АЧХ фільтра Баттерворта описується рівнянням

Особливості фільтра Баттерворт: нелінійна ФЧХ; частота зрізу не залежить від кількості полюсів; коливальний характер перехідної характеристики при ступінчастому вхідному сигналі Зі збільшенням порядку фільтра коливальний характер посилюється.

Фільтр Чебишева

АЧХ фільтра Чебишева описується рівнянням

,

де T n 2 (ω/ω н ) – поліном Чебишева n-го порядку.

Поліном Чебишева обчислюється за рекурентною формулою

Особливості фільтра Чебишева: - підвищена нерівномірність ФЧХ; хвилеподібна характеристика смуги пропускання. Чим вище коефіцієнт нерівномірності АЧХ фільтра в смузі пропускання, тим різкіший спад у перехідній області при тому самому порядку. Коливання перехідного процесу при ступінчастому вхідному сигналі сильніше, ніж фільтр Баттерворта. Добротність полюсів фільтра Чебишева вища, ніж у фільтра Баттерворта.

Фільтр Бесселя

АЧХ фільтра Бесселя описується рівнянням

,

де
;B n 2 (ω/ω cp з ) – поліном Бесселя n-го порядку.

Поліном Бесселя обчислюється за рекурентною формулою

Особливості фільтра Бесселя: досить рівномірні АЧХ та ФЧХ, що апроксимуються функцією Гауса; фазовий зсув фільтра пропорційний частоті, тобто. фільтр має частотно-незалежний груповий час затримки. Частота зрізу змінюється за зміни кількості полюсів фільтра. Спад АЧХ фільтра зазвичай більш пологий, ніж у Баттерворта та Чебишева. Особливо добре цей фільтр підходить для імпульсних ланцюгів та фазочутливої ​​обробки сигналу.

Фільтр Кауера (еліптичний фільтр)

Загальний вигляд функції фільтра Кауера

.

Особливості фільтра Кауера: нерівномірна АЧХ у смузі пропускання та у смузі затримування; найрізкіший спад АЧХ із усіх наведених фільтрів; реалізує необхідні передавальні функції за меншого порядку фільтра, ніж за використанні фільтрів інших типів.

Визначення порядку фільтра

Потрібний порядок фільтра визначається за наведеними нижче формулами і заокруглюється у бік найближчого цілого значення. Порядок фільтра Баттерворта

.

Порядку фільтра Чебишева

.

Для фільтра Бесселя немає формули розрахунку порядку, натомість наводяться таблиці відповідності порядку фільтра мінімально необхідним на заданої частоті відхилення часу затримки від одиничної величини і рівню втрат в дБ).

При розрахунку порядку фільтра Бесселя задаються такі параметри:

Допустиме відсоткове відхилення групового часу затримки на заданій частоті ω ω cp з ;

Може бути заданий рівень ослаблення коефіцієнта передачі фільтра у дБ на частоті ω , нормованої щодо ω cp з .

З цих даних визначається необхідний порядок фільтра Бесселя.

Схеми каскадів фнч 1-го та 2-го порядку

На рис. 12.4, 12.5 наведено типові схеми каскадів ФНЧ.

а) б)

Рис. 12.4. Каскади ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку

а) б)

Рис. 12.5. Каскади ФНЧ Кауера: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку

Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя 1-го та 2-го порядку

,
.

Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Кауера 1-го та 2-го порядку

,
.

Ключовою відмінністю фільтра Кауера 2-го порядку від фільтра, що загороджує, є те, що в передавальній функції фільтра Кауера відношення частот Ω s ≠ 1.

Методика розрахунку ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя

Дана методика побудована на основі коефіцієнтів, наведених у таблицях та справедлива для фільтрів Баттерворта, Чебишева та Бесселя. Методика розрахунку фільтрів Кауера наводиться окремо. Розрахунок ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя починається з визначення їхнього порядку. Для всіх фільтрів задаються параметри мінімального та максимального ослаблення та частота зрізу. Для фільтрів Чебишева додатково визначається коефіцієнт нерівномірності АЧХ у смузі пропускання, а фільтрів Бесселя – груповий час затримки. Далі визначається передавальна функціяфільтра, яка може бути взята з таблиць, і розраховуються його каскади 1-го та 2-го порядку, дотримується наступний порядок розрахунку:

Залежно від порядку та типу фільтра вибираються схеми його каскадів, у своїй фільтр парного порядку складається з n/2 каскадів 2-го порядку, а фільтр непарного порядку - з одного каскаду 1-го порядку і ( n– 1) / 2 каскадів 2-го порядку;

Для розрахунку каскаду 1-го порядку:

За вибраним типом і порядком фільтра визначається значення b 1 каскаду 1-го порядку;

Зменшуючи площу, вибирається номінал ємності C і розраховується Rза формулою (можна вибрати і R, але рекомендується вибирати C, з міркувань точності)

;

Обчислюється коефіцієнт посилення До у U 1 каскаду 1-го порядку, що визначається із співвідношення

,

де До у U- Коефіцієнт посилення фільтра в цілому; До у U 2 , …, До у Un- Коефіцієнти посилення каскадів 2-го порядку;

Для реалізації посилення До у U 1 необхідно задати резистори, виходячи з наступного співвідношення

R B = R A ּ (До у U1 –1) .

Для розрахунку каскаду 2-го порядку:

Зменшуючи площу вибираються номінали ємностей C 1 = C 2 = C;

Вибираються за таблицями коефіцієнти b 1 iі Q piдля каскадів 2-го порядку;

За заданим номіналом конденсаторів C розраховуються резистори Rза формулою

;

Для вибраного типу фільтра необхідно задати відповідний коефіцієнт посилення До у Ui = 3 – (1/Q pi) кожного каскаду 2-го порядку, за допомогою завдання резисторів, виходячи з наступного співвідношення

R B = R A ּ (До у Ui –1) ;

Для фільтрів Бесселя необхідно помножити номінали всіх ємностей на груповий час затримки.

Фільтр Баттерворта

Передатна функція фільтра нижніх частот Баттерворта n-го порядку характеризується виразом:

Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта має такі властивості:

1) За будь-якого порядку nзначення АЧХ

2) на частоті зрізу щ=щ с

АЧХ ФНЧ монотонно зменшується зі зростанням частоти. Тому фільтри Баттерворта називають фільтрами з максимально плоскими характеристиками. На малюнку 3 показані графіки амплітудно-частотних характеристик ФНЧ Баттерворт 1-5 порядків. Вочевидь, що більше порядок фільтра, тим точніше апроксимується АЧХ ідеального фільтра нижніх частот.

Рисунок 3 – АЧХ для фільтра Баттерворта нижніх частот порядку від 1 до 5

На малюнку 4 представлена ​​схемна реалізація ФВЧ Баттерворт.

Малюнок 4 - ФВЧ-II Баттерворт

Перевагою фільтра Баттерворта є максимально гладка АЧХ на частотах смуги пропускання та її зниження майже до нуля на частотах смуги придушення. Фільтр Баттерворта - єдиний з фільтрів, що зберігає форму АЧХ для більш високих порядків (за винятком більш крутого спаду характеристики на смузі придушення) тоді як інші різновиди фільтрів (фільтр Бесселя, фільтр Чебишева, еліптичний фільтр) мають різні форми АЧХ при різних порядках.

Однак у порівнянні з фільтрами Чебишева I і II типів або еліптичним фільтром, фільтр Баттерворта має більш пологий спад характеристики і тому повинен мати більший порядок (що складніше в реалізації) для того, щоб забезпечити потрібні характеристики на частотах смуги придушення.

Фільтр Чебишева

Квадрат модуля передавальної функції фільтра Чебишева визначається виразом:

де – поліном Чебишева. Модуль передавальної функції фільтра Чебишева дорівнює одиниці тих частотах, де обертається на нуль.

Фільтри Чебишева зазвичай використовуються там, де потрібно за допомогою фільтра невеликого порядку забезпечити необхідні характеристики АЧХ, зокрема, гарне придушення частот зі смуги придушення, і при цьому гладкість АЧХ на частотах смуг пропускання та придушення не така важлива.

Розрізняють фільтри Чебишева І та ІІ пологів.

Фільтр Чебишева I роду. Це найчастіше зустрічається модифікація фільтрів Чебишева. У смузі пропускання такого фільтра видно пульсації, амплітуда яких визначається показником пульсації е. У разі аналогового електронного фільтра Чебишева його порядок дорівнює числу реактивних компонентів, використаних при реалізації. Більш крутий спад характеристики може бути отриманий якщо допустити пульсації не тільки в смузі пропускання, але і в смузі придушення, додавши в функцію передавання нулів на уявній осі jщ в комплексній площині. Це, однак, призведе до меншого ефективного придушення смуги придушення. Отриманий фільтр є еліптичним фільтром, також відомим як фільтр Кауера.

АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот I роду четвертого порядку представлена ​​малюнку 5.

Рисунок 5 – АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот I роду четвертого порядку

Фільтр Чебишева ІІ роду (інверсний фільтр Чебишева) використовується рідше, ніж фільтр Чебишева І роду через менш крутий спад амплітудної характеристики, що призводить до збільшення числа компонентів. У нього відсутні пульсації у смузі пропускання, проте є у смузі придушення.

АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот ІІ роду четвертого порядку представлена ​​малюнку 6.

Рисунок 6 - АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот ІІ роду

На малюнку 7 представлені схемні реалізації ФВЧ Чебишева І та ІІ порядку.

Малюнок 7 – ФВЧ Чебишева: а) I порядку; б) ІІ порядку

Властивості частотних характеристик фільтрів Чебишева:

1) У смузі пропускання АЧХ має рівнохвильовий характер. На інтервалі (-1?щ?1) є nточок, в яких функція досягає максимального значення, що дорівнює 1, або мінімального значення, що дорівнює. Якщо n непарно, якщо n парно;

2) значення АЧХ фільтра Чебишева на частоті зрізу дорівнює

3) При функція монотонно зменшується і прагне нуля.

4) Параметр е визначає нерівномірність АЧХ фільтра Чебишева у смузі пропускання:

Порівняння АЧХ фільтрів Баттерворта та Чебишева показує, що фільтр Чебишева забезпечує більше ослаблення у смузі пропускання, ніж фільтр Баттерворта такого ж порядку. Нестача фільтрів Чебишева полягає в тому, що їх фазочастотні характеристики у смузі пропускання значно відрізняються від лінійних.

Для фільтрів Баттерворта і Чебишева є докладні таблиці, у яких наведені координати полюсів та коефіцієнти передавальних функцій різних систем.

1 Визначимо порядок фільтра. Порядок фільтра це число реактивних елементів ФНЧ і ФВЧ.

де
- функція Баттерворта, що відповідає допустимій частоті .

- Допустиме згасання.

2 Рисуємо схему фільтра отриманого порядку. При практичній реалізації кращі схеми з меншою кількістю індуктивностей.

3 Розраховуємо постійні перетворення фільтра.

, мГн

, нФ

4 Для ідеального фільтра з опором генератора 1 Ом, опір навантаження 1 Ом,
складено таблицю нормованих коефіцієнтів фільтра Баттерворта. У кожному рядку таблиці коефіцієнти симетричні, до середини збільшуються, а потім зменшуються.

5 Щоб знайти елементи схеми, необхідно постійні перетворення помножити на коефіцієнт таблиці.

Розрахувати параметри фільтра низьких частот Баттерворта, якщо ПП=0,15 кГц, =25 кГц, =30 дБ,
=75 Ом. Знайти
для трьох точок.

29.3 ФВЧ Баттерворт.

Фільтри ФВЧ - це чотириполюсники, у яких в діапазоні (
) згасання мало, а в діапазоні (
) – велике, тобто фільтр повинен пропускати в навантаження струми верхніх частот.

Оскільки ФВЧ повинен пропускати струми високих частот, то шляху струму, що йде навантаження, повинен стояти частотно залежний елемент, який добре пропускає струми високих частот і погано струми низьких частот. Таким елементом є конденсатор.

Ф
ВЧ Т-подібний

ФВЧ П-подібний

Конденсатор ставлять послідовно з навантаженням, оскільки
та зі зростанням частоти
зменшується, отже струми високих частот легко проходять у навантаження через конденсатор. Котушку індуктивності ставлять паралельно навантаженню, оскільки
і зі збільшенням частоти збільшується
тому струми низьких частот замикаються через індуктивності і не потраплять у навантаження.

Розрахунок ФВЧ Баттерворта аналогічний розрахунку ФНЧ Баттерворта, проводиться за тими ж формулами, тільки

.

Розрахувати фільтр верхніх частот ФВЧ Баттерворта, якщо
Ом,
кГц,
дБ,
кГц. Знайти:
.

Тема заняття 30: Смужні та режекторні фільтри Баттерворта.

Значна частина теорії розрахунку цифрових БІХ-фільтрів (тобто фільтрів із нескінченною імпульсною характеристикою) вимагає розуміння методів розрахунку фільтрів безперервного часу. Тому в даному розділі будуть наведені розрахункові формули для кількох стандартних типів аналогових фільтрів, включаючи фільтри Баттерворта, Бесселя та Чебишева типу І та ІІ. Детальний аналіз переваг та недоліків способів апроксимації заданих характеристик, відповідних цим фільтрам, можна знайти в ряді робіт, присвячених методам розрахунку аналогових фільтрів, тому нижче будуть лише коротко перераховані основні властивості фільтрів кожного типу та наведені розрахункові співвідношення, необхідні для отримання коефіцієнтів аналогових фільтрів.

Нехай потрібно розрахувати нормований фільтр нижніх частот із частотою зрізу, що дорівнює Ω = 1 рад/с. Як апроксимована функція, як правило, використовуватиметься квадрат амплітудної характеристики (винятком є ​​фільтр Бесселя). Будемо вважати, що передатна функція аналогового фільтра є раціональною змінною функцією S наступного виду:

Фільтри Баттерворта нижніх частот характеризуються тим, що мають максимально гладку амплітудну характеристику на початку координат у s-площині. Це означає, що всі похідні від амплітудної характеристики на початок координат дорівнюють нулю. Квадрат амплітудної характеристики нормованого (тобто має частоту зрізу 1 рад/с) фільтра Баттерворта дорівнює:

де n - Порядок фільтра. Аналітично продовжуючи функцію (14.2) на всю S-площину, отримаємо

Усі полюси (14.3) знаходяться на одиничному колі на однаковій відстані один від одного в S-площини . Виразимо передатну функцію Н(s) через полюси, що розташовуються в лівій півплощині S :

Де (14.4)

Де k =1,2…..n (14.5)

а k 0 - Константа нормування. Використовуючи формули (14.2) та (14.5), можна сформулювати кілька властивостей фільтрів Баттерворта нижніх частот.

Властивості фільтрів Баттерворта нижніх частот:

1. Фільтри Баттерворта мають лише полюси (всі нулі передавальних функцій цих фільтрів розташовані на нескінченності).

2. На частоті Ω=1 рад/с коефіцієнт передачі фільтрів Баттерворта дорівнює (тобто. на частоті зрізу їхня амплітудна характеристика спадає на 3 дБ).

3. Порядок фільтру n повністю визначає весь фільтр. Насправді порядок фільтра Баттерворта зазвичай розраховують із умови забезпечення певного ослаблення па деякої заданої частоті Ω t > 1. Порядок фільтра, що забезпечує частоті Ω= Ω t< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения

Рис. 14.1. Розташування полюсів аналогового фільтра Баттерворт нижніх частот.

Рис. 14.2- Амплітудна та фазова характеристики, а також характеристика групової затримки аналогового фільтра Баттерворта нижніх частот.

Нехай, наприклад, потрібно на частоті Ω t = 2 рад/сзабезпечити ослаблення, що дорівнює А = 100. Тоді

Округливши n у велику сторону до цілого числа, знайдемо, що задане ослаблення забезпечить фільтр Баттерворт 7-го порядку.

Рішення. Використовуючи як розрахункові характеристики 1/A == 0,0005 (що відповідає ослабленню на 66 дБ) і Ω t = 2, отримаємо n== 10,97. Округлення дає n = 11. На рис. 14.1 показано розташування полюсів розрахованого фільтра Баттерворта s-площини. Амплітудна (в логарифмічному масштабі) та фазова характеристики, а також характеристика групової затримки цього фільтра представлені на рис. 14.2.

У цій статті ми поговоримо про фільтр Баттерворта, розглянемо порядки фільтрів, декади та октави, детально розберемо фільтр низьких частот третього порядку з розрахунком і схемою.

Вступ

У пристроях, які використовують фільтри для формування частотного спектра сигналу, наприклад, в системах зв'язку або управління, форма або ширина спаду, також звана «смугою переходу», для простого фільтра першого порядку може бути занадто довгою або необхідні широкі та активні фільтри, розроблені з більш ніж одним "замовленням". Ці типи фільтрів зазвичай відомі як фільтри високого порядку або n-го порядку.

Порядок фільтрів

Складність або тип фільтра визначається "порядком" фільтрів і залежить від кількості реактивних компонентів, таких як конденсатори або котушки індуктивності його конструкції. Ми також знаємо, що швидкість спаду і, отже, ширина смуги переходу залежить від порядкового номера фільтра і що для простого фільтра першого порядку він має стандартну швидкість спаду 20 дБ/декаду або 6 дБ/октава.

Тоді для фільтра, що має n-й порядковий номер, він матиме наступну швидкість спаду 20n дБ/декаду або 6n дБ/октаву. Таким чином:

• фільтр першого порядкумає швидкість спаду 20 дБ/декаду (6 дБ/октава)
• фільтр другого порядкумає швидкість спаду 40 дБ/декаду (12 дБ/октава)
• фільтр четвертого порядкумає частоту спаду 80 дБ/декада (24 дБ/октава) тощо.

Фільтри високого порядку, такі як третій, четвертий та п'ятий, зазвичай формуються шляхом каскадного поєднання одиночних фільтрів першого та другого порядку.

Наприклад, два фільтри нижніх частот другого порядку можуть бути каскадно з'єднані для отримання фільтра нижніх частот четвертого порядку і так далі. Незважаючи на те, що порядок фільтра, який може бути сформований, не обмежений, зі збільшенням порядку збільшуються його розмір та вартість, а також знижується його точність.

Декади та октави

Останній коментар про Декадахі Октавах. За шкалою частот декада- Це десятикратне збільшення (множення на 10) або десятикратне зменшення (розподіл на 10). Наприклад, від 2 до 20 Гц представляють одну декаду, тоді як від 50 до 5000 Гц представляють дві декади (від 50 до 500 Гц, потім від 500 до 5000 Гц).

Октава- це подвоєння (помножити на 2) або зменшення вдвічі (розподіл на 2) за шкалою частот. Наприклад, від 10 до 20 Гц представляє одну октаву, а від 2 до 16 Гц - це три октави (від 2 до 4, від 4 до 8 і, нарешті, від 8 до 16 Гц), щоразу подвоюючи частоту. В будь-якому випадку, логарифмічнішкали широко використовуються в частотній ділянці для позначення значення частоти при роботі з підсилювачами та фільтрами, тому важливо розуміти їх.

Оскільки резистори, що визначають частоту, всі рівні, як і конденсатори, що визначають частоту, відсікання або кутова частота (C) для першого, другого, третього або навіть для фільтра четвертого порядку також повинні бути рівні і знайдені, використовуючи знайоме рівняння:

Як і у випадку фільтрів першого та другого порядку, фільтри верхніх частот третього та четвертого порядку формуються простим взаємним обміном положень визначальних частоту компонентів (резисторів та конденсаторів) в еквівалентному фільтрі нижніх частот. Фільтри високого порядку можна спроектувати, дотримуючись процедур, які ми бачили раніше в посібниках з фільтру нижніх частот та фільтрів верхніх частот. Однак загальний коефіцієнт посилення фільтрів високого порядку є фіксованим,оскільки всі компоненти, що визначають частоту, однакові.

Апроксимації фільтра

Досі ми розглядали низькочастотні та високочастотні схеми фільтра першого порядку, їх результуючі частотні та фазові характеристики. Ідеальний фільтр дав би нам специфікації максимального посилення смуги пропускання та площинності, мінімального згасання смуги пропускання, а також дуже крутої смуги пропускання, щоб зупинити спад смуги (смуга переходу), і тому очевидно, що велика кількість мережевих відгуків задовольнятиме ці вимоги.

Не дивно, що в лінійному дизайні аналогових фільтрів є ряд аппроксимаційних функцій, в яких використовується математичний підхід для найкращого наближення передавальної функції, яка потрібна нам для проектування фільтрів.

Такі конструкції відомі як Еліптичний, Баттерворт, Чебишів, Бессіль, Кауері багато інших. З цих п'яти «класичних» функцій апроксимації лінійного аналогового фільтра тільки фільтр Баттерворті особливо конструкція фільтра Баттерворта нижніх частотбудуть розглядатися тут як його функція, що найчастіше використовується.

Низькочастотний фільтр Баттерворта

Частотна характеристика апроксимаційної функції фільтра Баттервортатакож часто називається «максимально плоскою» (без пульсацій) характеристикою, оскільки смуга пропускання спроектована так, щоб мати частотну характеристику, яка є настільки плоскою, наскільки це математично можливо від 0 Гц (DC) до частоти зрізу -3 дБ без пульсацій. Більш високі частоти за межами точки відсічення знижуються до нуля в смузі зупинки на рівні 20 дБ/декада або 6 дБ/октава. Це тому, що має «фактор якості», «Q» всього 0,707.

Однак одним з основних недоліків фільтра Баттерворт є те, що він досягає цієї площинності смуги пропускання за рахунок широкої смуги переходу, коли фільтр змінюється від смуги пропускання до смуги зупинки. Він також має погані фазові характеристики. Ідеальна частотна характеристика, звана фільтром «цегляної стіни», та стандартні апроксимації Баттерворта для різних порядків фільтра наведені нижче.

Зверніть увагу, що чим вище порядок фільтра Баттерворта, тим більше кількість каскадних щаблів у конструкції фільтра і тим ближче фільтр підходить до ідеального відгуку «цегляної стіни».

Однак на практиці ідеальна частотна характеристика Баттерворта недосяжна, оскільки вона викликає надмірну пульсацію смуги пропускання.

Де узагальнене рівняння, що представляє фільтр Баттерворта "n-го" порядку, частотна характеристика дається як:

Де: n представляє порядок фільтра, ω дорівнює 2πƒ, а ε - максимальне посилення смуги пропускання (A max).

Якщо A max визначено на частоті, що дорівнює кутовий точці відсічки -3 дБ (c), тоді ε буде дорівнює одиниці і, отже, ε 2 також буде дорівнює одиниці. Однак, якщо ви тепер хочете визначити A max при іншому значенні посилення за напругою, наприклад, 1 дБ або 1.1220 (1 дБ = 20 * logA max), тоді нове значення ε знаходиться за такою формулою:

Підставляючи дані до рівнянь, отримуємо:

Частотна характеристикафільтра може бути визначена математично передавальної функціїзі стандартом передачі напруги Функція H (jω) і записується у вигляді:

Примітка: (jω) також можна записати як (s) для позначення S-області.і результуюча передатна функція для фільтра нижніх частот другого порядку визначається як:

Нормалізовані поліноми фільтра Баттерворта низьких частот

Щоб допомогти у розробці своїх фільтрів нижніх частот, Баттерворт створив стандартні таблиці нормалізованих поліномів нижніх частот другого порядку з урахуванням значень коефіцієнта, які відповідають частоті відсікання кута 1 радіан/с.

Розрахунок та схема фільтра Баттерворта низьких частот

Знайти порядок активного фільтра Баттерворта нижніх частот, чиї характеристики наведені як: A макс = 0,5 дБ на частоті смуги пропускання (ωp) 200 радіан/сек (31.8 гЦ), та A min = -20 дБ на частоті смуги зупинки (ωs ) 800 радіан/сек. Також розробте відповідну схему фільтра Баттерворта, яка відповідає цим вимогам.

По-перше, максимальне посилення смуги пропускання A max = 0,5 дБ, яке дорівнює посиленню 1,0593 , Пам'ятайте, що: 0,5 дБ = 20 * log (A) на частоті (ωp) 200 рад / с, тому значення эпсилона ε знаходиться по:

По-друге, мінімальне посилення смуги зупинки A min = -20 дБ, яке дорівнює посиленню 10 (-20 дБ = 20*log(A)) на частоті смуги зупинки (ωs) 800 рад/с або 127,3 Гц.

Підстановка значень у загальне рівняння частотної характеристики фільтрів Баттерворта дає нам таке:

Так як n завжди має бути цілим числом, то наступним найвищим значенням 2,42 буде n = 3 тому «потрібний фільтр третього порядку»,та для створення фільтра Баттервортатретього порядку, ступеня фільтра другого порядку потрібно каскадне з'єднаннязі ступенем фільтра першого порядку.

З наведеної вище таблиці нормалізованих поліномів Баттерворта низьких частот коефіцієнт фільтра третього порядку дається як (1 + s) (1 + s + s 2), і це дає нам посилення 3-A = 1 або A = 2 . В А = 1 + (Rf / R1), вибираючи значення як для резистора зворотнього зв'язку Rf і резистора R1 дає нам значення 1 кОм та 1 кОм, відповідно, як: (1 кОм / 1 кОм) + 1 = 2 .

Ми знаємо, що кутова частота відсічки, точка -3 дБ (ω o) може бути знайдена за допомогою формули 1 / CR , але нам потрібно знайти ω o за частотою смуги пропускання ω p ,

Таким чином, частота відсічення кута задається як 284 рад/с або 45,2 Гц (284/2π), і, використовуючи знайому формулу 1/RC, ми можемо знайти значення резисторів та конденсаторів для нашої схеми третього порядку.

Зверніть увагу, що найближче перевага до 0,352 мкФ буде 0,36 мкФ або 360 нФ.

І, нарешті, наша схема низькочастотного фільтра Баттервортатретього порядку з кутовою частотою зрізу 284 рад/с або 45,2 Гц, максимальним посиленням смуги пропускання 0,5 дБ та мінімальним посиленням смуги зупинки 20 дБ будується наступним чином.

Таким чином, для нашого фільтра низьких частот Баттерворта 3-го порядку з кутовою частотою 45,2 Гц, C = 360 нФ та R = 10 кОм