Lösung exponentieller Ungleichungen durch Einführung eines neuen Unbekannten. Exponentiale Ungleichungen lösen: Grundmethoden. Lektion und Präsentation zum Thema: "Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen"

In dieser Lektion werden wir verschiedene exponentielle Ungleichungen betrachten und lernen, wie man sie basierend auf der Methode zur Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen löst

1. Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion

Erinnern wir uns an die Definition und die grundlegenden Eigenschaften der Exponentialfunktion. Auf den Eigenschaften basiert die Lösung aller Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form, wobei die Basis des Grades und hier x eine unabhängige Variable ist, ein Argument; y - abhängige Variable, Funktion.

Zahl: 1. Exponentialfunktionsdiagramm

Das Diagramm zeigt zunehmende und abnehmende Exponenten und veranschaulicht die Exponentialfunktion, wenn die Basis größer als eins und kleiner als eins, aber größer als null ist.

Beide Kurven verlaufen durch den Punkt (0; 1)

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

Domain :;

Wertebereich:;

Die Funktion ist monoton, wenn sie zunimmt, wenn sie abnimmt.

Eine monotone Funktion nimmt jeden ihrer Werte für einen einzelnen Argumentwert.

Wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, steigt die Funktion von , nicht einschließlich, auf plus unendlich, dh für gegebene Werte des Arguments haben wir eine monoton ansteigende Funktion (). Wenn im Gegensatz dazu das Argument von minus auf plus unendlich zunimmt, nimmt die Funktion von unendlich auf null ab, nicht einschließlich, d. H. Für die gegebenen Werte des Arguments haben wir eine monoton abnehmende Funktion ().

2. Die einfachsten exponentiellen Ungleichungen, Lösungstechnik, Beispiel

Basierend auf dem oben Gesagten präsentieren wir eine Technik zur Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen:

Methode zur Lösung von Ungleichungen:

Gleichen Sie die Grundlagen der Grade aus;

Vergleichen Sie Indikatoren, indem Sie das entgegengesetzte Zeichen der Ungleichheit beibehalten oder ändern.

Die Lösung komplexer exponentieller Ungleichungen besteht in der Regel in ihrer Reduktion auf die einfachsten exponentiellen Ungleichungen.

Die Basis des Grades ist größer als eins, was bedeutet, dass das Ungleichheitszeichen erhalten bleibt:

Wir transformieren die rechte Seite entsprechend den Eigenschaften des Abschlusses:

Die Basis des Grades ist kleiner als eins, das Ungleichheitszeichen muss umgekehrt werden:

Um die quadratische Ungleichung zu lösen, lösen wir die entsprechende quadratische Gleichung:

Nach Vietas Theorem finden wir die Wurzeln:

Die Zweige der Parabel sind nach oben gerichtet.

Damit haben wir eine Lösung für die Ungleichung:

Es ist leicht zu erraten, dass die rechte Seite als Potenz mit einem Exponenten von Null dargestellt werden kann:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht, wir erhalten:

Erinnern wir uns an die Technik zur Lösung solcher Ungleichungen.

Betrachten Sie eine gebrochene rationale Funktion:

Finden Sie die Domäne der Definition:

Finden Sie die Wurzeln der Funktion:

Die Funktion hat eine einzige Wurzel,

Wir wählen die Konstanzintervalle aus und bestimmen die Vorzeichen der Funktion für jedes Intervall:

Zahl: 2. Konstanzintervalle

Also haben wir die Antwort bekommen.

Antworten:

3. Lösung typischer exponentieller Ungleichungen

Betrachten Sie Ungleichungen mit denselben Indikatoren, aber unterschiedlichen Grundlagen.

Eine der Eigenschaften einer Exponentialfunktion besteht darin, dass sie für alle Werte des Arguments streng positive Werte annimmt, was bedeutet, dass sie in eine Exponentialfunktion unterteilt werden kann. Teilen wir die gegebene Ungleichung durch ihre rechte Seite:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen bleibt bestehen.

Lassen Sie uns die Lösung veranschaulichen:

Abbildung 6.3 zeigt Diagramme der Funktionen und. Wenn das Argument größer als Null ist, ist der Graph der Funktion offensichtlich höher, diese Funktion ist größer. Wenn die Argumentwerte negativ sind, wird die Funktion niedriger und kleiner. Wenn der Wert des Arguments ist, sind die Funktionen gleich, was bedeutet, dass dieser Punkt auch eine Lösung für die gegebene Ungleichung ist.

Zahl: 3. Abbildung zum Beispiel 4

Wir transformieren die gegebene Ungleichung gemäß den Eigenschaften des Grades:

Hier sind ähnliche Begriffe:

Teilen wir beide Teile in:

Nun lösen wir ähnlich wie in Beispiel 4 weiter und teilen beide Teile in:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen bleibt:

4. Grafische Lösung exponentieller Ungleichungen

Beispiel 6 - Ungleichung grafisch lösen:

Betrachten wir die Funktionen auf der linken und rechten Seite und zeichnen Sie jeweils ein Diagramm.

Die Funktion ist exponentiell und nimmt über ihren gesamten Definitionsbereich zu, dh für alle realen Werte des Arguments.

Die Funktion ist linear und nimmt über ihren gesamten Definitionsbereich ab, dh für alle realen Werte des Arguments.

Wenn sich diese Funktionen überschneiden, dh das System eine Lösung hat, ist eine solche Lösung die einzige und kann leicht erraten werden. Dazu iterieren wir über ganze Zahlen ()

Es ist leicht zu erkennen, dass die Wurzel dieses Systems ist:

Somit schneiden sich die Graphen der Funktionen an einem Punkt mit einem Argument gleich eins.

Jetzt müssen wir eine Antwort bekommen. Die Bedeutung der gegebenen Ungleichung ist, dass der Exponent größer oder gleich der linearen Funktion sein muss, dh höher sein oder mit dieser übereinstimmen muss. Die offensichtliche Antwort lautet: (Abbildung 6.4)

Zahl: 4. Abbildung zum Beispiel 6

Wir haben also die Lösung verschiedener typischer exponentieller Ungleichungen in Betracht gezogen. Als nächstes betrachten wir komplexere exponentielle Ungleichungen.

Referenzliste

Mordkovich A. G. Algebra und Prinzipien der mathematischen Analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra und Prinzipien der mathematischen Analyse. - M.: Trappe. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra und Prinzipien der mathematischen Analyse. - M.: Bildung.

Mathematik. md. Mathematik-Wiederholung. com. Diffur. kemsu. ru.

Hausaufgaben

1. Algebra und Beginn der Analyse, Klasse 10-11 (A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, Nr. 472, 473;

2. Lösen Sie die Ungleichung:

3. Lösen Sie die Ungleichung.

Lektion und Präsentation zum Thema: "Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen"

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Bestimmung von Exponentialgleichungen

Leute, wir haben Exponentialfunktionen untersucht, ihre Eigenschaften gelernt und Graphen erstellt, Beispiele für Gleichungen analysiert, in denen Exponentialfunktionen angetroffen wurden. Heute werden wir Exponentialgleichungen und Ungleichungen untersuchen.

Definition. Gleichungen der Form: $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, wobei $ a\u003e 0 $, $ a ≠ 1 $ Exponentialgleichungen genannt werden.

Wenn wir uns an die Sätze erinnern, die wir im Thema "Exponentialfunktion" studiert haben, können wir einen neuen Satz einführen:
Satz. Die Exponentialgleichung $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, wobei $ a\u003e 0 $, $ a ≠ 1 $, der Gleichung $ f (x) \u003d g (x) $ entspricht.

Beispiele für Exponentialgleichungen

Beispiel.
Löse Gleichungen:
a) $ 3 ^ (3x-3) \u003d 27 $.
b) $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) \u003d \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) $.
c) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) \u003d 5 ^ (- 3x + 18) $.
Entscheidung.
a) Wir wissen gut, dass $ 27 \u003d 3 ^ 3 $.
Schreiben wir unsere Gleichung neu: $ 3 ^ (3x-3) \u003d 3 ^ 3 $.
Unter Verwendung des obigen Theorems stellen wir fest, dass unsere Gleichung auf die Gleichung $ 3x-3 \u003d 3 $ reduziert ist. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir $ x \u003d 2 $.
Antwort: $ x \u003d 2 $.

B) $ \\ sqrt (\\ frac (2) (3)) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5)) $.
Dann kann unsere Gleichung umgeschrieben werden: $ ((\\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (\\ frac (1) (5) ) \u003d ((\\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 \u003d $ 0,2.
$ x \u003d 0 $.
Antwort: $ x \u003d 0 $.

C) Die ursprüngliche Gleichung entspricht der Gleichung: $ x ^ 2-6x \u003d -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 \u003d 0 $.
$ (x-6) (x + 3) \u003d 0 $.
$ x_1 \u003d 6 $ und $ x_2 \u003d -3 $.
Antwort: $ x_1 \u003d 6 $ und $ x_2 \u003d -3 $.

Beispiel.
Lösen Sie die Gleichung: $ \\ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\\ sqrt (4)) \u003d 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Entscheidung:
Wir werden nacheinander eine Reihe von Aktionen ausführen und beide Seiten unserer Gleichung auf die gleichen Grundlagen bringen.
Lassen Sie uns auf der linken Seite eine Reihe von Operationen ausführen:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \\ sqrt (4) \u003d 4 ^ (\\ frac (1) (2)) $.
3) $ \\ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\\ sqrt (4)) \u003d \\ frac (((\\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ x) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ x $.
Gehen wir weiter zur rechten Seite:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) $ 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) \u003d \\ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) \u003d 4 ^ (2-2x-2) \u003d 4 ^ (- 2x ) \u003d \\ frac (1) (4 ^ (2x)) \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Die ursprüngliche Gleichung entspricht der Gleichung:
$ ((\\ frac (1) (4))) ^ x \u003d ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x \u003d 2x $.
$ x \u003d 0 $.
Antwort: $ x \u003d 0 $.

Beispiel.
Löse die Gleichung: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 \u003d 0 $.
Entscheidung:
Schreiben wir unsere Gleichung neu: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 \u003d 0 $.
Lassen Sie uns die Änderung der Variablen durchführen, lassen Sie $ a \u003d 3 ^ x $.
In neuen Variablen hat die Gleichung die Form: $ a ^ 2 + 9a-36 \u003d 0 $.
$ (a + 12) (a-3) \u003d 0 $.
$ a_1 \u003d -12 $ und $ a_2 \u003d 3 $.
Führen wir die umgekehrte Änderung der Variablen durch: $ 3 ^ x \u003d -12 $ und $ 3 ^ x \u003d 3 $.
In der letzten Lektion haben wir gelernt, dass Exponentialausdrücke nur positive Werte annehmen können. Denken Sie an die Grafik. Daher hat die erste Gleichung keine Lösungen, die zweite Gleichung hat eine Lösung: $ x \u003d 1 $.
Antwort: $ x \u003d 1 $.

Stellen wir eine Checkliste zur Lösung von Exponentialgleichungen zusammen:
1. Grafische Methode. Wir stellen beide Seiten der Gleichung in Form von Funktionen dar und bauen ihre Graphen auf, finden die Schnittpunkte der Graphen. (Wir haben diese Methode in der letzten Lektion verwendet).
2. Der Grundsatz der Gleichheit der Indikatoren. Das Prinzip basiert auf der Tatsache, dass zwei Ausdrücke mit denselben Basen genau dann gleich sind, wenn die Grade (Indikatoren) dieser Basen gleich sind. $ a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ $ f (x) \u003d g (x) $.
3. Variable Ersetzungsmethode. Diese Methode sollte verwendet werden, wenn die Gleichung beim Ändern von Variablen ihre Form vereinfacht und viel einfacher zu lösen ist.

Beispiel.
Löse das Gleichungssystem: $ \\ begin (Fälle) (27) ^ y * 3 ^ x \u003d 1, \\\\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12. \\ end (Fälle) $.
Entscheidung.
Betrachten Sie beide Gleichungen des Systems getrennt:
$ 27 ^ y * 3 ^ x \u003d 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x \u003d 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) \u003d 3 ^ 0 $.
$ x + 3y \u003d 0 $.
Betrachten Sie die zweite Gleichung:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) \u003d 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) \u003d 12 $.
Verwenden wir die Methode zur Änderung von Variablen, lassen Sie $ y \u003d 2 ^ (x + y) $.
Dann hat die Gleichung die Form:
$ y ^ 2-y-12 \u003d 0 $.
$ (y-4) (y + 3) \u003d 0 $.
$ y_1 \u003d 4 $ und $ y_2 \u003d -3 $.
Wenn wir zu den Anfangsvariablen übergehen, erhalten wir aus der ersten Gleichung $ x + y \u003d 2 $. Die zweite Gleichung hat keine Lösungen. Dann entspricht unser anfängliches Gleichungssystem dem System: $ \\ begin (Fälle) x + 3y \u003d 0, \\\\ x + y \u003d 2. \\ end (Fälle) $.
Wenn wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren, erhalten wir: $ \\ begin (Fälle) 2y \u003d -2, \\\\ x + y \u003d 2. \\ end (Fälle) $.
$ \\ begin (Fälle) y \u003d -1, \\\\ x \u003d 3. \\ end (Fälle) $.
Antwort: $ (3; -1) $.

Exponentielle Ungleichungen

Gehen wir weiter zu Ungleichheiten. Bei der Lösung von Ungleichheiten muss auf die Basis des Abschlusses geachtet werden. Es gibt zwei mögliche Szenarien zur Lösung von Ungleichungen.

Satz. Wenn $ a\u003e 1 $ ist, entspricht die exponentielle Ungleichung $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (g (x)) $ der Ungleichung $ f (x)\u003e g (x) $.
Wenn $ 0 a ^ (g (x)) $ entspricht der Ungleichung $ f (x)

Beispiel.
Lösen Sie Ungleichungen:
a) $ 3 ^ (2x + 3)\u003e 81 $.
b) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Entscheidung.
a) $ 3 ^ (2x + 3)\u003e 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)\u003e 3 ^ 4 $.
Unsere Ungleichung entspricht der Ungleichung:
$ 2x + 3\u003e 4 $.
$ 2x\u003e 1 $.
$ x\u003e 0,5 $.

B) $ ((\\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\\ frac (1) (4)) ^ (2x-4) In unserer Gleichung ist die Basis dann bei einem Grad kleiner als 1 Wenn eine Ungleichung durch eine äquivalente ersetzt wird, muss das Vorzeichen geändert werden.
$ 2x-4\u003e 2 $.
$ x\u003e 3 $.

C) Unsere Ungleichung entspricht der Ungleichung:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Verwenden wir die Intervalllösungsmethode:
Antwort: $ (- ∞; -5] U)