] უწყვეტი (ამისთვის

(u, v)) წერტილში (უ 0 , ვ 0 ) .

დასრულდა. სასაზღვრო ნიშანი შეიძლება დაემატოს უწყვეტი ფუნქციის მახასიათებლების ნიშნის ქვეშ, მაშინ

თეორემა.ფუნქცია f(x, y)ზუსტად უწყვეტად ( X 0 , ზე 0) და ამ დროს ნულის ტოლი არ არის, ინარჩუნებს რიცხვის ნიშანს ვ(X 0 , ზე 0) წერტილის ამჟამინდელ სიახლოვეს ( X 0 , ზე 0).

მინიჭებული ფუნქციისთვის f(x) = f(x 1 , ..., x p)პუნქტამდე შეუფერხებლად X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 დ)როგორც ეს მითითებულია ამჟამინდელ გარემოში, მათ შორის იმ წერტილში X 0 და სად შორის და ზუსტად X 0 ძველი მნიშვნელობა მასში:

(2)

გონებამახვილობა შეფერხების გარეშე ვწერტილში X 0 შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური ფორმით:

(2")

ტობტო. ფუნქცია f(x)პუნქტამდე შეუფერხებლად X 0, რადგან ფუნქცია შეუფერხებელია f(x 0 +თ)ხედი თწერტილში თ = 0.

შეგიძლიათ შეიყვანოთ ზრდა ვწერტილში X 0, რაც მიუთითებს ზრდაზე თ = (თ 1 , ..., სთ პ),

Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + თ) – f(x 0 )

და ჩემი მნიშვნელობა არის უწყვეტობა ვვ X 0: ფუნქცია ვშეუფერხებლად შევიდა X 0 , იაკშო

თეორემა.ჯამი, rіznitsa, tvir და კონფიდენციალურობის უწყვეტი წერტილი X 0 ფუნქცია f(x) ta φ (x)є უწყვეტი ფუნქცია ამ ეტაპზე, როგორც, რა თქმა უნდა, ამავე დროს φ (X 0 ) ≠ 0.

პატივისცემა. მოგება Δ h f (x 0 ) ასევე უწოდებენ გაძლიერებულ ფუნქციებს ვწერტილში X 0 .

Კოსმოსში Rnწერტილი X = (x 1 , ..., x p)მკვდარი წერტილის დაყენება გ.

პაემნებისთვის X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 დ)მულტიპლიკატორის შიდა წერტილი გ, რადგან ცხადია, რომ ბირთვი ღიაა ახალ ადგილას ცენტრით, რომელიც ადგილზე დარჩება მანამ გ.

ბეზლიჩი გ Rnეწოდება ღია, რადგან მისი ყველა შიდა წერტილი.

თქვით რა ფუნქციებია

X 1 = φ 1 (ტ), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ ბ)

ჭრის შეფერხების გარეშე [ ა, ბ], აღნიშნავენ უწყვეტ მრუდს Rn, რომელიც აკავშირებს წერტილებს X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 დ)і X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 დ), დე X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (ბ), ..., X 2 n =φ p(b). ლიტერა ტმრუდის პარამეტრი ეწოდება.

6.1. მრავალი ცვლადის ფუნქციის შორის და უწყვეტობა.

რ ნ - მეტრიკული სივრცე:

ამისთვის მ 0 (x, x,…, x) რომ მ(X 1 , X 2 , …, X ნ) ( მ 0 , მ) = .

ნ= 2: ამისთვის მ 0 (x 0 , წ 0), მ (x, წ) ( მ 0 , მ) =
.

წერტილის გარეუბანში მ 0 უ  (მ 0) = – ფსონის რადიუსის შიდა წერტილები ორიენტირებული მ 0 .

6.1.1. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციებს შორის. განმეორებითი საზღვრები.

ვ: რ ნ რმითითებულია წერტილის ამჟამინდელ სიახლოვეს მ 0, კრემი, ალბათ, ყველაზე მეტი ქულა მ 0 .

ვიზნაჩენნია.ნომერი ადაურეკა საზღვარიფუნქციები

ვ(x 1 , x 2 , …, x ნ) წერტილში მ 0 , იაკშო  >0  >0  მ (0 <  (მ 0 , მ ) <   | ვ (მ ) – ა |<  ).

ფ ormi შენიშვნა:

ნ = 2:

ცე სასაზღვრო ხაზი.

ჩემს ირგვლივ არის წერტილი:

>0  >0  მ (x , წ ) (მ  უ  (მ 0 )\ მ 0  ვ (x , წ )  უ  (ა )).

(მშეგვიძლია მივუახლოვდეთ მ 0 ნებისმიერი გზით).

განმეორებითი საზღვრები:
і
.

(მახლოვდება მ 0 ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად).

თეორემა ქვებმულებსა და განმეორებით ურთიერთკავშირებს შორის კავშირების შესახებ.

რა არის სასაზღვრო ხაზი?
 საზღვრები
,
,

შემდეგ გაიმეორეთ საზღვრები
,
და იყოს დაქვემდებარებული.

პატივისცემა 1.გარდამტეხი წერტილი არასწორია.

კონდახი. ვ (x, წ) =

,

.

თუმცა, საზღვარი

=

არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში (0, 0) ფუნქცია იღებს "შორს" მნიშვნელობებს ნულიდან, მაგალითად, როგორც x = წ, ეს ვ (x, წ) = 0,5.

შენიშვნა 2.მითხარი როგორ  არ: ვ (x, წ) ა

რუსეთის ქვეშ მადრე მ 0 შეიძლება არ იყოს საჭირო ძილი რაიმე სწორი, მოხრილი საზღვრის მიღმა.

კონდახი.ვ (x, წ) =
,მ 0 (0, 0). მ (x, წ)  მ 0 (0, 0)

ცნება: საზღვარი (ქვე-ზედაპირი) არ არსებობს.

საზღვრების კონდახით მონიშვნა.

ვ (x, წ) =
, მ 0 (0, 0).

ვაჩვენოთ, რომ რიცხვი 0 არის წერტილის ფუნქციებს შორის მ 0 .

=
,

 – დადექით წერტილებს შორის მі მ 0 .(აჩქარებულია ნერვიულობით
,

როგორ აფარებს თავს დაუცველობას
)

მიანიჭეთ  > 0 და მოდით  = 2. <  

6.1.2. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა.

ვიზნაჩენნია. ვ (x, წ) ზუსტად უწყვეტია მ 0 (x 0 , წ 0), ვინაიდან იგი განკუთვნილი იყო მოქმედებისთვის უ  (მ 0) რომ
, ტ. ე.>0 >0  მ (0 < (მ 0 , მ) <   | ვ (მ) – ვ (მ 0)|< ).

პატივისცემა.ფუნქცია შეიძლება მუდმივად შეიცვალოს იმავე ხაზებით, რომლებიც გადის წერტილში მ 0 და დედის განვითარების სხვა ფორმების მიმართულებებითა და გზებით. მართალია, რაზრივნაა წერტილი მ 0 .

6.1.3. ძალა სხვადასხვა ფუნქციებს შორის. ფუნქციების ძალა, უწყვეტი წერტილი.

შეიძლება ადგილი საზღვრებს შორის ერთიანობა;

ფუნქცია, რომელიც ზუსტად ხაზავს ბოლო საზღვარს მ 0 , ამ წერტილით გარშემორტყმული; თანხმობა წესრიგი და ალგებრული ძალებისაზღვრები,

საზღვრის გადაკვეთა ინარჩუნებს ეჭვიანობის ნიშნებს და მსუბუქ შფოთვას.

ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია წერტილში მ 0 რომ ვ (მ 0 )  0 , ეს ნიშნის მნიშვნელობავ (მ ) შენახულიამოქმედებაში უ  (მ 0).

სუმა, tvr, კერძო(ნიშანი  0) ასევე ფუნქციონირებს შეფერხების გარეშე უწყვეტი ფუნქციები, უწყვეტი დასაკეცი ფუნქცია, იკეცება შეფერხების გარეშე.

6.1.4. ფუნქციების ძალა, რომლებიც უწყვეტია დაკავშირებულ, დახურულ, შემოსაზღვრულ სიმრავლეზე.ნ= 1, 2 და 3.

ღირებულება 1.ბეზლიჩ  ე.წ ბლანტიროგორ მოათავსოთ ერთდროულად ორი საკუთარი წერტილი და შექმნათ უწყვეტი მრუდი, რომელიც აკავშირებს მათ.

ღირებულება 2.ბეზლიჩი  ინ რ ნდაურეკა წინადაცვეთაროგორ მოერგოს ამ "მაგარს"
.

ნ = 1 

ნ = 2 

ნ = 3  .

გამოიყენეთ იგისიმრავლეების ბლანტი დახურული საზღვრები.

რ 1 = რ: ვიდეო [ ა, ბ];

რ 2: ვიდეო ABიყოს ერთგვარი უწყვეტი მრუდი წერტილებით ბოლოებით აі უ;

მრუდი დახურულია შეუფერხებლად;

colo
;

ღირებულება 3. ვ: რ ნ  რუწყვეტი დაკავშირებულ დახურულ სიმრავლეზე   რ ნ, იაკშო  მ 0 

.

თეორემა.ბეზლიჩიმნიშვნელობაუწყვეტი ფუნქციები

ვ: რ ნ  რდაკავშირებული ნამრავლისა და მონაკვეთის დახურულ საზღვარზე [ მ , მ ] , აქ მ - უფრო პატარა, ა მ - ყველაზე დიდიїї მნიშვნელობები გამრავლების წერტილებში.

იმგვარად დაკავშირებული სიმრავლის ნებისმიერ დახურულ საზღვარზერ ნ უწყვეტი ფუნქცია შემოიფარგლება, იღებს ყველაზე დაბალ, უმაღლეს და ყველა შუალედურ მნიშვნელობას.

ორი ცვალებადი ფუნქციებს შორის.
გაიგე და გამოიყენე იგი

გთხოვთ, მესამე გაკვეთილი ჩატარდეს თემაზე FNP, სადაც ყველა თქვენი შიში ახდება დაიწყო =) როგორც ბევრმა ეჭვობს, მათ შორის ურთიერთგაგება ფართოვდება და საკმაოდ ბევრი არგუმენტის ფუნქციას ასრულებს, რაც დღეს ჩვენ უნდა გავიგოთ. პროტე ოპტიმისტური სიახლეა. ეს მდგომარეობს იმაში, რომ აბსტრაქციის სასიმღერო სამყაროსა და ყოველდღიურ დავალებებს შორის, კიდეები იშვიათად ხვდება პრაქტიკაში. ჩვენი პატივისცემა გაიყოფა ორი მნიშვნელოვანი პერსონაჟის ფუნქციებს შორის, როგორც ხშირად წერენ: .

არსებობს უამრავი იდეა, პრინციპი და მეთოდი, რომელიც მსგავსია „პირველადი“ თეორიისა და პრაქტიკის შორის, ასევე, ნარაზიშენი ბრალია გაითვალისწინეთ საზღვრებიდა რაც მთავარია, გაიგეთ რა არის ეს ერთი და იგივე ცვლადის ფუნქციებს შორის. და რადგან ბედმა მიგიყვანა ამ მხარეს, მაშინ, როცა ყველაფერი ნახე, უკვე გესმის. და თუ ეს ასე არ არის - არაფერია საშინელი, ყველა გაწმენდა შეიძლება რეალურად შეივსოს სამკურნალოდ და სამკურნალოდ.

ამ საქმიანობის იდეები იწვის ჩვენს ტრივიალურ სამყაროში და უბრალოდ დიდი უგულებელყოფა იქნებოდა მათში ცოცხალი მონაწილეობის არ მიღება. ამიერიდან ჩვენ უკეთ გავიგებთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში. ავდგეთ და ცოტა ხანი ვიაროთ ოთახში... ... სიარულის მიზეზი ბრტყელია. მოდი აქ ყველაფერი დავდოთ... კარგი, მაგალითად, თუ ვინმეს აქვს კუთხე, რომ გზა არ აინტერესებდეს. სასწაულმოქმედი. ახლა, კეთილად, გაოცდით მთაზე და ნახეთ, რომ იქ ხალიჩა ჩამოკიდებული. ცე ზედაპირი, მითითებულია ფუნქციით. ჩვენი მოძრაობები ქვედა მხარის გასწვრივ, როგორც ადვილი გასაგებია, მოიცავს უმნიშვნელო ცვლილებების შეცვლას და ჩვენ შეგვიძლია გადაადგილება, მათ შორის ხალიჩის ქვეშ. ვ ორი მნიშვნელოვანი ფუნქციის სფეროები. კიდევ ერთხელ ის მხოლოდ იწყება. ცხვირის წვერზე ზემოთ, ხალიჩაზე, სადაც არ უნდა წახვიდეთ, პატარა ტარგანი ტრიალებს. მოდით დავარქვათ მას ფრედი. ეს მოძრაობა ცვლის შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობებს (ამ ჩავარდნის გარდა, თუ ზედაპირი ან ფრაგმენტები სიბრტყის პარალელურია, სიმაღლე არ იცვლება). ფრედისგან ვკითხულობ, ასე ნუ მოიქცევი, ეს მეცნიერებისთვისაა საჭირო.

ხელში ავიღებთ და ხალიჩას ვხვდებით საკმარის ადგილას, რომლის სიმაღლეც მნიშვნელოვანია, რის შემდეგაც ხელსაწყოს ვათავსებთ ძირის ღიობის ქვეშ - ეს იქნება წერტილი. ახლა დავიწყოთ წარმოუდგენლად ახლოსმიუახლოვდით ამ წერტილს და ჩვენ გვაქვს უფლება მივუდგეთ ნებისმიერ ტრაექტორიას (კანის წერტილი, რომელიც, როგორც ჩანს, შედის დანიშნულ ზონაში). როგორი იქნება ფრედი თავის ყველა ეპიზოდში? წარმოუდგენლად ახლოსაწიეთ სიმაღლე პუნქციამდე და იმავე სიმაღლემდე, შემდეგ ფუნქცია გადის წერტილებს შორის :

რაც შეეხება მათი გონების მინიშნებებს, ხალიჩის კიდეზე წერტილი იჭრება და აჭრელდება, მაშინ ყველას შორის ერთი რამ არის შეუცვლელი - მნიშვნელოვანია, რომ რამდენი პატარა უბანი არის ყოველწლიურად?ფანჯარამ შეკერა ნებისმიერი წერტილი მინიჭებული ფუნქციის მიდამოში. გარდა ამისა, როგორც მე მაქვს პრობლემა ერთი ცვალებადი ფუნქციებს შორის, არ აქვს მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ფუნქციით ni-ის წერტილში. ასე რომ, ჩვენი პუნქცია შეიძლება დალუქული იყოს ბუზით (რახუვატი, შო ორი ურთიერთშემცვლელის ფუნქცია უწყვეტია) სიტუაციის მიუხედავად, ცხადია, რომ საზღვრების არსი დაცულია უსასრულო სიახლოვე, და არა „ზუსტი მიდგომა“ ლაქის მიმართ.

თუმცა პირქუშ ცხოვრებას ჩრდილავს ის ფაქტი, რომ ახალგაზრდა ძმის თანდასწრებით მას ხშირად არ სძინავს. ეს დაკავშირებულია იმასთან, რომ თვითმფრინავის ამ მეორე წერტილამდე უკვე ბევრი დიდგვაროვანია და მათი ტყავია პასუხისმგებელი ფრედის პუნქციამდე მიყვანაზე. (არასავალდებულო "გაჭედილი ხარვეზთან")და მკაცრად სიმაღლეზე. და არანაკლებ ქიმერული ტალღების მქონე ქიმერულ ზედაპირებზე მსურს გზები გავუსწორო, რაც გამოიწვევს ამ სასტიკი გონების განადგურებას გარკვეულ წერტილებში.

ჩვენ ვაწყობთ უმარტივესი კონდახი- დანას ხელში ვიღებთ და ხალიჩას ისე ვჭრით, რომ გაჭრილი პუნქტი გაჭრილ ხაზზე იყოს. პატივი ეცით საზღვრებს ჯერ კიდევ მართალია, გაერთიანებულები, რომ ჩვენ დავკარგეთ ჭრილობის ხაზის ქვეშ მდებარე ლაქებში ჩასვლის უფლება, რის შედეგადაც ეს ნაკვეთი „ჩამოვარდა“ მნიშვნელოვანი ფუნქციის სფეროები. ახლა ფრთხილად აწიეთ ხალიჩის მარცხენა ნაწილი ღერძზე მაღლა, ხოლო მარჯვენა ნაწილი, მაგალითად, დაჭერით ან მყარად მოათავსეთ თავის ადგილზე. რა შეიცვალა? და პრინციპი ასე შეიცვალა: როგორც კი მივუახლოვდებით ბოროტების წერტილს, მაშინ ფრედი გამოჩნდება უფრო მაღალ სიმაღლეზე, უფრო დაბლა, თითქოს ამ წერტილს მარჯვენა ხელით მივუახლოვდით. ისე, არ არსებობს საზღვრები.

მე, რა თქმა უნდა, სასწაული საზღვრებიწადი მათ გარეშე. მოდით შევხედოთ ყველა გრძნობის საერთო დუნდულს:

კონდახი 11

ვიკორისტს შეუძლია გამოიყენოს მტკივნეულად ნაცნობი ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომელიც ორგანიზებულია სტანდარტული ცალმხრივი ტექნიკის გამოყენებით პირველი სასწაული საზღვრები :

მოდით გადავიდეთ პოლარულ კოორდინატებზე:
Რაღაც მაგდაგვარი

როგორც ჩანს, გადაწყვეტილება მიდის ბუნებრივ დასკვნამდე და არ ჩანს შეუსაბამობები, მაგრამ, თუმცა, არსებობს სერიოზული ხარვეზის დაშვების დიდი რისკი, რომლის ბუნების შესახებ უკვე ცოტა მოვიძიე დანართ 3-დან და მე-6 დანართის შემდეგ მოხსენების დაწერის შემდეგ ჯერ დასასრული, შემდეგ კომენტარი:

მოდით გავარკვიოთ, რატომ არის ცუდი უბრალოდ "არათანმიმდევრულობა" ან "პლუს შეუსაბამობა" ჩაწერა. გაოცდით ბანერით: ფრაგმენტები, შემდეგ პოლარული რადიუსი უსასრულოდ პატარადადებითად უაზრო: . გარდა ამისა,. ამგვარად, ბანერის ნიშანი და ყველა საზღვარი დევს მხოლოდ კოსინუსში:
Yakshcho Polar Kut (მე-2 და მე-3 კოორდინატთა მეოთხედი: );
Yakshcho Polar Kut (1 და მე-4 კოორდინატთა მეოთხედი: ).

გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ თუ თქვენ მიუახლოვდებით ზედაპირის კოორდინატების დასაწყისს, მაშინ ზედაპირი მითითებულია ფუნქციით. , უსასრულოდ ვრცელდება ქვემოთ:

ორი ან სამი ცვლადის ფუნქციების ზემოხსენებული ცნებები შეიძლება გამოიკვეთოს სხვადასხვა ცვლადში.

ვიზნაჩენნია.ფუნქცია მნიშვნელოვანი
სახელწოდებით ფუნქცია, დანიშნული ტერიტორია
რომელიც განპირობებულია
, და მნიშვნელობის ფართობი არის მოქმედების ღერძი.

ეს არის კანის ნაკრების ფუნქცია
თ
ტოვებს ერთს .

ქვემოთ განვიხილავთ ფუნქციების მნიშვნელობას
ცვლილებები, მაგრამ ასეთი ფუნქციებისთვის ჩამოყალიბებული ყველა განცხადება აღარ მოქმედებს დიდი რაოდენობის ცვლილებების მქონე ფუნქციებისთვის.

ვიზნაჩენნია.ნომერი ფუნქციის საზღვარს უწოდებენ

წერტილში
კანისთვის
არის ასეთი რიცხვი
რა ყველასთვის
გარეუბანიდან
, ამ წერტილების გარდა, დახატულია უტოლობა

.

ფუნქციებს შორის
წერტილში
უფრო უძველესი , მაშინ ეს მითითებულია ხედში

.

თითქმის ყველა უფლებამოსილება ფუნქციებს შორის, რომლებიც ადრე განვიხილეთ ერთი ცვლილების ფუნქციისთვის, მოკლებული იქნება სამართლიანობას და მრავალი ცვლილების ფუნქციებს შორის, ჩვენ არ შევეხებით მათ შორის პრაქტიკულ გაცვლას.

ვიზნაჩენნია.ფუნქცია
უწყვეტად ეწოდება ზუსტად
არსებობს სამი გონება, რომელიც გაერთიანებულია:

1) სძინავს

2) წერტილის ფუნქციის ძირითადი მნიშვნელობა

3) ეს ორი რიცხვი ერთმანეთის ტოლია, მაშინ. .

შესაძლებელია ფუნქციის უწყვეტობის პრაქტიკულად გადამოწმება დამატებითი თეორემის გამოყენებით.

თეორემა.ელემენტარულია თუ არა ფუნქცია
არის უწყვეტი მისი მინიჭების არეალის ყველა შიდა (ანუ არა სასაზღვრო) წერტილში.

კონდახი.ჩვენ ვიცით ყველა ის წერტილი, რომელსაც აქვს ფუნქცია

უწყვეტი

როგორც ნივთი იყო მინიჭებული, ეს ფუნქცია ენიჭება დახურულ წრეს

.

ამ ფსონის შიდა წერტილები ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებია. ფუნქცია
უწყვეტად ღია ცის ქვეშ
.

უწყვეტობის ცნების მნიშვნელობა მნიშვნელობის არეალის სასაზღვრო წერტილებში
ფუნქციები შესაძლებელია, მაგრამ კურსში კვებას არ შევისწავლით.

1.3 პირადი დამატებები და პირადი დამატებები

ერთი ცვლადის ფუნქციის ჩანაცვლებისას, რამდენიმე ცვლადის ფუნქციამ შეიძლება გამოიწვიოს სხვადასხვა სახის ზრდა. ეს არის იმის გამო, რომ გადაადგილებები თვითმფრინავთან ახლოს
წერტილიდან
შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა მიმართულებით.

ვიზნაჩენნია.პირადი დამატებითი ამისთვის ფუნქციები
წერტილში
ბოლო მატებამდე
განსხვავებას უწოდებენ

ეს არსებითად ერთი ცვლილების უფრო დიდი ფუნქციაა
ამოღებულია ფუნქციიდან
სტაბილური ღირებულებით
.

კერძო შეღავათების მსგავსი წერტილში
ფუნქციები
ბოლო მატებამდე
განსხვავებას უწოდებენ

მეტი გამოითვლება, როდესაც მნიშვნელობა ფიქსირდება
.

კონდახი.Წავედით

,
,
. ჩვენ ვიცით ფუნქციების კერძო გაზრდილი ფასი და მიერ

ამ შემთხვევაში, თანაბარი მნიშვნელობებით, არგუმენტების ზრდა
і
, კერძო ფუნქციები განსხვავებული იყო. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მართკუთხა მცენარის ფართობი არის მხარეები
і
უფრო დიდ მხარეს on
იზრდება ოდენობით
და უფრო დიდი გვერდებით on
იზრდება
(დივ. სურ. 4).

იქიდან გამომდინარე, რომ ორი ცვლადის ფუნქციას აქვს ორი სახის ზრდა, გამომდინარეობს, რომ მას შეიძლება მიეკუთვნოს ორი ტიპის ზრდა.

ვიზნაჩენნია. პირადი კამპანია ამისთვის ფუნქციები
წერტილში
კერძო ზრდის ურთიერთობებს შორის ეწოდება ეს ფუნქციები მითითებულ წერტილშია, სანამ არ გაიზრდება
არგუმენტი ტობტო.

. (1)

ასეთი ექსპედიციები მითითებულია სიმბოლოებით ,,,. ასოების რაუნდის დანარჩენ ეპიზოდებში ” ” – “ნიშნავს სიტყვას „პირადი“.

ანალოგიურად, კონფიდენციალურობის წერტილში
საზღვრებს მიღმა ჩნდება

. (2)

სხვა კერძო ფასები: ,,.

კერძო მსგავსი ფუნქციები ექვემდებარება ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციაციის შემდეგ წესებს და ყველა ცვლილებას, გარდა იმისა, რომლებისთვისაც ფუნქცია ექვემდებარება პოსტ yinimi-ს დიფერენციაციას. ასე რომ, როცა იცი ზმინა იწყებს მუშაობას და ზედმეტი მუშაობის დროს -პოსტიინა .

კონდახი.ჩვენ ვიცით პირადი საიდუმლო ფუნქციები
.

,
.

კონდახი.ჩვენ ვიცით სამი მნიშვნელოვანის პირადი ფუნქციები

.

;
;
.

პირადი მოგზაურობის ფუნქციები
დაახასიათეთ ამ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ერთდროულად, თუ ერთ-ერთი ცვლილება ფიქსირდება.

ეკონომიკის მაგალითი.

თანაარსებობის თეორიის ძირითადი ცნებებია ხარჯების ფუნქცია
. ეს ფუნქცია გამოხატავს ნაკრების ფერის რაოდენობას
, სადაც x არის X პროდუქტის რაოდენობა, y არის პროდუქტის რაოდენობა U. Todi კერძო კომპანია
აშკარად დაერქმევა სასაზღვრო მნიშვნელობები x და y. ჩანაცვლების ლიმიტი
ერთი პროდუქტი და მეორე იგივე ღირებულების მათი სასაზღვრო მნიშვნელობები:

. (8)

დავალება 1. იპოვეთ A (3.12) წერტილის კორიზიულობის ფუნქციის წლის ჩანაცვლების საზღვრის სიჩქარე.

გადაწყვეტილება:ფორმულის შემდეგ (8) ჩვენ ამოვიღებთ

ჩანაცვლების სასაზღვრო ნორმის ეკონომიური ჩანაცვლება მდგომარეობს შემოხაზულ ფორმულაში
, დე - X პროდუქტის ფასი, - პროდუქტის ფასი U.

ვიზნაჩენნია.რა ფუნქცია აქვს
თუ ისინი კერძოა, მაშინ მათ უწოდებენ კერძო დიფერენციალებს.

і

აქ
і
.

კერძო დიფერენციალები არის ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური, გამოყოფილი ორი ცვლადის ფუნქციებისაგან.
როდესაც ფიქსირდება ან კიდევ .

აპლიკაციები ეკონომიკიდან. მოდით შევხედოთ კობ-დუგლასის ფუნქციას.

მაგნიტუდა - მცენარის საშუალო პროდუქტიულობა, მათ შორის პროდუქციის დიდი რაოდენობა (ვარტისანის გამოთქმაში), წარმოქმნილი ერთი პლანტატორის მიერ.

მაგნიტუდა
- საშუალო კაპიტალის გამომუშავება არის პროდუქციის რაოდენობა, რომელიც მოდის ერთ მილზე.

მაგნიტუდა
- საშუალო კაპიტალი-შრომის კოეფიციენტი არის სახსრების რაოდენობა, რომელიც მოდის შრომითი რესურსების ერთ ერთეულზე.

ამიტომაც არის კერძო
ეწოდება პროდუქტის ზღვრული პროდუქტიულობა, ტრადიციული დამატებითი პროდუქტის მოსავლიანობის ფრაგმენტები, რომლებიც გენერირებულია სხვა დამატებითი რობოტი მუშაკის მიერ.

ანალოგიურად,
- შეზღუდული სახსრების დაბრუნება.

ეკონომიკაში ხშირად ჩადეთ საკვები: რამდენ ასეულ ადამიანს მოეთხოვება პროდუქტების წარმოება, თუ მუშათა რაოდენობა 1%-ით გაიზრდება ან თუ კაპიტალი გაიზრდება 1%-ით? ამ ტიპის კვება იძლევა იმის გაგებას, თუ რამდენად ელასტიურობაა ფუნქციის არგუმენტი, რომელიც აშკარად მსგავსია. ჩვენ ვიცით პროდუქტის გამომუშავების ელასტიურობა პრაქტიკიდან
. რიცხვამდე ჩანაცვლება უფრო პირადში გამოვითვლი , გაუქმებადი
. ოჟე, პარამეტრი აშკარაა ეკონომიკური აზრი - საკითხის ელასტიურობა კითხვის ნიშნის ქვეშ არ დგას.

მსგავსი სენსორის პარამეტრი - სახსრების გათავისუფლების ელასტიურობა.

მოდით შევხედოთ ტერიტორიას და სისტემას ოქსი მასზე დეკარტის სწორხაზოვანი კოორდინატები (შეგიძლიათ ნახოთ სხვა კოორდინატთა სისტემები).

ანალიტიკური გეომეტრიიდან ვიცით, რომ რიცხვების წყვილის თითოეული დალაგება (x, y) შეგიძლიათ ერთი წერტილის გასწორება მ სიბრტყე და ფორმა, კანის წერტილები მ ფართობი მითითებულია რიცხვების ერთი წყვილით.

სწორედ ამიტომ, აზრზე საუბრისას, ჩვენ ხშირად პატივს ვცემთ რიცხვების ამ წყვილს (x, y) და შემთხვევით.

მნიშვნელობა 1.2 რიცხვების არაპერსონალური წყვილი (x, y) , რომელიც აკმაყოფილებს უთანასწორობას, ეწოდება სწორი საჭრელი (vkritim).

ვენების სიბრტყეზე ის გამოჩნდება სწორი ნაწლავის სახით (ნახ. 1.2), გვერდებით კოორდინატთა ღერძების პარალელურად და ცენტრით წერტილში. მ 0 (x 0 წ 0 ) .

სწორი საჭრელი ჩვეულებრივ გამოიყენება როგორც შეურაცხმყოფელი სიმბოლო:

მოდით გავაცნოთ შორეული ვიკლადის უფრო მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა: წერტილის გარეუბნები.

მნიშვნელობა 1.3 პირდაპირი δ - გარეუბანში ( დელტას გარეუბანში ) ქულები მ 0 (x 0 წ 0 ) მოუწოდა თავდაყირა

ცენტრით წერტილში მ 0 და თანაბარი მხარეებით 2δ .

Vicenza 1.4 წრიული δ - წერტილის გარშემო მ 0 (x 0 წ 0 ) კოლოს რადიუსი ეწოდება δ ცენტრით წერტილში მ 0 , მაშინ აზრი არ აქვს M(xy) რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს უთანასწორობას:

შესაძლებელია მრავალი სხვა ტიპის სქემების გაგება, მაგრამ ტექნიკური მოთხოვნების მათემატიკური ანალიზის საშუალებით მნიშვნელოვანია სწორი და წრიული სქემების ერთმანეთისგან გარჩევა.

მოდით გავაცნოთ შემდეგი ცნებები ამ ორის ფუნქციებს შორის.

გაუშვით ფუნქცია z = f(x, y) დანიშნულია დეიაკი გალუსში ζ і მ 0 (x 0 წ 0 ) - წერტილი, რომელიც მდებარეობს ამ ტერიტორიის შუა ან საზღვარზე.

ღირებულება 1.5 Kintseve ნომერი ა დაურეკა f(x, y) ფუნქციის საზღვარი ზე

yakscho ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის ε შესაძლებელია თუ არა ამ დადებითი რიცხვის ცოდნა? δ რა არის ნერვიულობა

კონფიგურირებულია ყველა წერტილისთვის M(x,y) რეგიონიდან ζ , მნიშვნელოვანი ხედები მ 0 (x 0 წ 0 ) , რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას:

მნიშვნელობის გრძნობა ფუნქციის მნიშვნელობაშია f (x, y) როგორ იცვლება A რიცხვები წერტილებში ყოველწლიურად მცირე ზომის წერტილის გარშემო მ 0 .

აქ დიზაინის საფუძველს აყალიბებს სწორი ჭრილი გარემო მ 0 . შესაძლებელი იქნებოდა წერტილის წრიული შემოგარენის დანახვა მ 0 შემდეგ კი საჭირო იქნებოდა კონფლიქტური უთანასწორობის დაძლევა

ყველა წერტილში M(x,y) რეგიონები ζ , მნიშვნელოვანი ხედები მ 0 და დააკმაყოფილე გონება:

დადექით წერტილებს შორის მ і მ 0 .

გამოიყენება შემდეგი საზღვრები:

ორ ურთიერთშემცვლელ ფუნქციებს შორის ცვლის ფუნქციების მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია გადავიტანოთ ძირითადი თეორემები ცვალებადობის შესახებ ერთი ურთიერთშემცვლელი ფუნქციისთვის და ორი ურთიერთშემცვლელი ფუნქციისთვის.

მაგალითად, თეორემები საზღვრების შესახებ მოიცავს ორი ფუნქციის ნაწილს.

§3 ორი ცვლილების ფუნქციის შეუწყვეტლობა

გაუშვით ფუნქცია z = f (x, y) მითითებულია წერტილში მ 0 (x 0 წ 0 ) იგივე გარემო.

მნიშვნელობა 1.6 ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი წერტილში მ 0 (x 0 წ 0 ) , იაკშო

რა ფუნქცია აქვს f(x,y) პუნქტამდე შეუფერხებლად მ 0 (x 0 წ 0 ) , ეს

ოსკოლკი

რა ფუნქცია აქვს f(x,y) პუნქტამდე შეუფერხებლად მ 0 (x 0 წ 0 ) , მაშინ ეს გალუზია არგუმენტების უსასრულოდ მცირე ზრდას გვთავაზობს Δz ფუნქციები ზ .

სამართლიანი და შებრუნებული მტკიცებები: თუ არგუმენტების უსასრულოდ მცირე ზრდა მიუთითებს ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდაზე, მაშინ ფუნქცია უწყვეტია

ფუნქციას, რომელიც უწყვეტია კანის მიდამოში, უწყვეტი ეწოდება. ორი ცვალებადი ფუნქციის უწყვეტი ფუნქციისთვის, ისევე როგორც ერთი ცვალებადი ფუნქციისთვის, ჭრის შეწყვეტის გარეშე, მოქმედებს ვაიერშტრასის და ბოლცანო-კოშის ძირითადი თეორემები.

მტკიცებულება: კარლ თეოდორ ვილჰელმ ვაიერშტრასი (1815 - 1897) - გერმანელი მათემატიკოსი. ბერნარ ბოლცანო (1781 - 1848) - ჩეხი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი. ავგუსტინ ლუი კოში (1789 - 1857) - ფრანგი მათემატიკოსი, საფრანგეთის მეცნიერებათა აკადემიის პრეზიდენტი (1844 - 1857 წწ).

კონდახი 1.4. შეამოწმეთ ფუნქციის უწყვეტობა

ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა ცვლადის მნიშვნელობებისთვის x і წ , კოორდინატების დასაწყისში, სადაც ნიშანი იცვლება ნულზე.

მდიდარი წევრი x 2 +y 2 აქ არის წყვეტის გარეშე და, შესაბამისად, არის კვადრატული ფესვი უწყვეტი ფუნქციით.

ნაკადი ყველგან უწყვეტი იქნება, გარდა იმ წერტილისა, სადაც ნიშანი ნულის ტოლია. ეს ფუნქცია, როგორც ჩანს, უწყვეტია მთელ კოორდინატულ სიბრტყეში ოჰოო , მათ შორის კოორდინატთა კობი.

კონდახი 1.5. შეამოწმეთ ფუნქციის უწყვეტობა z = tan (x, y) . i მნიშვნელობების ტანგენტი უწყვეტია არგუმენტის ყველა ტერმინალური მნიშვნელობისთვის, მნიშვნელობის დაუწყვილებელი რაოდენობის ტოლი მნიშვნელობების ჩათვლით. π/2 , მაშინ. ქულების ჩათვლით, დე

კანისთვის დაფიქსირებული "კ" ტოლი (1.11) ნიშნავს ჰიპერბოლას. ამიტომ, ფუნქცია, რომელიც ჩანს, არის უწყვეტი ფუნქცია x და y წერტილების ჩათვლით, რომლებიც დევს მოსახვევებზე (1.11).