एक नई अज्ञात शुरुआत करके घातीय असमानताओं का समाधान। घातीय असमानताओं को हल करना: बुनियादी तरीके। विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "घातीय समीकरण और घातीय असमानताएं"

इस पाठ में, हम विभिन्न घातीय असमानताओं को देखेंगे और सरलतम घातीय असमानताओं को हल करने के तरीके के आधार पर उन्हें हल करना सीखेंगे।

1. घातीय कार्य की परिभाषा और गुण

आइए हम घातीय फ़ंक्शन की परिभाषा और मूल गुणों को याद करते हैं। यह उन गुणों पर है जो सभी घातीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान आधारित हैं।

घातांक प्रकार्य फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां डिग्री का आधार और यहां x एक स्वतंत्र चर, एक तर्क है; y - आश्रित चर, कार्य।

चित्र: 1. घातीय फ़ंक्शन ग्राफ

यह ग्राफ बढ़ते हुए और घटते हुए घातांक को दर्शाता है, घातांक फ़ंक्शन को दिखाता है जब आधार एक से अधिक और एक से कम होता है, लेकिन क्रमशः शून्य से अधिक होता है।

दोनों वक्र बिंदु से गुजरते हैं (0; 1)

घातीय फ़ंक्शन गुण:

डोमेन: ;

मूल्यों की श्रृंखला:;

फ़ंक्शन एकरस है, जैसे-जैसे यह घटता जाता है, वैसे-वैसे यह बढ़ता जाता है।

एक एकल फ़ंक्शन मान एकल तर्क मान के लिए अपने प्रत्येक मान लेता है।

जब, जब तर्क शून्य से प्लस अनंत तक बढ़ जाता है, तो फ़ंक्शन शून्य से बढ़ता है, समावेशी रूप से, प्लस इन्फिनिटी तक, अर्थात, तर्क के दिए गए मूल्यों के लिए, हमारे पास एक मोनोटोनिकली फ़ंक्शन () है। इसके विपरीत, जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाता है, तो फ़ंक्शन इन्फिनिटी से घटकर शून्य हो जाता है, समावेशी नहीं, यानी, तर्क के दिए गए मूल्यों के लिए, हमारे पास एक नीरस रूप से कम होने वाला फ़ंक्शन () है।

2. सरलतम घातीय असमानताएं, समाधान तकनीक, उदाहरण

उपरोक्त के आधार पर, हम सरल घातीय असमानताओं को हल करने के लिए एक तकनीक प्रस्तुत करते हैं:

असमानताओं को हल करने की पद्धति:

डिग्री के आधार के बराबर;

असमानता के विपरीत संकेत को रखने या बदलने के संकेतक की तुलना करें।

जटिल घातीय असमानताओं का समाधान, एक नियम के रूप में, सरलतम घातीय असमानताओं को कम करने में होता है।

डिग्री का आधार एक से अधिक है, जिसका अर्थ है कि असमानता संकेत बनी हुई है:

हम डिग्री के गुणों के अनुसार सही पक्ष को बदलते हैं:

डिग्री का आधार एक से कम है, असमानता का संकेत उलटा होना चाहिए:

द्विघात असमानता को हल करने के लिए, हम इसी द्विघात समीकरण को हल करेंगे:

Vieta के प्रमेय के आधार पर, हम जड़ें ढूंढते हैं:

परबोला की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

इस प्रकार, हमारे पास असमानता का समाधान है:

यह अनुमान लगाना आसान है कि दाहिने हाथ की ओर शून्य घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

डिग्री का आधार एक से अधिक है, असमानता का संकेत नहीं बदलता है, हमें यह मिलता है:

आइए ऐसी विषमताओं को हल करने की तकनीक को याद करें।

एक भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्य पर विचार करें:

परिभाषा का डोमेन खोजें:

फ़ंक्शन की जड़ें खोजें:

फ़ंक्शन का एक रूट है,

हम निरंतरता के अंतराल का चयन करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करते हैं:

चित्र: 2. कब्ज के अंतराल

तो हमें जवाब मिला।

उत्तर:

3. ठेठ घातीय असमानताओं का समाधान

एक ही संकेतक के साथ असमानता पर विचार करें, लेकिन विभिन्न आधार।

एक घातीय फ़ंक्शन के गुणों में से एक यह है कि यह तर्क के किसी भी मूल्य के लिए कड़ाई से सकारात्मक मान लेता है, जिसका अर्थ है कि इसे एक घातीय फ़ंक्शन में विभाजित किया जा सकता है। आइए दी गई असमानता को उसके दाहिने हाथ से विभाजित करें:

डिग्री का आधार एक से अधिक है, असमानता संकेत बनी हुई है।

आइए समाधान का वर्णन करें:

चित्र 6.3 कार्यों के रेखांकन और दिखाता है। जाहिर है, जब तर्क शून्य से अधिक है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ अधिक है, यह फ़ंक्शन बड़ा है। जब तर्क मान नकारात्मक होते हैं, तो फ़ंक्शन कम होता है, यह छोटा होता है। जब तर्क का मूल्य, फ़ंक्शन समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु दी गई असमानता का समाधान भी है।

चित्र: 3. उदाहरण 4 के लिए चित्रण

हम डिग्री के गुणों के अनुसार दी गई असमानता को बदलते हैं:

यहाँ समान शर्तें हैं:

चलो दोनों भागों में विभाजित करते हैं:

अब हम उदाहरण 4 के लिए इसी तरह हल करना जारी रखते हैं, दोनों भागों को विभाजित करते हैं:

डिग्री का आधार एक से अधिक है, असमानता संकेत बनी हुई है:

4. घातीय असमानताओं का आलेखीय समाधान

उदाहरण 6 - असमानता का समाधान रेखांकन:

चलो बाईं और दाईं ओर के कार्यों पर विचार करते हैं और उनमें से प्रत्येक का एक ग्राफ तैयार करते हैं।

फ़ंक्शन एक घातीय है, इसकी परिभाषा के पूरे डोमेन पर बढ़ता है, अर्थात, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

फ़ंक्शन रैखिक है, परिभाषा के अपने पूरे डोमेन पर घट जाती है, अर्थात, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

यदि ये फ़ंक्शन एक-दूसरे को काटते हैं, अर्थात सिस्टम का एक समाधान है, तो ऐसा समाधान एकमात्र है और इसका आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम पूर्णांक पर पुनरावृति करते हैं ()

यह देखना आसान है कि इस प्रणाली की जड़ है:

इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ एक बिंदु पर एक के बराबर एक बिंदु के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

अब हमें एक उत्तर प्राप्त करने की आवश्यकता है। दी गई असमानता का अर्थ यह है कि घातांक रैखिक कार्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए, अर्थात इसके साथ उच्च या संयोग हो। स्पष्ट उत्तर है: (चित्र 6.4)

चित्र: 4. उदाहरण 6 के लिए चित्रण

इसलिए, हमने विभिन्न विशिष्ट घातीय असमानताओं के समाधान पर विचार किया है। अगला, हम अधिक जटिल घातीय असमानताओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

संदर्भ की सूची

मोर्डकोविच ए.जी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत। - एम ।: मेनेमोसिन। मुराविन जी। के।, मुरवीना ओ। वी। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत। - एम ।: बस्टर्ड। कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनिट्स यू। पी। एट अल। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत। - एम।: शिक्षा।

गणित। md। गणित-पुनरावृत्ति। कॉम। Diffur। kemsu। आरयू।

घर का पाठ

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10-11 (ए। एन। कोलमोगोरोव, ए। एम। अब्रामोव, यू। पी। डुडनित्सिन) 1990, नंबर 472, 473;

2. असमानता का समाधान करें:

3. असमानता का समाधान।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "घातीय समीकरण और घातीय असमानताएं"

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घातीय समीकरणों का निर्धारण

दोस्तों, हमने घातीय कार्यों का अध्ययन किया, उनके गुणों और निर्मित रेखांकन का अध्ययन किया, समीकरणों के उदाहरणों का विश्लेषण किया जिसमें घातीय कार्यों का सामना किया गया था। आज हम घातीय समीकरणों और असमानताओं का अध्ययन करेंगे।

परिभाषा। फॉर्म के समीकरण: $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, जहां $ a\u003e 0 $, $ ≠ 1 $ को घातीय समीकरण कहा जाता है।

"एक्सपोनेंशियल फंक्शन" विषय पर अध्ययन करने वाले प्रमेयों को याद करते हुए, हम एक नया प्रमेय पेश कर सकते हैं:
प्रमेय। घातीय समीकरण $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, जहां $ a\u003e 0 $, $ ≠ 1 $, समीकरण $ f (x) \u003d g (x) $ के बराबर है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण

उदाहरण।
समीकरण हल करें:
a) $ 3 ^ (3x-3) \u003d 27 $।
b) $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) \u003d \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) $।
c) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) \u003d 5 ^ (- 3x + 18) $।
फेसला।
a) हम अच्छी तरह जानते हैं कि $ 27 \u003d 3 ^ 3 $ है।
आइए हमारे समीकरण को फिर से लिखें: $ 3 ^ (3x-3) \u003d 3 ^ 3 $।
उपर्युक्त प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि हमारा समीकरण $ 3x-3 \u003d 3 $ के समीकरण तक कम हो गया है, इस समीकरण को हल करते हुए, हमें $ x \u003d 2 $ मिलता है।
उत्तर: $ x \u003d 2 $।

B) $ \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) \u003d (((frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5)) $।
तब हमारे समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है: $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) \u003d (((frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5) ) \u003d (((frac (2) (3))) ^ (0,2) $।
$ 2x + 0.2 \u003d $ 0.2।
$ x \u003d 0 $।
उत्तर: $ x \u003d 0 $।

सी) मूल समीकरण समीकरण के बराबर है: $ x ^ 2-6x \u003d -3x + 18 $।
$ x ^ 2-3x-18 \u003d 0 $।
$ (x-6) (x + 3) \u003d 0 $।
$ x_1 \u003d 6 $ और $ x_2 \u003d -3 $।
उत्तर: $ x_1 \u003d 6 $ और $ x_2 \u003d -3 $।

उदाहरण।
समीकरण को हल करें: $ \\ frac ((0.25)) ^ (x-0.5)) (\\ sqrt (4)) \u003d 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) $।
फेसला:
हम क्रमिक रूप से क्रियाओं की एक श्रृंखला करेंगे और अपने समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही आधार पर लाएंगे।
चलो बाईं ओर संचालन की एक श्रृंखला करते हैं:
1) $ ((0.25)) ^ (x-0.5) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0.5) $।
2) $ \\ sqrt (4) \u003d 4 ^ (\\ frac (1) (2)) $।
3) $ \\ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\\ sqrt (4)) \u003d \\ frac (((frac (1) (4))) ^ (x-0) , 5)) (4 ^ (\\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (x-0.5 + 0.5)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ x) \u003d (((frac (1) (4))) ^ x $
चलो दाईं ओर चलते हैं:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0.0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $।
6) $ 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) \u003d 4 ^ (2-2x-2) \u003d 4 ^ (2x ) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x)) \u003d (((frac (1) (4))) ^ (2x) $।
मूल समीकरण समीकरण के बराबर है:
$ ((\\ frac (1) (4))) ^ x \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $।
$ x \u003d 2x $।
$ x \u003d 0 $।
उत्तर: $ x \u003d 0 $।

उदाहरण।
समीकरण को हल करें: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 \u003d 0 $।
फेसला:
आइए हमारे समीकरण को फिर से लिखें: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $।
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $।
चलो चर का परिवर्तन करते हैं, $ a \u003d 3 ^ x $ होने देते हैं।
नए चर में, समीकरण रूप लेगा: $ a ^ 2 + 9a-36 \u003d 0 $।
$ (a + 12) (a-३) \u003d ० $।
$ a \u003d \u003d -12 $ और $ a_2 \u003d 3 $।
चलो चर का उलटा परिवर्तन करते हैं: $ 3 ^ x \u003d -12 $ और $ 3 ^ x \u003d 3 $।
पिछले पाठ में, हमने सीखा कि घातीय भाव केवल सकारात्मक मान ले सकते हैं, ग्राफ याद रख सकते हैं। इसलिए, पहले समीकरण का कोई हल नहीं है, दूसरे समीकरण का एक समाधान है: $ x \u003d 1 $।
उत्तर: $ x \u003d 1 $।

चलो एक साथ एक समीकरण को हल करने के लिए चेकलिस्ट डालते हैं:
1. ग्राफिक विधि। हम कार्यों के रूप में समीकरण के दोनों किनारों का प्रतिनिधित्व करते हैं और उनके रेखांकन का निर्माण करते हैं, रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को पाते हैं। (हमने पिछले पाठ में इस पद्धति का उपयोग किया था)।
2. संकेतकों की समानता का सिद्धांत। सिद्धांत इस तथ्य पर आधारित है कि एक ही आधार वाले दो भाव समान हैं और केवल यदि इन आधारों की डिग्री (संकेतक) समान हैं। $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ $ f (x) \u003d g (x) $।
3. परिवर्तनशील प्रतिस्थापन विधि। इस पद्धति का उपयोग किया जाना चाहिए यदि चर बदलते समय समीकरण, इसके रूप को सरल करता है और हल करने में बहुत आसान है।

उदाहरण।
समीकरणों की प्रणाली को हल करें: $ \\ start (मामले) (27) ^ y * 3 ^ x \u003d 1, \\\\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12। \\ end (मामले) $।
फेसला।
सिस्टम के दोनों समीकरणों पर अलग से विचार करें:
$ 27 ^ y * 3 ^ x \u003d 1 $।
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x \u003d 3 ^ 0 $।
$ 3 ^ (3y + x) \u003d 3 ^ 0 $।
$ x + 3y \u003d 0 $।
दूसरे समीकरण पर विचार करें:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12 $।
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) \u003d 12 $।
चलो चर विधि के परिवर्तन का उपयोग करते हैं, $ y \u003d 2 ^ (x + y) $ करते हैं।
तब समीकरण रूप लेगा:
$ y ^ 2-y-12 \u003d 0 $।
$ (y-4) (y + 3) \u003d ० $।
$ y_1 \u003d 4 $ और $ y_2 \u003d -3 $।
शुरुआती चर पर आगे बढ़ते हुए, पहले समीकरण से हमें $ x + y \u003d 2 $ मिलता है। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है। तब हमारे समीकरणों की प्रारंभिक प्रणाली प्रणाली के बराबर है: $ \\ start (मामले) x + 3y \u003d 0, \\\\ x + 3 \u003d 2। \\ end (मामले) $।
दूसरे को पहले समीकरण से घटाते हुए, हमें मिलता है: $ \\ start (केस) 2y \u003d -2, \\\\ x + y \u003d 2। \\ end (मामले) $।
$ \\ start (मामले) y \u003d -1, \\\\ x \u003d 3। \\ end (मामले) $।
उत्तर: $ (3; -1) $।

घातीय असमानताएँ

असमानताओं पर आगे बढ़ते हैं। असमानताओं को हल करते समय, डिग्री के आधार पर ध्यान देना आवश्यक है। असमानताओं को हल करने के लिए दो संभावित परिदृश्य हैं।

प्रमेय। यदि $ a\u003e 1 $, तो घातीय असमानता $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (g (x)) $ असमानता $ f (x)\u003e g (x) $ के बराबर है।
यदि $ 0 ए ^ (जी (एक्स)) $ असमानता के बराबर है $ f (x)

उदाहरण।
असमानताओं को हल करें:
a) $ 3 ^ (2x + 3)\u003e 81 $।
b) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0.3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0.3) ^ (4x + 15) $ ...
फेसला।
a) $ 3 ^ (2x + 3)\u003e 81 $।
$ 3 ^ (2x + 3)\u003e 3 ^ 4 $।
हमारी असमानता विषमता के बराबर है:
$ 2x + 3\u003e 4 $।
$ 2x\u003e 1 $।
$ x\u003e 0.5 $।

बी) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) हमारे समीकरण में, 1 से कम डिग्री पर आधार, तब जब एक समतुल्यता के साथ एक असमानता की जगह लेते हैं, तो संकेत को बदलना होगा।
$ 2x-4\u003e 2 $।
$ x\u003e 3 $।

ग) हमारी असमानता असमानता के बराबर है:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $।
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $।
$ (x-3) (x + 5) .0 $।
चलो अंतराल समाधान विधि का उपयोग करें:
उत्तर: $ (- -5; -5] यू)